1、勾股定理1勾股定理的探索如图，在单位长度为 1 的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形：观察图形可知：(1)各正方形的面积：正方形的面积 S1为 1，正方形的面积 S2为 1，正方形的面积 S3为 2；(2)各正方形面积之间的关系： S1 S2 S3；(3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方【例 1】 如图，Rt ABC 在单位长度为 1 的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形回答下列问题：(1)a2_， b2_， c2_；(2)a， b， c 之间有什么关系？(用关系式表示)分析： a2等于以 BC 为边长的正方形的面
2、积 16， b2等于以 AC 为边长的正方形的面积9， c2等于以 AB 为边长的正方形的面积 25.解：(1)16 9 25 (2) a2 b2 c2.释疑点 网格中求正方形的面积求以 AB 为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形 CDEF(如图)中去，它的面积等于正方形 CDEF 的面积减去它外围的 4 个小直角三角形的面积2勾股定理(1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即：勾 2股2弦 2.(3)勾股定理的表示方法：在 Rt ABC
3、 中， C90， A， B， C 的对边分别为a， b， c，则 a2 b2 c2.辨误区 应用勾股定理的几个误区(1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系(2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边尤其在记忆 a2 b2 c2时，此关系式只有当 c 是斜边时才成立若 b 是斜边，则关系式是 a2 c2 b2；若 a 是斜边，则关系式是 b2 c2 a2.(3)勾股定理有许多变形，如 c 是斜边时，由 a2 b2 c2，得 a2 c2 b2， b2 c2 a2等熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助【例 21】 在 ABC 中， C90，(1)若 a
4、3， b4，则 c_；(2)若 a6， c10，则 b_；(3)若 a b34， c5，则 a_， b_.解析：因为在 ABC 中， C90，所以有关系式 a2 b2 c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一” (1)c2 a2 b23 24 25 2，则 c5；(2)b2 c2 a210 26 28 2，则 b8；(3)若 a b34，可设 a3 x， b4 x，于是(3 x)2(4 x)25 2.化简，得 9x216 x225，即 25x225， x21， x1( x0)因此 a3 x3， b4 x4.答案：(1)5 (2)8 (3)3 4谈重点 用勾股定理求边长这是
5、一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长【例 22】 有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4 000 m 处，过了 20 s，飞机距离这个男孩头顶 5 000 m，那么飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出图形如图，在 ABC 中， C90， AC4 000 m， AB5 000 m.欲求飞机每时飞行多少千米，就须知道其 20 s 时间里飞行的路程，即图中 CB 的长由于 ABC 的斜边 AB5 000 m， AC4 000 m，这样 BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算解：如
6、图， AB5 000 m5 km， AC4 000 m4 km，故由勾股定理得 BC2 AB2 AC25 24 29，即 BC3 km.因为飞机 20 s 飞行 3 km，所以它每小时飞行的距离为 3540(km)3 600203勾股定理的验证方法 1：用四个相同的直角三角形(直角边为 a， b，斜边为 c)构成如图所示的正方形由“大正方形的面积小正方形的面积4 个直角三角形的面积” ，得(a b)2 c24 ab.12化简可得： a2 b2 c2.方法 2：用四个相同的直角三角形(直角边为 a， b，斜边为 c)构成如图所示的正方形由“大正方形的面积小正方形的面积4 个直角三角形的面积” ，
7、得c2( b a)24 ab.12化简可得： a2 b2 c2.方法 3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为 a， b，斜边为 c)构成如图所示的梯形由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得：(a b)(a b)2 ab c2.12 12 12化简可得： a2 b2 c2.说明：勾股定理的验证还有很多方法我明白了！在一些几何问题中，利用图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变对啊! 利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式，从而推导出勾股定理.【例 3】 在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽
8、的勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为 b，那么( a b)2的值为( )A169 B144 C100 D25解析：根据图形面积的和差关系，4 个直角三角形的面积大正方形面积小正方形面积13112，可知 4 ab12，即 2ab12，由勾股定理得 a2 b213，12所以( a b)2 a2 b22 ab131225.答案：D4利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题常见的方法有：(1)利
9、用高(作垂线)构造直角三角形；(2)利用已知直角构造直角三角形；(3)利用勾股定理构造直角三角形已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差【例 4】 如图，校园内有两棵树，相距 12 m，一棵树高 13 m，另一棵树高 8 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？图分析：分别用 AB， CD 表示两棵树，如图，得到梯形 ABCD，过 D 作 AB 的垂线，垂足为 E，可构造出 Rt AED，利用勾股定理解决解：如图，作 DE AB 于点 E，图 AB13 m， CD8 m， AE5 m.由 BC12 m，得 DE12 m.在 Rt
10、 ADE 中， AD2 AE2 DE2， AD13 m.小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞 13 m5.利用勾股定理求面积(1)利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用把所求的面积转化到已知的数量关系中去如求图中阴影部分的面积，可转化为中间正方形的面积，而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方，借助于右侧的直角三角形，利用勾股定理解答即可(2)利用勾股定理求面积，还要注意整体思想的应用【例 5】 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽 4 m，高 3 m，长 20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积分析：要求阳光透过的最大面积即塑料薄膜的面
11、积，需要求出它的另一边 AB 的长是多少，可以借助勾股定理求出解：在 Rt ABC 中，由勾股定理，得AB2 AC2 BC23 24 25 2，即 AB5(m)故矩形塑料薄膜的面积是 520100(m 2)点评：勾股定理是以直角三角形存在(或添加辅助线可以构造的)为基础的；表示直角三角形边长的 a， b， c 并非是一成不变的， c 并不一定就是斜边的长6勾股定理与方程相结合的应用(1)在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时直接运用，有时是通过勾股定理来列方程求解具体问题如下：已知直角三角形的两边，求第三边的长；说明线段的平方关系；判断三角形的形状或求角的大小；解
12、决实际问题(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)，利用列方程或方程组来解决(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合，解决此类问题可以先根据勾股定理列出关于两直角边的数量关系式，再通过恒等变形巧妙求解 【例 6】 如图，滑杆在机械槽内运动， ACB 为直角，已知滑杆 AB 长 2.5 m，顶端 A在 AC 上运动，量得滑杆下端 B 距 C 点的距离为 1.5 m，当端点 B 向右移动 0.5 m 时，求滑杆顶端 A 下滑了多少米？分析：注意滑杆 AB 在滑动过程中长度保持不变，同时注意 ACB 为直角这一条件在Rt ABC 中，应用勾股定理求得 AC；在 Rt ECD 中，应用勾股定理求得 EC，两者之差即为所求解：设 AE 的长为 x m，由题意，得 CE( AC x) m. AB DE2.5 m， BC1.5 m， C90， AC2 AB2 BC22.5 21.5 22 2. AC2 m. BD0.5 m， CD CB BD1.50.52 m.在 Rt ECD 中，CE2 DE2 CD22.5 2(1.50.5) 21.5 2.2 x1.5 m， x0.5 m，即 AE0.5 m.滑杆顶端 A 下滑了 0.5 m
