1、第十九章 一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数例：一、分别指出思考（1）（4）的变化过程中所涉及的量，在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？（1）涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变；（2）涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变化，票价始终不变；（3）涉及的量有：圆周率 、半径和面积，其中半径和面积发生了变化，圆周率 始终不变； （4）涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和邻边长发生了变化，矩形的周长始终不变.所以我们得到：1、在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.2、在一个变化过程中，数值始终不变的量
2、为常量.思考：在（1）（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？在一些图或表格表示的问题中，可以看到两个变量间有上面哪样的关系.3、一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数.如果当 时 ，那么 b 叫做当自xay变量为 a 时的函数值.思考：在（1）（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？解：变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义. （1）中的时间 t 不能为负数，（2）
3、中票的张数 x 只能为自然数，（3）中圆的半径 r 不能为负数，（4）中一边长 x 最多为周长的一半且不能为负数4、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式例. 下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？指出自变量
4、的取值范围.试写出函数的解析式.（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之改变.（2）每分向一水池注水 ，注水量 y(单位: )随注水时间 x(单位 min)的变化而变化.30.1m3m（3）秀水村的耕地面积是 1000000 ，这个村人均占有耕地面积 y（单位 )随这个村人数 n 的变化而变化.2 2m（4）水池中有水 10 升，此后每小时漏水 0.05 升，水池中的水量 v(单位：升) 随时间 t（单位：h）的变化而变化.解：（1）正方形的边长是自变量，它的面积是自变量的函数，自变量的取值范围是： ，解析式为0x2Sx（2）注水时间是自变量，注水量是自变量的函数，自变量的取值范围是
5、： ，解析式为 .1y（3）这个村的人口是自变量，人均耕地面积是自变量的函数，自变量的取值范围是：n 为自然数，解析式为10y（4）漏水时间是自变量，水池中的存水量是自变量的函数，自变量的取值范围是： ，解析式为0t.5Vt19.1.2 函数的图象1、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象2、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） ；第三步：连线（按
6、照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.例.画出 的函数的图象.05yx可以看出 x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围为全体实数.从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表如下x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -0.5 0.5 1.5 2.5 根据表中数值描点（x，y） ，并用平滑曲线连接这些点从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当 x 由小变大时， 随之增大.05yx3、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律.解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量
7、与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示.图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系.19.2 一次函数19.2.1 正比例函数例. 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式（1）每个练习本的厚度为 0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 变化而变化；（2）冷冻一个 0 的物体，使它每分下降 2 ，物体的温度 T（单位：）随冷冻时间 t（单位：min ）的变化而变化解：（1） （2）.5hnTt1、一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.2、当
8、k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0 ，y 随 x 的增大而增大；k0 时，直线经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；（从左向右上升）k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 个单位；bb0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 个单位.6、直线 （ ）与 （ ）的位置关系1bxky02bxky0（1）两直线平行 且 （2）两直线相交2k1 21k（3）两直线重合 且 （4）两直线垂直1 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将 x、y
9、的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例. 一辆汽车由乌海匀速驶往呼和浩特，下列图象中能大致反映汽车距离成都的路程 （km）和行驶时间 （h）的关系的是（ ）.A B C D答案：B例.已知 与 成正比例，且当 时， ，求 y 与 x 的函数关系式y1x5x2错解：设 ，把 ， ，代入得 ，解得 ，于是 与 x 的函数关系式是 k2yk 52y25yx错解分析：错解中把 与 成正比例误认为 与 x 成正比例1xy正解：设 ，把 ， ，代入得 ，所以 ，所以
10、y 与 x 的函数关系式yk（ ） 52-1k （ ） 31k是 31xy例.已知等腰三角形的周长是 16cm，底边长是 ycm，腰长是 cm，求 y 与 的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围.错解： y 与 的函数关系式是 ，自变量 的取值范围是 .x162yxx08x错解分析： 造成错解的原因是只考虑到 不能取零或负数，没有考虑到三角形的三边关系.因为三角形的两边之和大于第三边，所以 ，从而 ，于是 .4正确的答案是： 与 的函数关系式是 ，自变量 的取值范围是 .yx162yxx48x例.已知一次函数 的图象经过点（3,0） ，且与坐标轴围成的三角形面积为 6，求这个一次函数的关系式.kb错解： 对于一次函数 ，当 时， ，即一次函数 与 轴的交点是 ，由yx0xybykxby(0,)b得 ，将 代入 ，得 ，所以这个一次函数的关系式是1362Sb43,4kx3.4yx解题关键：先求直线与 x 轴 y 轴的交点坐标，再求利用三角形的面积公式求解。错解分析： 此题涉及三角形的面积的计算，在表示三角形的面积时，用的是线段的长度，不是点的坐标，所以在计算时，应加绝对值，即 ，此时 ，所以所求一次函数的关系式有两个，即1362Sb4或43yx4yx
