1、第三章 导数与定积分本章知识结构图生活中的优化问题导数的正负与单调性的关系单调性几何意义、物理意义导数的应用导数定积分与微积分定积分与图形的计算导数的概念基本初等函数的导数导数的运算法则三次函数的性质、图像和应用极值最值第一节 导数的概念与运算考纲解读1、了解导数概念的实际背景.2、能理解导数的几何意义.3、能根据导数的定义，求函数（为常数），的导数.4、能利用常见基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限形如的复合函数）的导数.命题趋势探究预测2019年高考依然以考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线斜率为主，可能出选择题、填空题，也可能在解答
2、题中出现，较容易.知识点精讲一、基本概念1、导数的概念 设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即2、导数的几何意义 函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图31所示，过点的切线方程为同样，可以定义曲线在的法线为过点与曲线在的切线垂直的直线.过点的法线方程为3、导数的物理意义:设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度.若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式基本初
3、等函数的导数公式如表31，为正整数为有理数表31 注：三、导数的运算法则（和、差、积、商）设均可导，则（1） （2）（3） （4）注：四、复合函数的导数 复合函数的导数与函数的导数之间具有关系该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即.题型归纳及思路提示题型39 导数的定义思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.例3.1 设存在，求下列各极限.(1) (2) 分析 ，导数的定义中，增量的形式是多样的，但不论选择哪种形式，必须选择相应的形式.利
4、用函数在点处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式.变式1 若则（ ）、 B、 C、3 D、2变式2 设在处可导，则=（ ） A、2 B、 C、 D、题型40 求函数的导数思路提示 ：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.例3.2 求下列函数的导数.(1) (2) (3) (4) (5) (6).评注 对于基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数），可以直接根据导数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.根式一般化成分数指数幂求导.变式1 求下列函数的导数.（1） （2） （3）
5、 （4）（3）； （4）.例3.3 求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）.评注 利用导数的运算法则求导数时，要根据法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程.变式1 求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.变式2 求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）；（4）.例3.4 求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）；（4）.评注 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数型的求导.这里设中间变量，按照复合函数求导法则，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.变式1 求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）；（4）.题型41 导数的几何意义思路提示函数在
6、点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知在点处的切线方程为.（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.例3.5 设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）A B C D 分析 根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线在处切线的斜率的范围是，根据导数的几何意义，只要函数的导数在这个范围即可.评注 函数在某点处的导数、曲线在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.
7、变式1 设是偶函数，若曲线在点处的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为 .例3.6 （1）曲线在点处的切线方程为 ；过点的切线方程为 .（2）过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是（ ）A B C D 分析 若求曲线在点处的切线方程，则点为切点；若求曲线过点处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入，求其切点坐标.变式1 （2012安徽理19）设函数，设曲线在点处的切线方程为，求的值.变式2 已知函数，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值.变式3 已知函数，和直线，又.（1）求的值；（2）是否存在，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，
8、求出的值；如果不存在，请说明理由.例3.7 在平面直线坐标系中，已知点是函数的图像上的动点，该图像在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是 .分析 先设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，从而求出的纵坐标，同理可求出的纵坐标，将表示成的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值.评注 利用切点横坐标可以表示曲线上任一点处切线的方程为：.变式1 设点在曲线上，点在曲线上，则 的最小值为（ ）A B C D 最有效训练题14（限时45分钟）1设，若，则（ ）A B C D 2若函数满足，则的值为（ ）A B C D3曲线在点处的切线与直线和
9、围成的三角形的面积为（ ）A B C D4是定义在上的偶函数，当时，且，则不等式的解集为（ ）A B C D5正弦曲线上一点，以点为切点的切线，则直线的倾斜角的范围是（ ）A B C D6已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）A B C D7已知函数，则的值为 8一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离为米，则列车刹车后 秒内停下来，期间列车前进了 米654321Oyx1243ABC图3-29如图3-2所示，函数的图像是折线段，其中的坐标分别为，那么 （用数字作答）10已知，其导函数为，设，则 11已知曲线.（1）求曲线在处的切线的方程；（2）若，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标；（3）在（1），（2）条件下，设与相交于，与轴的交点为，求的面积.12已知三次曲线的图像关于点中心对称.（1）求常数；（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程.
