1、1线性代数习题和答案第一部分 选择题(共 28分)一、单项选择题(本大题共 14小题,每小题 2分,共 28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m,=n,则行列式 等于()a aa a11 1221 22a aa a13 1123 21a a aa a a11 12 1321 22 23 A.m+n B.-(m+n)C.n-m D.m-n2.设矩阵 A=,则 A-1等于()1 0 00 2 00 0 3 A.B.130 001200 0 11 0 001200 013 C.D.130 00 1 00 012120 0
2、01300 0 13.设矩阵 A=,A*是 A 的伴随矩阵,则 A*中位于(1,2)的元素是()3 1 21 0 12 1 4 A.6 B.6 C.2 D.24.设 A 是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC,则必有()A.A=0 B.B C 时 A=0 C.A 0时 B=C D.|A|0时 B=C 5.已知 34矩阵 A 的行向量组线性无关,则秩(AT)等于()A.1 B.2 C.3 D.46.设两个向量组1,2,s和1,2,s均线性相关,则()A.有不全为 0的数1,2,s使11+22+ss=0 和11+22+ss=0 B.有不全为 0的数1,2,s使1(1+1)+2(2+2)+s(s+s)=
3、0 C.有不全为 0的数1,2,s使1(1-1)+2(2-2)+s(s-s)=0 D.有不全为 0的数1,2,s和不全为 0的数1,2,s使11+22+ss=0 和11+22+ss=07.设矩阵 A 的秩为 r,则 A 中()A.所有 r-1阶子式都不为 0 B.所有 r-1阶子式全为 02 C.至少有一个 r 阶子式不等于 0 D.所有 r 阶子式都不为 08.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组,1,2是其任意 2个解,则下列结论错误的是()A.1+2是 Ax=0 的一个解 B.1+2是 Ax=b 的一个解1212 C.1-2是 Ax=0 的一个解 D.21-2是 Ax=b 的一个解9.设
4、n阶方阵 A 不可逆,则必有()A.秩(A)n B.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n(3)阶方阵,下列陈述中正确的是()A.如存在数 和向量使 A=,则 是 A 的属于特征值的特征向量 B.如存在数 和非零向量,使(E-A)=0,则 是 A 的特征值 C.A 的 2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如 1,2,3是 A 的 3个互不相同的特征值,1,2,3依次是 A 的属于1,2,3的特征向量,则1,2,3有可能线性相关11.设0是矩阵 A 的特征方程的 3重根,A 的属于0的线性无关的特征向量的个数为 k,则必有()A.k3 B.k3
5、12.设 A 是正交矩阵,则下列结论错误的是()A.|A|2必为 1 B.|A|必为 1 C.A-1=ATD.A 的行(列)向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B=CTAC.则()A.A 与 B 相似 B.A 与 B 不等价 C.A 与 B 有相同的特征值 D.A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为()A.B.2 33 43 42 6 C.D.1 0 00 2 30 3 51 1 11 2 01 0 2第二部分 非选择题(共 72分)二、填空题(本大题共 10小题,每小题 2分,共 20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
6、15.1 1 13 5 69 25 3616.设 A=,B=.则 A+2B=.111111112234 17.设 A=(aij)33,|A|=2,Aij表示|A|中元素 aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则 a=.19.设 A 是 34矩阵,其秩为 3,若 1,2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解,则它的通解为.320.设 A 是 mn 矩阵,A 的秩为 r(n),则齐
7、次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量、的长度依次为 2和 3,则向量+与-的内积(+,-)=.22.设 3阶矩阵 A 的行列式|A|=8,已知 A 有 2个特征值-1和 4,则另一特征值为.23.设矩阵 A=,已知=是它的一个特征向量,则所对应的特征值为.0 10 61 3 32 10 8 21224.设实二次型 f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4,正惯性指数为 3,则其规范形为.三、计算题(本大题共 7小题,每小题 6分,共 42分)25.设 A=,B=.求(1)ABT;(2)|4A|.1 2 03 4 01 2 1 223410 26.试计算行列式
8、.3 1 1 25 1 3 42 0 1 11 5 3 3 27.设矩阵 A=,求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B.4 2 31 1 01 2 3 28.给定向量组1=,2=,3=,4=.210313243021 0149试判断4是否为1,2,3的线性组合;若是,则求出组合系数。29.设矩阵 A=.1 2 1 0 22 4 2 6 62 1 0 2 33 3 3 3 4 求:(1)秩(A);(2)A 的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵 A=的全部特征值为 1,1和-8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D,使 T-0 2 22 3 42 4 3 1AT=D.31.试用配方法化下列
9、二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=,x x x x x x x x x1222321 2 1 3 2 32 3 4 4 4 并写出所用的满秩线性变换。四、证明题(本大题共 2小题,每小题 5分,共 10分)32.设方阵 A 满足 A3=0,试证明 E-A 可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解,1,2是其导出组 Ax=0 的一个基础解系.试证明(1)1=0+1,2=0+2均是 Ax=b 的解;(2)0,1,2线性无关。4答案:一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.
10、A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分)15.616.3 3 71 3 7 17.418.1019.1+c(2-1)(或 2+c(2-1)),c 为任意常数20.n-r21.522.223.124.z z z z12223242 三、计算题(本大题共 7小题,每小题 6分,共 42分)25.解(1)ABT=1 2 03 4 01 2 12 23 41 0=.8 618 103 10(2)|4A|=43|A|=64|A|,而|A|=.1 2 03 4 01 2 12 所以|4A|=64(-2)=-12826.解 3 1 1 25
11、1 3 42 0 1 11 5 3 35 1 1 111 1 3 10 0 1 05 5 3 0=5 1 111 1 15 5 0=5 1 16 2 05 5 06 25 530 10 40.27.解 AB=A+2B 即(A-2E)B=A,而(A-2E)-1=2 2 31 1 01 2 11 4 31 5 31 6 41.5所以 B=(A-2E)-1A=1 4 31 5 31 6 44 2 31 1 01 2 3=3 8 62 9 62 12 9.28.解一 2 1 3 01 3 0 10 2 2 43 4 1 90 5 3 21 3 0 10 1 1 20 13 1 12 1 0 3 50
12、1 1 20 0 8 80 0 14 141 0 3 50 1 1 20 0 1 10 0 0 0 1 0 0 20 1 0 10 0 1 10 0 0 0,所以4=21+2+3,组合系数为(2,1,1).解二 考虑4=x11+x22+x33,即 2 3 03 12 2 43 4 91 2 31 22 31 2 3x x xx xx xx x x.方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1).29.解 对矩阵 A 施行初等行变换A 1 2 1 0 20 0 0 6 20 3 2 8 20 9 6 3 2=B.1 2 1 0 20 3 2 8 30 0 0 6 20 0 0 21 7
13、1 2 1 0 20 3 2 8 30 0 0 3 10 0 0 0 0(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系,而 B 是阶梯形,B 的第 1、2、4列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组,故 A 的第 1、2、4列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。(A 的第 1、2、5列或 1、3、4列,或 1、3、5列也是)30.解 A 的属于特征值=1 的 2个线性无关的特征向量为1=(2,-1,0)T,2=(2,0,1)T.6经正交标准化,得1=,2=.2 5 55 50/2 5 154 5 155 3/=-8 的一个特征向量为3=,
14、经单位化得3=122 1 32 32 3/.所求正交矩阵为 T=.2 5 5 2 15 15 1 35 5 4 5 15 2 30 5 3 2 3/对角矩阵 D=1 0 00 1 00 0 8.(也可取 T=.)2 5 5 2 15 15 1 30 5 3 2 35 5 4 5 15 2 3/31.解 f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32.设,即,y x x xy x xy x1 1 2 32 2 33 32 2 x y yx y yx y1 1 22 2 33 32 因其系数矩阵 C=可逆
15、,故此线性变换满秩。1 2 00 1 10 0 1 经此变换即得 f(x1,x2,x3)的标准形 y12-2y22-5y32.四、证明题(本大题共 2小题,每小题 5分,共 10分)32.证 由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以 E-A 可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.33.证 由假设 A0=b,A1=0,A2=0.(1)A1=A(0+1)=A0+A1=b,同理 A2=b,所以1,2是 Ax=b 的 2个解。(2)考虑l00+l11+l22=0,即(l0+l1+l2)0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0,否则0将是 Ax=0 的解,矛盾。所以l11+l22=0.又由假设,1,2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而 l0=0.所以0,1,2线性无关。