1、工程数学二复习题（教师用）一、选择题：1、下列等式中有一个是微分方程，它是（D）A、B、)(uv v u v u vuvv u v u2C、D、dxe y dedxdyxx)(0 4 3 y y y解：选项 A 和 B 是求导公式，选项 C 为恒等式，选项 D 符合微分方程的定义2、下列方程中有一个是一阶微分方程，它是（C）A、B、y y x y x y 2 2)(0)(5)(7 5 4 2 x y y yC、D、0)()(2 2 2 2 dy y x dx y x 0 4 3 y y y x领红包：打开支付宝首页搜索“512371172”，即可领红包领下面余额宝红包才是大红包，一般都是 5-
2、10 元 支付的时候把支付方式转为余额宝就行呢 没钱往里冲点 每天都可以领取哟！3、若级数 与 都发散，则（C）1 nna1 nnbA、发散 B、发散1)(nn nb a1 nn nb aC、发散 D、发散1)(nn nb a12 2)(nn nb a解：由 推知若选项 C 收敛，则 收敛，与题设矛盾，故选 Cn n nb a a 1 nna4、级数 的部分和数列 有界是该级数收敛的（A）1 nna nSA、必要非充分条件 B、充分非必要条件C、充要条件 D、既非充分也非必要条件5、级数（a 为常数）收敛的充分条件是（A）1 nnqaA、|q|1 B、q=1 C、|q|1 D、q1QQ3742
3、89236解：该级数是公比为 的几何级数，所以当，即|q|1 时级数收敛q111q6、若级数 收敛，那么下列级数中发散的是（B）1 nnaA、B、C、100+D、1100nna1)100(nna1 nna1100nna解：选项 B 中，因为，所以该级数发散 0 100)100(lim nna7、若级数 发散，则（D）1 nnaA、B、0 lim nna)(lim2 1 n n nna a a S S C、任意加括号后所成的级数必发散1 nnaD、任意加括号后所成的级数可能收敛1 nna解：选项 A 和 B 均为级数发散的充分条件，但非要条件。若级数发散，则任意加括号后所成级数可能收敛也可能发散
4、8、若级数 收敛，则下述结论中，不正确的是（C）1 nnaA、收敛 B、收敛 12 1 2)(nn na a1 nnka)0(kC、收敛 D、1|nna 0 lim nna解：选项 A 中因为 所以 A 正确 14 3 2 1 2 1 2)()()(nn na a a a a a 选项 B 中由级数收敛性质知该级数收敛，所以 B 正确选项 D 是级数收敛的必要条件，所以 D 正确选项 C 中原级数收敛，可能收敛也可以发散1|nnaQQ3742892369、无穷级数 收敛的充分条件是（C）1)0()1(nn nnu uA、B、),2,1(1 n u un n0 lim nnuC、，且 D、收敛)
5、,2,1(1 n u un n0 lim nnu 11)()1(nn nnu u解：所给级数为交错级数，选项 C 为交错级数判断收敛性的莱布尼茨定理中的条件10、设，则下列级数中必定收敛的是（D）),2,1(10 nnunA、B、C、D、1 nnu1)1(nnnu1 nnu12)1(nnnu11、在球 内部的点是（C）0 22 2 2 z z y xA、（0，0，2）B、（0，0，-2）C、D、)21,21,21()21,21,21(解：球的标准方程为，是以（0，0，1）为球心，1 为半径的球面，1)1(2 2 2 z y x经验算选项 C 中的点到球心的距离为 12312、设函数，则下列各结
6、论中不正确的是（D）2 2),(y xxyy x f z A、B、2 2),1(y xxyxyf2 2),1(y xxyyxfC、D、2 2)1,1(y xxyy xf2 2),(y xxyy x y x f 13、设函数 z=f(x,y)在点(x0，y0)处存在对 x，y 的偏导数，则 f x(x0，y0)=（B）A、B、xy x f y x x fx),(),2(lim0 0 0 00 xy x x f y x fx),(),(lim0 0 0 00C、D、xy x f y y x x fx),(),(lim0 0 0 0000 00),(),(limx xy x f y x fx 解：根
7、据偏导数定义知选项 C 和 D 显然错误选项 A 中，=xy x f y x x fx),(),2(lim0 0 0 00),(22),(),2(lim 20 00 0 0 00y x fxy x f y x x fxx QQ374289236选项 B 中，=xy x x f y x fx),(),(lim0 0 0 00),(),(),(lim0 00 0 0 00y x fxy x f y x x fxx 14、二元函数 z=f(x,y)的两个偏导数存在，且，则（D）0,0 yzxzA、当 y 保持不变时，f(x,y)是随 x 的减少而单调增加的B、当 x 保持不变时，f(x,y)是随 y
8、 的增加而单调增加的C、当 y 保持不变时，f(x,y)是随 x 的增加而单调减少的D、当 x 保持不变时，f(x,y)是随 y 的增加而单调减少的解：由 知当 y 保持不变时，f(x,y)是 x 的单调增加函数；0 xz由 知当 x 保持不变时，f(x,y)是 y 的单调减少函数；0 yz15、函数 z=f(x,y)在点（x0,y0）处可微的充分条件是（D）A、f(x,y)在点(x0,y0)处连续B、f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数C、0),(),(lim0 0 0 00 y y x f x y x f zy xD、，其中 0),(),(lim0 0 0 00 y y x f x
9、y x f zy x2 2)()(y x 解：二元函数在点（x0,y0）连续或偏导数存在均不能保证在此点可微由全徽分的定义知选项 D 正确16、已知函数，则（B）2 2),(y x y x y x f yy x fxy x f),(),(A、2x-2y B、x+y C、2x+2y D、x-y解：设 u=x+y，v=x-y，则 f(u，v)=uv，从而 f(x，y)=xyyy x fxy x f),(),(17、已知函数，则 分别为（A）xy y x y x xy f 2 2),(yy x fxy x f),(,),(A、-1，2y B、2y，-1 C、2x+2y，2y+x D、2y，2x解：设
10、 u=xy,v=x+y，则 f(u，v)=(x+y)2-xy=v2-u所以 f(x，y)=y2-xQQ37428923618、点 使 且 成立，则（D）),(0 0y x 0),(y x fx0),(y x fyA、是 的极值点 B、是 的最小值点),(0 0y x),(y x f),(0 0y x),(y x fC、是 的最大值点 D、可能是 的极值点),(0 0y x),(y x f),(0 0y x),(y x f解：且 是 在 有极值的必要而非充分条件 0),(y x fx0),(y x fy),(y x f),(0 0y x19、设区域 D 是单位圆 在第一象限的部分，则二重积分（C
11、）12 2 y x Dxyd A、B、2 21010 x yxydy dx 21010yxydy dxC、D、21010yxydx dy 102202 sin21dr r d 解：在直解坐标系下：2 210101010 x yDxydy dx xydx dy xyd 在极坐标系下：103201020cos sin sin cos d r d rdr r r d xydD20、（D）1010),(xdy y x f dxA、B、xdx y x f dy1010),(1010),(dx y x f dyC、D、1010),(xdx y x f dy 1010),(ydx y x f dy解：改变积
12、分次序后，积分区域可记为 1 0,1 0|),(y x y y x D 21、若，则积分区域 D 可以是（C）Ddxdy 1A、由 x 轴，y 轴及 x+y-2=0 所围成的区域B、由 x=1，x=2 及 y=2，y=4 所围成的区域C、由|x|=1/2，|y|=1/2 所围成的区域D、由|x+y|=1，|x-y|=1 所围成的区域解：由二重积分的几何意义可知 D 的面积为 1，画出草图可知选项 A、B、D 所给区域面积均为 2，选项 C 所给区域的面积为 1二、填空题：1、微分方程 满足条件 的解是（）0 y y x 1)1(yxy12、微分方程 的通解是（）0)1()1(dy x dx y
13、 C y x)1)(1(QQ374289236解：，于是 xdxydy1 1 C x y ln)1 ln()1 ln(8、设，则 dz=()yxz dyyxydxxyxy22 24、交换二次积分的次序为（y ydx y x f dy dx y x f dy0202110),(),(102),(xxdy y x f dx）5、已知，则（-9），与 的夹角为（）)2,2,1(),4,1,1(b a b a a b 436、二元函数 的定义域是（）。y x z 2 2 2(,)|2 4,D x y x y x y 三、计算题1、求级数 的收敛域，并求和函数。7 5 38 6 4 2 x x x x解
14、：1 22)(nnnx x a21 21 21|2)2 2(lim)()(lim xnxx nx ax annnnnn 当 即 时收敛，当 即 时发散 1|2 x 1|x 1|2 x 1|x当 x=1 时，原级数为 发散，当 x=1 时，原级数为 发散12nn1)2(nn所收敛域为（1，1）令，则 S（0）=0 11 22)(nnnx x S xnxnn nxxxx dt nt dt t S0101222 1 2)1|(|12)()1|(|)1(21)(2 2 22 xxxxxx S2、将函数 展开成 x 的幂级数。xe x x f3)(参考答案：解：1!nnxnxe),(xQQ3742892
15、36 1!)1(nn nxnxe),(x从而 133!)1()(nnn xnxe x x f),(x3、级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？2ln11nnn参考答案：解：因，而 发散，故 发散。n nn1ln1|u|21nn2ln1nn因此原级数不是绝对收敛，显然，且，n n ln11 ln1,3,2 n 0ln1lim nn故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。4、已知，求 在 上的投影。1,1,4 a（）1,2,2 b（）ab参考答案：1 1 1(2)(4)2=-9 a b|Pr Pr 3|b ba ba b b j a j ab 5、设，而，求。sinuz e v u xy
16、v x y zx参考答案：z z u z vx u x v x sin cosu uye v e v(sin()cos()xye y x y x y 6、。(2,1)xyz e 计算函数在点处的全微分参考答案：2 2(2,1)(2,1),2,xy xyz z z zye xe e ex y x y QQ374289236 所求全微分2 22 dz e dx e dy 7、设，求2 2arcsinxzx yzx参考答案：2 2 22 21=1xz xxx x yx y 2 2 22 2 3|()x y yyx y 2 2|.yx y8、求 的极值 xy y x z 33 3 参考答案：解：由 1
17、1,000 3 30 3 322yxyxx y zy x zyx又 y z z x zyy xy xx6,3,6 对于（0，0）点，故（0，0）不是极值点 0 92 B AC对于（1，1）点，且 A0，0 27 9 362 B AC所以（1，1）为极小值点，且极小值 Z=1 9、求，D 是由 所围成的区域 Dd y x)(2 2)0(3,a a y a y a x y x y参考答案：解：aaaaya yDa dy a y a aydx y x dy d y x34 3 2 232 2 2 214)312()()(10、计算二重积分，其中 D 是由 所围成的第一象限 dxdyyxyD 311,
18、02 y x y x的闭区域。参考答案：积分区域：D y xy01 0QQ374289236 dxyxydy dxdyyxyyD 10 0 3 31 1 1 23112110 32 dyyy11、欲围一个面积为 62 平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价 10 元。其余三面每米造价 5 元，求场地长、宽各为多少米时，所和材料费最少参考答案：解：设矩形场地正面长为 x 米，侧面宽为 y 米即求函数 S=10 x+5(x+2y)=15x+10y 在 xy=60 的条件下的最小值令)60(10 15),(xy y x y x F 则 10 310 20 600 100 15yxxyx Fy Fyx所以当长为 米，宽为 米时所需材料费最少 10 2 10 312、求，D 是由抛物线 和直线 围成的区域 Dd xy 2px y 22)0(2 ppx参考答案：解：ppDppppypdypy pdx xy dy d xy21)8 8(524 2222 22更多各科期末考试学习资料答案加 QQ146958 2255 全套已整理QQ374289236
