1、数学试题 第 1 页/共 8 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司粤 湘鄂 名校 联 盟 2023 届 第 一 次联 考数 学本 试 卷 共 6 页，2 2 小 题，满 分 1 5 0 分。考 试 用 时 1 2 0 分 钟。A 1，2注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号、考 场 号 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上。将 条 形 码横 贴 在 答 题 卡“条 形 码 粘 贴 处”。2 作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点涂 黑
2、；如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案。答 案 不 能 答 在 试 卷 上。3 非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内相 应 位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按 以 上 要 求 作 答 无 效。4 考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁。考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每
3、小 题 5 分，共 4 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已 知 集 合 A 3,1,2，B x N|x2 x 6 0，则 A B=（）B-3，0，1，2 C-3，1，2，3 D-3，0，1，2，3 2 设iizz（i 为 虚 数 单 位），则 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于（）A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限3.已 知 数 列 an 满 足a1a2a3 an=2n2，且 对 任 意 n N都 有1a1+1a2+1a3+1an t，则 实 数t 的 取 值 范
4、围 是()A.(13,+)B.13,+)C.(23,+)D.23,+)4.已 知 实 数 0 a，设 函 数 1 l n)(x x a x f，0 x，若 对 任 意)91，x 均 有axx f2)(，则 实 数 a 的 取 值 范 围 为（）数学试题 第 2 页/共 8 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司A.B.C.D.5.已 知 函 数，则 实 数 a 的 取 值 范 围是A(-，1)B(-，1 C(-，e)D(，e 6 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，点 A(1，0)，B(9，6)，动 点 C 在 线 段 O B 上，B D y 轴，C E y 轴，C F B
5、D，垂 足 分 别 是 D，E，F，O F 与 C E 相 交 于 点 P 已 知 点 Q 在 点 P 的 轨 迹 上，且 O A Q 1 2 0，则|A Q|A 4 B 2 C 43D 237.A B C 中，24A B A C B，O 是 A B C 外 接 圆 圆 心，是O C A B C A C B 的最 大 值 为（）A 0 B 1 C 3 D 58.若 数 列an 为 等 差 数 列，bn为 等 比 数 列，且 满 足：a1+a2 0 2 0=2 7，b1 b2 0 2 0=2，函 数f x 满 足 f x+2=f x 且 f x=ex，x 0,2，则 fa1 0 1 0+a1 0
6、 1 11+b1 0 1 0b1 0 1 1=()A.e B.e2C.e 1D.e9二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分。9.已 知 0 x y，且 s i n s i ny xe x e y，其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数，则 下 列 选 项 中 一定 成 立 的 是（）A i i n n s s y x B.i i n n s s y x C c o c o s 0 s x y
7、 D.c o c o s 0 s x y 1 0.如 图，棱 长 为 2 的 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 的 内 切 球 球 心 为 O，E F、分 别 是 棱1A B C C、的 中 点，G 在 棱 B C 上 移 动，则（）数学试题 第 3 页/共 8 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司A.对 于 任 意 点 G，/O A 平 面 E F GB.存 在 点 G，使 O D 平 面 E F GC.直 线 E F 的 被 球 O 截 得 的 弦 长 为 3D.过 直 线 E F 的 平 面 截 球 O 所 得 截 面 圆 面 积 的 最 小 值 为21 1
8、 已 知 函 数 3,1,1xxx e xf xexx，函 数 g x x f x，下 列 选 项 正 确 的 是A 点（0，0）是 函 数 f x 的 零 点B 1 20,1,1,3 x x，使 1 2f x f x C 函 数 f x 的 值 域 为1,e D 若 关 于 x 的 方 程 22 0 g x ag x 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是222,8 2e ee 1 2.已 知 数 列 na的 前 n 项 和 为nS，且1n nS a 对 于*N n 恒 成 立，若 定 义(1)n nS S，()(1)1(2)nk kn iiS S k
9、，则 以 下 说 法 正 确 的 是（）A.na 是 等 差 数 列 B.2(3)2 12 2n nn nS C.1(2)()1(1)!kk k n kn nAS Sk D.存 在 n 使 得2021(2022)2022!nnS 三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3.已 知 直 线 l 过 点 0,1 P，且 与 圆2 2:3 O x y 相 交 于,A B 两 点，设 O C O A O B，若 点 C 在 圆 O 上，则 直 线 l 的 倾 斜 角 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 4.公 比 为 q 的 等 比 数 列 na 满
10、 足：a9=l n a1 0 0，记 Tn=a1a2a3 an，则 当 q 最 小 时，数学试题 第 4 页/共 8 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司使 Tn 1 成 立 的 最 小 n 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 5 将 函 数 c os f x x 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的12，再 向 右 平 移12个 单 位 长 度 得到 函 数 y g x 的 图 象，则 g x 的 解 析 式 为 _ _ _ _ _ _ _ _；若 方 程 25g x 在 0,x 的解 为1x，2x，则 1 2c os x x _ _ _ _ _
11、_ _ _ 1 6 2 0 1 9 年 1 月 3 日 嫦 娥 四 号 探 测 器 成 功 实 现 人 类 历 史 上 首 次 月 球 背 面 软 着 陆，我 国 航 天事 业 取 得 又 一 重 大 成 就 实 现 月 球 背 面 软 着 陆 需 要 解 决 的 一 个 关 键 技 术 问 题 是 地 面 与 探测 器 的 通 讯 联 系 为 解 决 这 个 问 题，发 射 了 嫦 娥 四 号 中 继 星“鹊 桥”，鹊 桥 沿 着 围 绕 地月 拉 格 朗 日2L 点 的 轨 道 运 行 2L 点 是 平 衡 点，位 于 地 月 连 线 的 延 长 线 上 设 地 球 质 量为 M，月 球
12、质 量 为 M，地 月 距 离 为 R，2L 点 到 月 球 的 距 离 为 r，根 据 牛 顿 运 动 定 律 和万 有 引 力 定 律，r 满 足 方 程：1 2 12 2 3()()M M MR rR r r R 设rR，由 于的 值 很小，因 此 在 近 似 计 算 中3 4 5323 33(1)，则 r 的 近 似 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。1 7（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 在 A B C 中，B b c c o s 2，32
13、 C（1）求 B 的 大 小；（2）在 下 列 三 个 条 件 中 选 择 一 个 作 为 已 知，使 A B C 存 在 且 唯 一 确 定，并 求 出 B C 边上 的 中 线 的 长度 2 c b；周 长 为4 2 3；面 积 为3 34A B CS 1 8.已 知 数 列 an，Sn是 an的 前 n 项 的 和，且 满 足 Sn=2 an 1(n N)，数 列 bn 是 等 差 数 列，b2+b6=a4，a5 b4=2 b6(1)求 an，bn 的 通 项 公 式；(2)设 数 列 Sn 的 前 n 项 和 为 Tn，设 cn=(1)n(Tn+bn+2)b3 n+4bn+1bn+2，
14、求 cn的 前 n 项 的 和 Dn数学试题 第 5 页/共 8 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）某 社 区 消 费 者 协 会 为 了 解 本 社 区 居 民 网 购 消 费 情 况，随 机 抽 取 了 1 0 0 位 居 民 作 为 样 本，就 最近 一 年 来 网 购 消 费 金 额，网 购 次 数 和 支 付 方 式 等 进 行 了 问 卷 调 查.经 统 计，这 1 0 0 位 居 民 的网 购 消 费 金 额 均 在 区 间 0,30 内（单 位：千 元），按 0,5 5,10,10,15,15,20,20,25,25,30 分
15、 成 6 组，其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示.（1）估 计 该 社 区 居 民 最 近 一 年 来 网 购 消 费 金 额 的 中 位 数；（2）将 一 年 来 网 购 消 费 金 额 在 2 0 千 元 以 上 称 为“网 购 迷”，补 全 下 面 的 2 2 列 联 表，并 判断 有 多 大 把 握 认 为“网 购 迷 与 性 别 有 关 系”；男 女 合 计网 购 迷 2 0非 网 购 迷 4 5合 计 1 0 0（3）调 查 显 示，甲、乙 两 人 每 次 网 购 采 用 的 支 付 方 式 相 互 独 立，两 人 网 购 时 间 与 次 数 也 互不 影 响.统 计
16、最 近 一 年 来 两 人 网 购 的 总 次 数 与 支 付 方 式，所 得 数 据 如 下 表 所 示：网 购 总 次 数 支 付 宝 支 付 次 数 银 行 卡 支 付 次 数 微 信 支 付 次 数甲 8 0 4 0 1 6 2 4乙 9 0 6 0 1 8 1 2将 频 率 视 为 概 率，若 甲、乙 两 人 在 下 周 内 各 自 网 购 2 次，记 两 人 采 用 支 付 宝 支 付 的 次 数 之 和为，求 的 数 学 期 望.附：观 测 值 公 式：22a b c d ad bcKa b c d a c b d.临 界 值 表：20P K k 0.1 0 0.0 5 0.0
17、2 5 0.0 1 0 0.0 0 5 0.0 0 10k2.7 0 6 3.8 4 1 5.0 2 4 6.6 3 5 7.8 7 9 1 0.8 2 82 0（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 直 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 中，侧 面1 1A A B B 为 正 方 形，2 A B B C，E，F 分 别 为 A C数学试题 第 6 页/共 8 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司和1C C 的 中 点，D 为 棱1 1A B 上 的 点，1 1B F A B（1）证 明：B F D E；（2）当1B D 为 何 值 时，面1 1B B C C 与 面 D
18、F E 所 成 的 二 面 角 的 正 弦 值 最 小？2 1.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 抛 物 线 2:2 0 E x py p 的 焦 点 为 F，直 线 4 x 分 别 与 x轴 交 于 点 P，与 抛 物 线 E 交 于 点 Q，且54Q F P Q.（1）求 抛 物 线 E 的 方 程；（2）如 图，设 点,A B C 都 在 抛 物 线 E 上，若 A B C 是 以 A C 为斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形，求 A B A C 的 最 小 值.2 2.（1 2 分）已 知 函 数2()l n f x x x.（）求 函 数 x x f y)(的 最 小 值；（）若 方 程()(R)f x m m 有 两 实 数 解2 1,x x，求 证：2 21 2 1 21 1 e 11|x x x x.（其中 e 2.7 1 8 2 8 L 为 自 然 对 数 的 底 数）
