1、第一章 事件与概率概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科.一 必然现象与随机现象必然现象: 在一定条件下结果必然会发生的现象。例如: 1. 在标准大气压下,纯水加热到 100oC 时必然会沸腾；2. 在没有外力作用的条件下，作匀速直线运动的物体必然继续作匀速直线运动；3. 掷一颗骰子，出现点数为 7 是不可能的等等.它们的共同特征是，现象的某个结果在给定条件下能否发生是完全可以预言的.概率论与数理统计以外的数学分支研究的是必然现象的数量规律.随机现象: 在一定条件下可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，即预先不能确定到底发生哪种结果的现象。例如:1. 当掷一枚硬币时，可能出现
2、“正面朝上” ，也可能出现“反面朝上”，在掷硬币之前不能确定哪一面朝上；2.某电话交换台在一分钟内接到的呼唤次数可能是 0 次，也可能是 1次，2 次，事先不能确定哪种结果会出现.2二 随机试验一个试验如果满足下述条件：(1) 试验可以在同一条件下重复进行；(2) 试验的所有可能结果是明确可知道的，而且往往不止一个；(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的某一个，但在试验之前不能确定哪个结果将会出现.则称这样的试验是一个随机试验，简称试验.一种随机现象就对应一个随机试验. 随机试验常用 E 或 E1，E 2，等表示.三 随机现象的统计规律性* 例如:将一枚质料均匀、形状对称的硬币（通常称为
3、均匀的硬币）投掷一次，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上，其结果事先无法肯定. 但是在大量次的投掷中，出现正面朝上的次数几乎总是投掷总次数的一半，呈现出明显的规律性.* 又如，波义耳马哈特定律就是其中的一个，这个定律告诉我们，构成气体的每个分子在运动过程中是杂乱无章的，然而大量分子运动总体的压强，体积与温度之间是有规律性的.通常把随机现象在大量重复试验下所呈现的这种规律性称为随机现象的统计规律性.31.1 随机事件和样本空间一随机事件随机事件：随机试验中可能发生,也可能不发生的事情称为随机事件, 简称事件. 随机事件通常用大写字母 A,B等来表示.必然事件：如果在每次试验中, 某件事一定发生
4、, 则称这件事为必然事件, 通常用 表示; 不可能事件：如果在每次试验中, 某结果一定不发生, 则称这一事件为不可能事件, 通常用 表示. 必然事件和不可能事件是随机事件的两个极端情形而已.例 1.1.1 掷一枚均匀的硬币, 观察哪面朝上. 则 A=正面朝上，B=反面朝上都是随机事件. =正面朝上或反面朝上 是必然事件, =正反面两面都朝上是不可能事件.例 1.1.2 掷一颗均匀的骰子,观察朝上一面的点数, 则 Ai=掷出点数为i 点, i= 1,2,6;C=掷出点数为奇数点; G=掷出点数大于 1 且小于 5等都是随机事件. 而=掷出点数小于 7是必然事件, 4=掷出点数小于 1是不可能事件
5、.二样本空间一个试验 E 的所有可能出现的结果所组成的集合叫做 E 的样本空间，记为 . 中的元素也称为样本点, 通常记为 . 显然，样本空间是确定的.例如，例 1.1.1 中，= 1, 2, 其中 1 表示正面朝上, 2 表示反面朝下；例 1.1.2 中，= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 其中 i 表示掷出点数为 i, i=1,6. 以上只包含有限个样本点的样本空间称为有限样本空间.例 1.1.3 考察某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，则其所有的样本点为 i=单位时间内收到 i 次呼唤 ，i = 0, 1, 2, . 所以样本空间为= 0, 1, 2,.以上包含无限可列多个样本点
6、的样本空间称为可列样本空间.有限样本空间，可列样本空间统称为离散样本空间.例 1.1.4 测量某电器元件的寿命 T，则样本空间 =0，+).以上包含无限不可列个样本点的样本空间称为不可列样本空间.5归纳：随机事件的定义：随机试验 E 的样本空间 的某些子集 A 称为 E 的随机事件. 简称事件 . 的只包含一个样本点的子集称为基本事件,包含两个或两个以上样本点的子集称为复合事件. 约定：事件 A 发生，当且仅当 A 所包含的样本点之一在试验中出现. 例如，例 1.1.1 中，A、B 是单点集：A=正面 ，B=反面例 1.1.2 中，C= 1, 3, 5, G= 2, 3, 4；例 1.1.4
7、中，D=某电器元件的寿命不小于 1000 小时=1000，+).练习 1：1,2,3,4 号运动员，写出下列实验的样本空间：（1） 任选 3 人参加运动会（2） 选 2 人，1 人参加全运会，另一人参加亚运会.6三事件间的关系与运算如果没有特别的声明，在以下的叙述中总认为样本空间 已经给定，并且还给定了 中的一些事件，如 A、B、A i（i= 1,2,）等等.1. 事件的包含与相等若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 B 包含了 A 或 A 包含于 B中，记为 B A 或 A B.如在例 1.1.2 中，令 A=掷出点数为 4 点，B =掷出点数为偶数，则A B. 几何解释：图 1-1
8、 图 1-2由此可知，事件 A B 的含义与集合论中的含义是一致的.规定：对于任意事件 A，有 A .如果 A B 与 A B 同时成立，则称 A 与 B 是相等(或等价)的，记为A=B.7显然，构成两个相等事件的基本事件是相同的，即两个相等的事件含有相同的样本点.2. 并（或和）事件称事件 A、B 中至少有一个发生这一事件为事件 A、B 的并（或和），记作 A B.如在例 1.1.2 中，令 A=掷出点数3，B =掷出点数为偶数，则A B=掷出点数为 1,2,3,4,6.3. 交（或积）事件称事件 A、B 同时发生 这一事件为事件 A、B 的交（或积） ，记作A B 或 AB. 图 1-3
9、图 1-4如在例 1.1.2 中，若 A，B 同上，则 AB=掷出点数为 2例 1.1.5 掷两枚均匀的硬币，若 A=恰有一个正面朝上 ，B=恰有两个正面朝上，C= 至少有一个正面朝上 , 则有 AB=C, AC=A, BC=B, AB=8另外，显然对于任意事件 A、B， 有 A AB ， B A B， AB A， AB B4. 互斥（或互不相容）事件如果二事件 A、B 不可能 同时发生，即 AB=，则称 A、B 是互斥的（或互不相容的）.如在例 1.1.2 中，A=掷出点数为 3，B =掷出点数为偶数，则显然AB=，即 A、B 是互斥的. 不可能事件与任何事件互斥。5. 差事件称事件 A 发
10、生而 B 不发生这一事件为事件 A 与 B 的差，记作 A-B.如在例 1.1.2 中，若 A=掷出点数3，B =掷出点数为偶数，则 A-B=掷出点数为 1,3.6. 对立（或余）事件设 A 为任一事件，称 -A 为 A 的对立事件（或 A 的余） ，记作 ，A即 =-A .显然，在一次试验中，A 与 必然有一个发生且仅有一个发生，即9, , A且 .即 A 也是 的对立事件.另外，还有 .BA如在例 1.1.2 中，若 A=掷出点数为偶数，则 =掷出点数为奇数A7可列事件 设 A1, A2, , An是一列随机事件，则1）A 1, A2, , An 中至少有一个发生 这一事件称作 A1, A
11、2, , An的并，记作 ；i A1, A2, , An中至少有一个发生 这一事件称作 A1, A2, , An的可列并，记作 .1=i2）A 1, A2, , An 同时发生这一事件称作 A1, A2, , An 的交，记作或 A1A2 An；ni= A1, A2, , An同时发生 这一事件称作 A1, A2, , An的可列交，记作 或 A1A2.=i3）如果 n 个事件 A1, A2, , An，中任意两个事件都不可能同时发生，即Ai Aj= ( ij, i, j=1,2,n)则称这 n 个事件 A1, A2, , An 是互斥的；如果可列个事件 A1, A2, , An， 中任意两个
12、事件都不可能同时发10生，即Ai Aj= ( ij, i, j=1,2,n)则称这可列个事件 A1, A2, , An是 互斥的；例 1.1.6 若 A、B 、C 是三个随机事件，则（1）A 发生而 B 与 C 都不发生可表示为： 或 A-B-C 或 A-（B C） ；（2）A 与 B 都发生而 C 不发生可表示为： 或 AB-C 或 AB-ABC；（3） 指出事件： ；BA（4） 指出事件：ABAC BC 或 .AB事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的关系与运算是一致的事件的运算满足下述规律：（1）交换律 AB=BA ， AB=BA（2）结合律 (AB)C=A(BC)， (AB)C=A(
13、BC)（3）分配律 (AB)C=(AC)(BC)，(AB)C=( AC)(BC)11（4）德摩根（De MorGen）定理（5） BABA,对于 n 个事件，甚至对于可列个事件，德摩根定理也成立.练习 2: 指出事件 与 的不同ABC1.2 概率及其性质概率论中把度量事件 A 发生可能性大小的数，叫做事件 A 的概率，记作 P(A).一. 概率的统计定义1频率定义 1.2.1 对于随机事件 A，若在 n 次试验中 A 发生了 n 次，则称12nAf)(为随机事件 A 在 n 次试验中出现的频率.2频率的基本性质(1) 非负性 0f n(A)1(2) 正规性 fn( )=1(3) fn()=0(
14、4) 若两事件 A、B 互斥，即 AB=,则 fn(AB)= f n(A)+ fn(B)证明：仅证（4） ，其余显然注：性质（4）可推广到任意有限个互斥事件的场合. 即设事件 A1, A2, , Am 互斥，则fn(A1A 2A m)= fn(A1)+ fn(A2)+ fn(Am)这条性质也称为频率的有限可加性.3频率的稳定性例 1.2.1 下表是历史上有人做过的投掷硬币的试验.13实验者 投掷次数 n 正面朝上次数 n频率 nAf)(DE MorGAn 2048 1061 0.518Buffon 4040 2048 0.5069PEArson 12000 6019 0.5016PEArson
15、 24000 12012 0.5005投掷次数越多，频率越接近于 0.5，也就是说，频率的稳定值为 0.5. 据此，我们说P(A)=0.54概率的统计定义及其基本性质定义 1.2.2 在大量重复试验中，事件 A 发生的频率总是稳定在一个确定的常数附近，我们就用这个数来表示事件 A 发生的可能性大小，并称这个数为事件 A 的概率，记作 P(A).这个定义称为概率的统计定义.概率应具备类似频率的基本性质：(1) 非负性 0 P(A)1(2) 正规性 P( )=1(3) P()=0(4) 有限可加性: 设事件 A1,Am 互斥，则P(A1 A2A m)=P(A1)+P(A2)+P(Am)14二概率的
16、古典定义1模型与计算公式古典概型: 随机试验具有下列两个特征的数学模型：(1) 试验的所有基本事件只有有限个（有限样本空间） ；(2) 试验中每个基本事件发生的可能性是相等的（等可能性）.定义 1.2.3 对于给定的古典概型，若基本事件总数为 n， 事件 A 包括其中的 m 个，定义事件 A 的概率 基 本 事 件 总 数的 有 利 事 件 数基 本 事 件 总 数包 括 的 基 本 事 件 数事 件 AnP)(常称之为古典概率. （事件 A 包括的基本事件数，习惯上常常称为是 A的有利事件数）例 1.2.2 掷一枚匀称的骰子，观察正面朝上的点数，显然这是一个古典概型. 令 i=掷出点数为 i
17、 , i= 1,2,6, B=掷出点数为偶数点, 则 =1, 2, 3, 4, 5, 6 , n=6; B=2, 4, 6, m=3, 所以13)( 基 本 事 件 总 数的 有 利 事 件 数BnmP2基本的组合分析公式3例子15例 1.2.3 一套五卷的选集，随机地放到书架上，求各册自左至右或自右至左恰成 1，2，3，4，5 的顺序的概率.解:例 1.2.5 有 10 个电阻，其电阻值分别为 1 ，2 ，10 ，从中取出 3 个，要求取出的 3 个电阻 1 个小于 5 ，1 个等于 5 ，1 个大于5 ，求取一次就能达到要求的概率.解： 小 结一、基本概念二样本空间会根据试验 E 写出样本空间，随机事件 三事件间的关系与运算、 的含义？ABC.()1()PA16德摩根（De MorGen）定理BABA,四、古典概率： 基 本 事 件 总 数的 有 利 事 件 数基 本 事 件 总 数包 括 的 基 本 事 件 数事 件nmP)(Ex P40 2(1,2) , 3(1,3,5,7), 8, 9
