1、13.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1. 理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识点一 空间向量基本定理思考 1 平面向量基本定理的内容是什么？答案 如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2，其中，不共线的 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考 2 平面向量的基底惟一确定吗？答案 不惟一.梳理 (1)空间向量基本定理条件 三个不共面的向量 a，
2、b， c 和空间任一向量 p结论 存在有序实数组 x， y， z，使得 p xa yb zc(2)基底条件：三个向量 a， b， c 不共面.结论： a， b， c叫做空间的一个基底.基向量：基底中的向量 a， b， c 都叫做基向量.知识点二 空间向量的坐标表示2思考 1 平面向量的坐标是如何表示的？答案 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴， y 轴方向相同的两个单位向量 i， j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x， y，使a xi yj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x， y 惟一确定，我们把有序实数对( x， y)叫做向量 a 的坐
3、标，记作 a( x， y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标.设 xi yj，则向量 的坐标( x， y)就是点 A 的坐标，即若 ( x， y)，则 A 点坐标为OA OA OA (x， y)，反之亦成立( O 是坐标原点).思考 2 基底不同，向量的坐标相同吗？答案 不同.梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底 有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量，记作 e1， e2， e3空间直角坐标系以 e1， e2， e3的公共起点 O 为原点，分别以 e1， e2， e3的方向为x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz空
4、间向量的坐标表示对于空间任意一个向量 p，存在有序实数组 x， y， z，使得p xe1 ye2 ze3，则把 x， y， z 称作向量 p 在单位正交基底e1， e2， e3下的坐标，记作 p( x， y， z)类型一 基底的概念例 1 若 a， b， c是空间的一个基底.试判断 a b， b c， c a能否作为该空间的一个基底？解 假设 a b， b c， c a 共面，则存在实数 、 使得 a b (b c) (c a)， a b b a( )c. a， b， c为基底， a， b， c 不共面.Error!此方程组无解. a b， b c， c a 不共面. a b， b c， c
5、a可以作为空间的一个基底.反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向3量线性表示，则不能构成基底.假设 a b c，运用空间向量基本定理，建立 ， 的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.跟踪训练 1 (1)已知 a， b， c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p a b， q a b 构成基底的向量是( )A.2a B.2b C.2a3 b D.2a5 c(2)以下四个命题中正确的是_.空间的任何
6、一个向量都可用三个给定向量表示；若 a， b， c为空间的一个基底，则 a， b， c 全不是零向量；如果向量 a， b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a 与 b 共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.答案 (1)D (2)解析 (2)因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故不正确；正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以作基底，故正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确.类型二 用基底表示向量例 2 如图所示，在平行六面体 ABCDA B C D中， a， b， c， P 是 CAAB AD AA 的中点， M 是 C
7、D的中点， N 是 C D的中点，点 Q 在 CA上，且 CQ QA41，用基底 a， b， c表示以下向量.(1) ；(2) ；(3) ；(4) .AP AM AN AQ 解 连接 AC， AD.(1) ( ) ( ) (a b c).AP 12AC AA 12AB AD AA 12(2) ( ) (a2 b c) a b c.AM 12AC AD 12 12 124(3) ( ) ( )( ) a b c.AN 12AC AD 12 AB AD AA AD AA 12(4) ( ) ( )AQ AC CQ AC 45CA AC 45AA AC 15AC 45AA 15AB AD a b c
8、.45AA 15 15 45反思与感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底 a， b， c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有 a， b， c，不能含有其他形式的向量.跟踪训练 2 如图所示，空间四边形 OABC 中， G、 H 分别是 ABC、 OBC 的重心，设 a， b， c.试用向量 a， b， c 表示向量 .OA OB OC GH
9、解 H 为 OBC 的重心， D 为 BC 的中点， ( )， ( ) (b c).OD 12OB OC OH 23OD 23 12OB OC 13又 ， ，OG OA AG OA 23AD AD OD OA ( ) ( ) (a b c).OG OA 23 12OB OC 23OA 13OA OB OC 13 ，GH OH OG (b c) (a b c) a.GH 13 13 13类型三 空间向量的坐标表示例 3 棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D中， E、 F、 G 分别为棱 DD、 D C、 BC 的中点，以 ， ， 为基底，求下列向量的坐标.AB AD AA 5(1) ，
10、 ， ；AE AG AF (2) ， ， .EF EG DG 解 (1) ，AE AD DE AD 12DD AD 12AA (0， 1， 12) ，AG AB BG AB 12AD (1， 12， 0) .AF AA A D D F AA AD 12AB (12， 1， 1)(2) ( )( ) ，EF AF AE AA AD 12AB AD 12AA 12AA 12AB (12， 0， 12) ( )( ) ，EG AG AE AB 12AD AD 12AA AB 12AD 12AA (1， 12， 12) (1， ，0).DG AG AD AB 12AD AD AB 12AD 12引申探
11、究本例中，若以 ， ， 为基底，试写出 ， ， 的坐标.DA DC DD AE AG EF 解 (1，0， )，AE AD DE DA 12DD 12 ( ) ( ，1，0)，AG AB BG DC 12DA 12DA DC 12 (0， ).EF 12DD 12DC 12 12反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练 3 空间四边形 OABC 中， a， b， c，点 M 在 OA 上，且 OM2 MA， NOA OB OC 为 BC 的中点， 在基底 a， b， c下的坐标为_.MN 答案 (23， 12， 12)解析 OM2 MA，点 M 在 OA 上，6 OM OA，23 ( )
12、a b c .MN MO ON OM 12OB OC 23 12 12 ( 23， 12， 12)1.在以下三个命题中，真命题的个数是( )三个非零向量 a、 b、 c 不能构成空间的一个基底，则 a、 b、 c 共面；若两个非零向量 a、 b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a、 b 共线；若 a、 b 是两个不共线的向量，而 c a b( 、 R 且 0)，则 a， b， c构成空间的一个基底.A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 正确.基底的量必须不共面；正确；不正确. a， b 不共线，当 c a b 时，a、 b、 c 共面，故只有正确.2.已知点 A 在基底 a，
13、 b， c下的坐标为(8，6，4)，其中 a i j， b j k， c k i，则点 A 在基底 i， j， k下的坐标是( )A.(12，14，10) B.(10，12，14)C.(14，12，10) D.(4，3，2)答案 A解析 设点 A 在基底 a， b， c下对应的向量为 p，则p8 a6 b4 c8 i8 j6 j6 k4 k4 i12 i14 j10 k，故点 A 在基底 i， j， k下的坐标为(12，14，10).3.若a e1 e2 e3， b e1 e2 e3， c e1 e2 e3， d e12 e23 e3， d a b c，则 ， ， 的值分别为_.答案 ，1，5
14、2 12解析 d (e1 e2 e3) (e1 e2 e3) (e1 e2 e3)( )e1( )e2( )e3 e12 e23 e3，Error!Error!4.如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知 AB AD2， BB11，则 的坐标为_， 的坐标为_.AD1 AC1 7答案 (0，2，1) (2，2，1)解析 根据已建立的空间直角坐标系知 A(0，0，0)， C1(2，2，1)， D1(0，2，1)，则 的AD1 坐标为(0，2，1)， 的坐标为(2，2，1).AC1 5.在四面体 OABC 中， a， b， c， D 为 BC 的中点， E 为 AD
15、 的中点，则OA OB OC _.(用 a， b， c 表示)OE 答案 a b c12 14 14解析 ( ) ( )OE OA 12AD OA 12 12AB AC OA 14 OB OA OC OA a b c.12OA 14OB 14OC 12 14 141.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.2.空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.3.用基底表示空间向
16、量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.40 分钟课时作业一、选择题1.以下四个命题中正确的是( )A.基底 a， b， c中可以有零向量B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C. ABC 为直角三角形的充要条件是 0AB AC D.空间向量的基底只能有一组答案 B8解析 使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面，故 A 不正确； ABC 为直角三角形并不一定是 0，可能是 0，也可能是 0，故 C 不正确；空间基AB AC BC BA CA CB 底可以有无数多组，故 D 不正
17、确.2.下列说法中不正确的是( )A.只要空间的三个向量的模为 1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B.竖坐标为 0 的向量平行于 x 轴与 y 轴所确定的平面C.纵坐标为 0 的向量都共面D.横坐标为 0 的向量都与 x 轴上的基向量垂直答案 A解析 单位正交基底除要求模为 1 外，还要求三个向量两两垂直.3.若向量 ， ， 的起点 M 和终点 A， B， C 互不重合且无三点共线，则能使向量 ， ，MA MB MC MA MB 成为空间一组基底的关系是( )MC A. B. OM 13OA 13OB 13OC MA MB MC C. D. 2 OM OA OB OC MA MB MC
18、 答案 C解析 对于选项 A，由结论 x y z (x y z1) M， A， B， C 四点共面知，OM OA OB OC ， ， 共面；对于 B，D 选项，易知 ， ， 共面，故只有选项 C 中 ， ， 不共面.MA MB MC MA MB MC MA MB MC 4.已知点 O， A， B， C 为空间不共面的四点，且向量 a ，向量OA OB OC b ，则与 a， b 不能构成空间基底的向量是( )OA OB OC A. B. C. D. 或OA OB OC OA OB 答案 C解析 a b 且 a， b 不共线，OC 12 12 a， b， 共面， 与 a， b 不能构成一组空间基
19、底.OC OC 5.已知 i、 j、 k 是空间直角坐标系 Oxyz 的坐标向量，并且 i j k，则 B 点的坐标AB 为( )A.(1，1，1) B.( i， j， k) C.(1，1，1) D.不确定答案 D9解析 向量 的坐标与 B 点的坐标不同.AB 由于 A 点的坐标未知，故无法确定 B 点坐标.6.设 OABC 是四面体， G1是 ABC 的重心， G 是 OG1上的一点，且 OG3 GG1，若 x yOG OA z ，则( x， y， z)为( )OB OC A. B. C. D.(14， 14， 14) (34， 34， 34) (13， 13， 13) (23， 23， 2
20、3)答案 A解析 如图所示，连接 AG1交 BC 于点 E，则点 E 为 BC 中点， ( ) ( 2 AE 12AB AC 12OB OA )， ( 2 )，OC AG1 23AE 13OB OA OC 3 3( )，OG GG1 OG1 OG ( )OG 34OG1 34OA AG1 ( )34OA 13OB 23OA 13OC ，故选 A.14OA 14OB 14OC 二、填空题7.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为 1，则 的AB 坐标为_， 的坐标为_， 的坐标为_. DC1 B1D 答案 (1，0，0) (1，0，1) (1，1，1)
21、解析 ， .DC1 AA1 AB B1D B1A1 B1C1 B1B AB AD AA1 8.a， b， c为空间的一个基底，且存在实数 x， y， z 使得 xa yb zc0，则10x_， y_， z_.答案 0 0 0解析 若 x， y， z 中存在一个不为 0 的数，不妨设 x0，则 a b c， a， b， c 共yx zx面.这与 a， b， c是基底矛盾，故 x y z0.9.已知四面体 ABCD 中， a2 c， 5 a6 b8 c，对角线 AC， BD 的中点分别为AB CD E， F，则 _.EF 答案 3 a3 b5 c解析 如图所示，取 BC 的中点 G，连接 EG，
22、FG，则 (5a6 b8 c) (a2 c)3 a3 b5 c.EF GF GE 12CD 12BA 12CD 12AB 12 1210.若四边形 ABCD 为平行四边形，且 A(4，1，3)， B(2，5，1)， C(3，7，5)，则顶点D 的坐标为_.答案 (5，13，3)解析 由四边形 ABCD 是平行四边形知 ，AD BC 设 D(x， y， z)，则 ( x4， y1， z3)， (1，12，6)，AD BC 所以Error!，解得Error! ，即 D 点坐标为(5，13，3).三、解答题11.已知向量 p 在基底 a， b， c 下的坐标是(2，3，1)，求 p 在基底 a， a b， a b c下的坐标.解 由已知 p2 a3 b c，设 p xa y(a b) z(a b c)( x y z)a( y z)b zc，则有Error!解得Error!故 p 在基底 a， a b， a b c下的坐标为(1，4，1).12.已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为 2 的正方体， E， F 分别为 BB1和 DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出 ， ， 的坐标.DB1 DE DF
