1、微积分第三章 导数与微分 引例 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分 QQ374289236微积分3-3 导数的基本公式（续）取对数求导法隐函数微分法参数函数微分法QQ374289236微积分隐函数的求导法则QQ374289236微积分隐函数的求导法则F(x,f(x)0对上式两边关于 x 求导（把看成是中间变量）：0),(dd y x Fx然后,从这个式子中解出 y,就得到隐函数的导数.方法：则将 y=f(x)代入方程中,得到如果由方程 F(x,y)=0 确定隐函数 y=f(x)可导,QQ374289236微积分解两边对x寻求导)(arctan)(ln2 2xyy x)()(11
2、)(12122 22 2 xyxyy xy x)()(11)2 2(121222 2xy x yxyy y xy xdxdy.x yy x QQ374289236微积分求由方程 0),(y xe e xy y x F(x 0)所确定的隐函数的导数 y,并求.0 xy 方程两边关于 x 求导：0 y e e y x yy x故x ey eyyx由原方程可得：F(0,y)=0 y e0+ey=0从而00 xy解例 1 00 xyxxx ey ey故QQ374289236微积分求椭圆.),(10 02222处的切线方程 在点 y xbyax 对方程两边关于 x 求导得：02 22 2by yaxy
3、ax by22 故所求切线的方程为：)(002020 x xy ax by y 解整理后,切线方程为：12020 by yax x例QQ374289236微积分参数方程求导法则QQ374289236微积分选择一个适当的参数 t 后,)()(t y yt x xI t的形式,此式称为函数 y=f(x)的参数方程.y=f(x)可表示为1.参数方程的概念参数方程求导法则QQ374289236微积分参数方程求导法则：设)()(t y yt x xI tdxdy则 且 存在 若,0)(,)(dtd),(dtd t x t xxt yydtdxdtdydtdxdtdy.利用反函数求导法则可证明该法则dxd
4、tdtdy.QQ374289236微积分.2,sincos 时的切线方程 在 求椭圆tt b yt a x椭圆上任意一点x处的切线的斜率为tabt at bt at bxyk cotsincos)cos()sin(dd 02cot2 abkt故,02cos0 a xb b y 2sin0从而,所求切线方程为：y=b.解例又QQ374289236微积分的 星形线 323232a y x)2,0(sincos33tt a yt a x.ddxy求Oxyta a 参数方程为 星形线是一种圆内摆线例4dd小大QQ374289236微积分)cos()sin(dd33t at axyt t at t as
5、in cos 3cos sin 322t tan),2(Z nnt解QQ374289236微积分取对数求导法QQ374289236微积分然后,对方程两边关于 x 求导：)(lnx fyy方法:在条件允许的情况下,对 y=f(x)两边同时取对数：)(ln ln x f y|)(|ln|ln x f y 或)(ln x f y y注意：y 是 x 的函数.取对数求导法或)|)(|(lnx fyy)|)(|(ln x f y yQQ374289236微积分 取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.QQ374289236微积分.sin的导数 求xx y 运用取对数求导法x x x
6、 yxln sin ln lnsin 两边关于 x 求导：xxx xyy sinln cos 故)sinln cos(sinxxx x x yx 解例QQ374289236微积分.,cos sin11 2 323 2y x xxxx y 求 设运用取对数求导法两边关于 x 求导：x x x x x y cos ln 2 sin ln 3)1 ln()1 ln(ln32ln2 解x yy 132x 11212xxxxsincos 3xxcossin 2 例QQ374289236微积分x xxxx y2 323 2cos sin11 tan 2 cot 3121132 2x xxxx x整理得对这
7、类型的题用取对数求导法很方便！QQ374289236微积分.,)1)(8 1)(5 1()1)(2 1)(1(342yx x xx x xy 求 设运用取对数求导法)1 ln()2 1 ln()1 ln(31ln2x x x y 432148 185 15122 121131xxx xxxx x yy解)1 ln()8 1 ln()5 1 ln(4x x x 例QQ374289236微积分y342)1)(8 1)(5 1()1)(2 1)(1(31x x xx x x 432148 185 15122 1211xxx xxxx x故QQ374289236微积分基本初等函数的导数导数的四则运算法
8、则反函数的导数复合函数求导法隐函数的求导法参数方程求导法取对数求导法 求导方法小结按定义求导QQ374289236微积分3.4 高阶导数QQ374289236微积分3.4 高阶导数一.高阶导数的概念2 高阶导数的运算法则 3 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数QQ374289236微积分一.高阶导数的概念,cos)(sin x x 例,sin)(cos x x.sin 连续求两次导数的结果 是 x,sin 记为 的二阶导数 称为函数 xx x x x sin)(cos)(sin)(sin)()(,仍然 的导函数 如果函数 一般说来 x f x f的二 的导数为原来函数 则称 可导)()(,
9、x f x f.)()(,x f x f 记为 阶导数QQ374289236微积分推而广之:,1)(的函数 它仍是 阶导数存在 的 设 x n x f.,阶导数 数的 则称它的导数为原来函 若它可导 n:阶导数的记号为 n.dd,d)(d,),()()(nnnnn nxyxx fy x f,)()()1()(x f x fn n,d)(dddd)(d11nnnnxx fx xx f,dddddd11nnnnxyx xy,)()1()(n ny yQQ374289236微积分按照一阶导数的极限形式,有xx f x x fx f yn nxn n)()(lim)()1()1(0)()(00)1()
10、1(0)()()()(lim)(00 x xx f x fx f yn nx xnx xn 和QQ374289236微积分 一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数 f(x)在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f(n)(x),且 f(n)(x)仍是连续的(此时低于 n 阶的导数均连续),则称 f(x)在区间 I 上 n 阶连续可导,记为.)()I()(n nC x f C x f 或 如果 f(x)在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数 f(x)是无穷次连续可导的,记为.)()I()(C x f C x f 或QQ374289236微积分1)(n nx n x y2
11、 1)1()()(n nx n n x n y y3)2()1()(nx n n n y yk n k kx k n n n n y y)1()2()1()()1()(.,的高阶导数 求幂函数 Z n x yn)1(n k 解例QQ374289236微积分注意,当 k=n 时!1 2 3)2()1()()(n n n n xn n 综上所述：.0)(,1,)(k nx n k 时 当 从而k n k nx k n n n x)1()1()()()1(n k 0)()(k nx)1(n kQQ374289236微积分)()()(k n kb ax y,1 时 当 n k k k na b ax
12、k n n n)(1()1(,1 时 当 n k0)(ky解例.)(的高阶导数 求nb ax y QQ374289236微积分多项式的高阶导数.n nn nna x a x a x a x P 111 0)(231202)2)(1()1(nn na x n n a x n n a y!0)(n a yn 解12110)1(nn na x n a nx a y 例0)2()1(n ny yQQ374289236微积分对多项式而言,每求一次导数,多项式的次数降低一次;n 次多项式的 n 阶导数为一常数;大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0.QQ374289236微积分 求 y=ex 的各阶导数.
13、解xe y y=ex 的任何阶导数仍为 exx n xe e)()()(N n x xe e y y)()(x ne y)(例QQ374289236微积分求 y=ax 的各阶导数.解a a yxln 运用数学归纳法可得2)(ln)ln()(a a a a y yx x k x ka a y)(ln)(例)()(ln)()(Z n a a an x n xQQ374289236微积分求 y=lnx 的各阶导数.解11 xxy2 1 2 2)1()1(x x y3)2)(1(x y1 1 1!)1 1()1(x2 1 2!)1 2()1(x3 1 3!)1 3()1(x设 k k kx k y!)
14、1()1(1)(例QQ374289236微积分1 1)1()()!1()1(k k kx k k y)1(1)1(!1)1()1(k kx k)()!1()1()(ln1)(N n x n x yn n n n 类似地,有)()()!1()1()(ln(1)(N nb ax a n b axn n n n 则故由数学归纳法得QQ374289236微积分.1 的高阶导数 求xy 解)(ln1 xxy)1()()()(ln)(ln n n nx x y)1(1)1(!1)1()1(n nx n)1(!)1(n nx n 注意这里的方法)()!1()1()(ln1)()(N n x n x yn n
15、 n n 例QQ374289236微积分即类似地,有)(!)1(1)1(N n x nxn n)1()(!)1(1 n n nb ax a nb axQQ374289236微积分解x y cos x y sin x y cos x y sin)4(.cos,sin 的各阶导数 求 x y x y x y sin 看 出 结 论 没 有？)24 sin(x)23 sin(x)22 sin(x)21 sin(x例QQ374289236微积分运用数学归纳法可以证得)()2sin()(sin)(Z n n x xn类似地,可求得)()2cos()cos()(Z n n x xnQQ374289236微
16、积分解xxsincos)(cotdddd22xx xyx2csc.dd,sin ln22xyx y 求)sin(lnddddxx xyx cot 例QQ374289236微积分)sin(cossin 2 sinx e x e yx x)sin(cos2 sinx x ex.,siny e yx 求解x e yxcossin二阶导数经常遇到,一定要掌握.例QQ374289236微积分2)(d)(dyyy.)0,(dd,1dd 3 22 y yyyyxy yx导出 试从解由复合函数及反函数的求导法则,得)()(1dddddddd22y y yxy yx 2)(ddd)(dyyxxy 3)(yy 例
17、.dd,22的导数 对 是 的导数 对 是 与 y xyxx y y y QQ374289236微积分2 高阶导数的运算法则 设 f(x),g(x)有直到 n 阶的导数,则(1)(2)莱布尼兹公式)()()()()()()(x g x f x g x fn n n)()()()()()(0)(x g x f C x g x fk k nnkknn.!)(!,k n knCkn 其中两个基本公式QQ374289236微积分.6 51dd 2 100100 x x x求由于)3)(2(16 512 x x x x,3121x x故 31dd21dd6 51dd1001001001002 10010
18、0 x x x x x x x101 101)3(1)2(1!100 x x101 100 101 100)3(!100)1()2(!100)1(x x解例)1()(1!)1()(n n nx n xQQ374289236微积分解.,sin)80(2y x x y 求 设 由莱布尼兹公式)80(2)80()sin(x x y)(280 sin2 080 x x Cx x x x x sin 6320 cos 160 sin2)(278 sin 2280 x C)(279sin)2(180 x x C例QQ374289236微积分3 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数原则是:按照高阶导数的定
19、义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.QQ374289236微积分.dd,4 222 2xyy y x x 求 设 对方程两边关于 x 求导:0 2 2 y y y x y xy xy xy22 故解 想想如何求二阶导数？例QQ374289236微积分 y xy xxy22dd 22从而3 32 2)2(24)2()(6y x y xy y x x 2)2()(3y xy x y 2)2()2 1)(2()2)(2(y xy y x y x y 2)2(223y xy xy xx y QQ374289236微积分 对方程两边关于 x 求导,得:对该方程两边关于 x 求导:
20、y e y e y x y yy x y x 2)1(y xy xe xy y ey 2)1(2.y xy xe xy ey解)1(y e y x yy x 从而其中,例.,y e xyy x 求QQ374289236微积分.dd,)(tan 22xyy x y 求 设 方程两边对 x 求导)1()(sec2y y x y)(sec 1)(secdd 22y xy xxy 得)(sin12y x)(csc2y x 解例QQ374289236微积分xyx xydddddd22)(cot)(csc 23 2y x y x)1()(cot)csc()csc(2 y y x y x y x)csc()
21、csc(2 y x y x)(cscdd2y xx 故QQ374289236微积分参数方程求导法则：设)()(t y yt x xI tdxdy则 且 存在 若,0)(,)(dtd),(dtd t x t xxt yydxdtdtdy.QQ374289236微积分22dxy ddtdxdtdydxd2.dtdxdtdxdtdydtdxdtdyx x2.dtdxdxdtdtdxdtdydtdxdxdtdtdyt t32222.dtdxdtx ddtdydtdxdty d3)()()()()(t xt x t y t x t y QQ374289236微积分.dd,arctan)1 ln(332x
22、yt t yt x求 设 解)1 ln()arctan(dd2tt txy)1 ln(2dd222ttxy21211122tttttttt41122122例QQ374289236微积分)1 ln(41dd2233tttxy34222 2811241 2tttttt t 参数方程求导 并不难啊！QQ374289236微积分.,)cos-(1sint)-(22dxy dt a yt a x求 设解)sin()cos 1(ddt t at axy 2cottttcos 1sin)sin(2cotdd)(22t t atxy)cos 1(12sin 212t at),2(Z k k t 2)cos 1
23、(1t a 例QQ374289236微积分例)(是由方程组 设 x y y 0 1 sin 0 3 2 3 2y t ex t ty.0 dd,22 t xy求 所确定的隐函数解 3,0 3 3 3 0 2及 得 由 tx x t t,2 6 dd ttx 1,0 1 sin 0 及 得 由 tyy y t e,2 cos sin 1cos ddyt et et etyyyyQQ374289236微积分,)2 6)(2(cos d d d d dd t yt et xt yxyy故2 6cos2 dddddddd 22ttyex xyx xyy从而2 6cosdd2 2 dd2 6costtx yeyex tty y3 2)2 6)(2(cos 6 sin)2 6(dd)2)(2(6 cos)3(t yt t t exyy tt e yy y.4)3 2(0 dd,1,3,0 22 e et xyy x t 得 代入QQ374289236微积分:2 6cosdd ttx计算xtttt ttx d d2 6cos dd2 6cosdd1d d2 6cos ddtxttt2 61)2 6(cos 6 sin)2 6(2 t tt t t.)2 6(cos 6 sin)2 6(3 tt t t2 6 dd ttxQQ374289236
