1、12.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1. 了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一 抛物线的范围思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在 x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程 y22 px(p0)如何确定横坐标 x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.(2)由抛物线 y2
2、2 px(p0)有Error!所以 x0.所以抛物线 x 的范围为 x0.抛物线在 y 轴的右侧，当 x 的值增大时， y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.梳理 抛物线 y22 px(p0)中， x0，)， y(，).抛物线 y22 px(p0)中， x(，0， y(，).抛物线 x22 py(p0)中， x(，)， y0，).抛物线 x22 py(p0)中， x(，)， y(，0.知识点二 四种形式的抛物线的几何性质标准方程 y22 px(p0) y22 px(p0) x22 py(p0) x22 py(p0)2图形范围 x0， yR x0， yR y0， xR y0， xR对称
3、轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴焦点 F( ，0)p2 F( ，0)p2 F(0， )p2 F(0， )p2准线方程 x p2 x p2 y p2 y p2顶点坐标 O(0，0)离心率 e1通径长 2p知识点三 直线与抛物线的位置关系直线 y kx b 与抛物线 y22 px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程组Error!解的个数，即二次方程 k2x22( kb p)x b20 解的个数.当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 0 时，直线与抛物线有一个公共点；若 0).抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 3， p6.p2抛物线的标准方程为 y212 x 或 y21
4、2 x，其准线方程分别为 x3 或 x3.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于A， B 两点， O 为坐标原点，若 OAB 的面积等于 4”，求此抛物线的标准方程.3解 由题意，设抛物线方程为 y22 mx(m0)，焦点 F( ，0)，直线 l： x ，m2 m2所以 A， B 两点坐标为( ， m)，( ， m)，m2 m2所以| AB|2| m|.因为 OAB 的面积为 4，所以 | |2|m|4，所以 m2 .12 m2 2所以抛物线的标准方程为 y24 x.2反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练 1
5、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2 y24 相交于 A， B两点，| AB|2 ，求抛物线方程.3解 由已知，抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上，也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为 y2 ax(a0).设抛物线与圆 x2 y24 的交点 A(x1， y1)， B(x2， y2).抛物线 y2 ax(a0)与圆 x2 y24 都关于 x 轴对称，点 A 与 B 关于 x 轴对称，| y1| y2|且| y1| y2|2 ，3| y1| y2| ，代入圆 x2 y24，3得 x234， x1， A(1， )或 A(1， )，代入抛物线方程，3 3得( )2 a， a3.3
6、所求抛物线方程是 y23 x 或 y23 x.类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例 2 (1)过抛物线 y28 x 的焦点，倾斜角为 45的直线被抛物线截得的弦长为_.(2) 直线 l 过抛物线 y24 x 的焦点，与抛物线交于 A， B 两点，若| AB|8，则直线 l 的方4程为_.(3)过抛物线 y24 x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，若| AB|7，则 AB的中点 M 到抛物线准线的距离为_.答案 (1)16 (2) x y10 或 x y10 (3)72解析 (1)由抛物线 y28 x 的焦点为(2，0)，得直线的方程为 y x2，代入 y28
7、 x 得(x2) 28 x 即 x212 x40.所以 x1 x212，弦长为 x1 x2 p12416.(2)抛物线 y24 x 的焦点坐标为(1，0)，若 l 与 x 轴垂直，则| AB|4，不符合题意，可设所求直线 l 的方程为 y k(x1).由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20，则由根与系数的关系，得 x1 x2 .2k2 4k2又 AB 过焦点，由抛物线的定义可知| AB| x1 x2 p 28，2k2 4k2 6，解得 k1.所求直线 l 的方程为 x y10 或 x y10.2k2 4k2(3)抛物线的焦点为 F(1，0)，准线方程为 x1.由抛物线定义知|A
8、B| AF| BF| x1 x2 p，即 x1 x227，得 x1 x25，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 ，又准线方程为 x1，因此点 M 到抛物线准线的距离为 1 .52 52 72反思与感悟 (1)抛物线上任一点 P(x0， y0)与焦点 F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：抛物线 y22 px(p0)，| PF| x0 | x0；p2 p2抛物线 y22 px(p0)，| PF| x0 | x0；p2 p2抛物线 x22 py(p0)，| PF| y0 | y0；p2 p2抛物线 x22 py(p0)，| PF| y0 | y0.p
9、2 p2(2)已知 AB 是过抛物线 y22 px(p0)的焦点的弦， F 为抛物线的焦点， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则： y1y2 p2， x1x2 ；p24| AB| x1 x2 p ( 为直线 AB 的倾斜角)；2psin25 S ABO ( 为直线 AB 的倾斜角)；p22sin ；1|AF| 1|BF| 2p以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于 2p.跟踪训练 2 已知直线 l 经过抛物线 y26 x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A， B 两点.(1)
10、若直线 l 的倾斜角为 60，求| AB|的值；(2)若| AB|9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离.解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan 60 .3又 F ，所以直线 l 的方程为 y . (32， 0) 3(x 32)联立Error! 消去 y 得 x25 x 0.94若设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x25，而| AB| AF| BF| x1 x2 x1 x2 p，所以| AB|538.p2 p2(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线定义知|AB| AF| BF| x1 x2 x1 x2 p x1 x23，p
11、2 p2所以 x1 x26.于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x ，32所以 M 到准线的距离等于 3 .32 92类型三 抛物线综合问题命题角度 1 与抛物线有关的最值问题例 3 抛物线 y24 x 的焦点为 F，点 P(x， y)为该抛物线上的动点，若点 A(1，0)，求的最小值.|PF|PA|解 抛物线 y24 x 的准线方程为 x1，如图，过点 P 作 PN 垂直 x1 于点 N，6由抛物线的定义可知| PF| PN|，连接 PA，在 Rt PAN 中，sin PAN ，|PN|PA|当 最小时，sin PAN 最小，|PN|PA| |PF|PA|即 PAN 最
12、小，即 PAF 最大，此时， PA 为抛物线的切线，设 PA 的方程为 y k(x1)，联立Error!得 k2x2(2 k24) x k20，所以 (2 k24) 24 k40，解得 k1，所以 PAF NPA45， cos NPA .|PF|PA| |PN|PA| 22反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.跟踪训练 3 已知直线 l1：4 x3 y60 和直线 l2： x1，抛物线 y24 x 上一动点 P 到直线
13、l1和直线 l2的距离之和的最小值是( )A.2 B.3 C. D.115 3716答案 A解析 由题意知，直线 l2： x1 为抛物线 y24 x 的准线.由抛物线的定义知，点 P 到直线 l2的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1，0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线 y24 x上找一个点 P，使得点 P 到点 F(1，0)和到直线 l1的距离之和最小，最小值为 F(1，0)到直线 l1：4 x3 y60 的距离，即 d 2.|4 0 6|5命题角度 2 定值或定点问题例 4 抛物线 y22 px(p0)上有两动点 A， B 及一个定点 M， F 为抛物线的焦点，若|AF|，| MF|
14、，| BF|成等差数列.(1)求证：线段 AB 的垂直平分线过定点 Q.7(2)若| MF|4，| OQ|6( O 为坐标原点)，求抛物线的方程.(1)证明 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)，则| AF| x1 ，| BF| x2 ，| MF| x0 ， x0为已知值.p2 p2 p2由题意得 x0 ，x1 x22线段 AB 的中点坐标可设为( x0， t)，其中 t 0(否则| AF| MF| BF|p0).y1 y22而 kAB ，y1 y2x1 x2 y1 y212py21 y2 2py1 y2 pt故线段 AB 的垂直平分线的方程为 y t (x x
15、0)，tp即 t(x x0 p) yp0，可知线段 AB 的垂直平分线过定点 Q(x0 p， 0).(2)解 由(1)知| MF|4，| OQ|6，得 x0 4， x0 p6，联立解得 p4， x02.p2抛物线方程为 y28 x.反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等.跟踪训练 4 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24 x 相交于不同的 A， B 两点， 4，求证：直线 l 必过一定点.OA OB 证明 设 l： x ty
16、b，代入抛物线 y24 x，消去 x 得 y24 ty4 b0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 t， y1y24 b.又 x1x2 y1y2( ty1 b)(ty2 b) y1y2OA OB t2y1y2 bt(y1 y2) b2 y1y24 bt24 bt2 b24 b b24 b，又 4， b24 b4，OA OB 解得 b2，故直线过定点(2，0).1.已知点 A(2，3)在抛物线 C： y22 px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( )A. B.1 C. D.43 34 128答案 C解析 因为抛物线 C： y22 px 的准线为
17、 x ，且点 A(2，3)在准线上，故 2，p2 p2解得 p4，所以 y28 x，所以焦点 F 的坐标为(2，0)，这时直线 AF 的斜率kAF .3 0 2 2 342.已知点 P 是抛物线 y22 x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B.3 C. D.172 5 92答案 A解析 抛物线 y22 x 的焦点为 F( ，0)，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离12等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距
18、离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点 F 到点(0，2)的距离，因此所求距离之和的最小值为 .122 22 1723.过抛物线 y24 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为3，则| AB|_.答案 8解析 易知抛物线的准线方程为 x1，则线段 AB 的中点到准线的距离为 3(1)4.由抛物线的定义易得| AB|8.4.已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_.答案 2解析 设点 A， B 的坐标分别为( x1，
19、 y1)，( x2， y2)，易知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F，且倾斜角为 45的直线的方程为 y x ，p2把 x y 代入 y22 px，得 y22 py p20，p2 y1 y22 p， y1y2 p2.| AB|8，| y1 y2|4 ，2( y1 y2)24 y1y2(4 )2，2即(2 p)24( p2)32.9又 p0， p2.5.已知抛物线 C： y28 x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线 C 上，且|AK| |AF|，则 AFK 的面积为_.2答案 8解析 易知 F(2，0)， K(2，0)，过点 A 作 AM 垂直准线于点 M，则|
20、AM| AF|，| AK| |AM|， AMK 为等腰直角三角形.2设 A(m2，2 m)(m0)，2则 AFK 的面积 S42 m 4 m.212 2又由| AK| |AM|，得( m22) 28 m22( m22) 2，2解得 m ， AFK 的面积 S4 m8. 2 21.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.40 分钟课时作业一、选择题1.已
21、知抛物线 y22 px(p0)的准线与曲线 x2 y24 x50 相切，则 p 的值为( )A.2 B.1 C. D.12 14答案 A解析 曲线的标准方程为( x2) 2 y29，其表示圆心为(2，0)，半径为 3 的圆，又抛物线的准线方程为 x ，由抛物线的准线与圆相切得 2 3，解得 p2.p2 p22.抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F， M 是抛物线 C 上的点，若 OFM 的外接圆与抛物线 C的准线相切，且该圆的面积为 36，则 p 的值为( )A.2 B.4 C.6 D.8答案 D解析 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切， OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于
22、圆的半径.10圆的面积为 36，圆的半径为 6.又圆心在 OF 的垂直平分线上，| OF| ，p2 6， p8.p2 p43.抛物线 y x2上的点到直线 4x3 y80 的距离的最小值是( )A. B. C. D.343 75 85答案 A解析 设抛物线 y x2上一点为( m， m2)，该点到直线 4x3 y80 的距离为，当 m 时，取得最小值为 .|4m 3m2 8|5 23 434.已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，其上的三个点 A， B， C 的横坐标之比为 345，则以| FA|，| FB|，| FC|为边长的三角形( )A.不存在 B.必是锐角三角形C.必是钝角三角
23、形 D.必是直角三角形答案 B解析 设 A， B， C 三点的横坐标分别为 x1， x2， x3， x13 k， x24 k， x35 k(k0)，由抛物线定义得| FA| 3 k，| FB| 4 k，| FC| 5 k，易知三者能构成三角形，| FC|所对角p2 p2 p2为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形.5.等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y22 px(p0)， O 为抛物线的顶点， OA OB，则 AOB的面积是( )A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2答案 B解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接 AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45.由方程组Error!得Error! 或Error!所以易得 A， B 两点的坐标分别为(2 p， 2p)和(2 p，2 p).所以| AB|4 p，所以 S AOB 4p2p4 p2.126.已知点( x， y)在抛物线 y24 x 上，则 z x2 y23 的最小值是( )12A.2 B.3 C.4 D.0答案 B
