1、微积分r xdtdx微 积 分微信公众号：大学生学术墙QQ374289236微积分微 积 分 在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨论简单的量的关系，尤其只讨论常量和固定图形，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔后法国数学家笛卡尔(R.Descartes 1596-1650)把变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是在数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而生。这主要归功于英国数学家牛顿(I.Newton 1643-1727)和法国数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz 1646-1716)。这就是今后要学习的课程。QQ374289236微积分参考书1赵树嫄
2、.微积分.中国人民出版社2同济大学.高等数学.高等教育出版社QQ374289236微积分第一章 函数 集合 函数概念 函数的几种特性 反函数 复合函数 初等函数 微信公众号：大学生学术墙QQ374289236微积分函数-集合集合是指具有特定性质的一些事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素.a是集合M的元素,记作a M(读作a属于M)；a不是集合M的元素,记作a M(读作a不属于M).集合定义QQ374289236微积分函数-集合例子 1.1990年10月1日在南宁市出生的人。2.彩电、电冰箱、VCD。3.x2-5x+6=0的根。集合具有确定
3、性，即对某一个元素是否属于某个集合是确定的，是或不是二者必居其一。由有限个元素构成的集合，称为有限集合。由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；4.全体偶数。QQ374289236微积分函数-集合集合的表示法1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用括起来。例：由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：A=2,3注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。微信公众号：大学生学术墙QQ374289236微积分函数-集合2.描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a构成的集合，记为：A=a|P(a)例：由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为：A=x|
4、x2-5x+6=0例：全体实数组成的集合通常记作R，即：R=x|x为实数QQ374289236微积分函数-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 x A则必x B，就说A是B的子集，记作A B(读作A包含于B)或B A(读作B包含A)如果A B且或A B，则称A与B相等。1.A A即集合A是其自己的子集。2.传递性 A B、B C 则A C。3.A，即空集是任何集合A的子集。QQ374289236微积分函数-集合全集与空集所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为:U。不含任何元素的集合称为空集，记为：。例1：x2+1=0实数根集合为空集。例2：平面上两条平行线的交点集合为空集。注：0及
5、 都不是空集，前者有元素0，后者有元素。QQ374289236微积分函数-集合集合的运算集合的并：A B=x|x A 或x B 集合的交：A B=x|x A 且x B 集合的差：A-B=x|x A 且x B QQ374289236微积分函数-集合区间 在一条直线上指定了一点作为原点O，再指定了正向，此外又规定了单位长度，这条直线就称为数轴。数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的关系。有时为了形象化起见，把数x称为点x，就是指数轴上与数x对应的那个点。1-10OxQQ374289236微积分函数-集合闭区间：a,b=x|axb开区间：(a,b)=x|axb左闭右开区间：a,b)=x|axb左开右
6、闭区间：(a,b=x|axb有限区间OxabOxabOxabOxabQQ374289236微积分函数-集合a,+)=x|ax(-,b=x|xb(-,b)=x|xb无限区间实数集(-,+)=x|-x+OxaOxb(a,+)=x|axOxbOxaQQ374289236微积分函数-集合邻域(a,)=x|x-a|=x|a-xa+=(a-,a+)称为点a的邻域。a称为邻域的中心，称为邻域的半径。xa a-a+例：(2,1)=x|x-2|1=x|1x3=(1,3)x2 1 3=1=1QQ374289236微积分函数-集合空心邻域(a,)=x|0|x-a|=x|a-xa 或 axa+=(a-,a)U(a,a
7、+)称为点a的空心邻域。xa a-a+例：U(2,1)=x|0|x-2|1=x|1x2或2x3=(1,2)U(2,3)x2 1 3=1=1微信公众号：大学生学术墙QQ374289236微积分函数-函数概念定 义 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集，若对于x D，变量y按照确定的法则f总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数记作)(x f y 自变量因变量.)(,0 0 0处的函数值 为函数在点 称 时 当 x x f D x.),(称为函数的值域函数值全体组成的数集D x x f y y Z QQ374289236微积分函数-函数概念函 数 的 两 要 素:定义域与对应法则.()D0
8、xx自变量()W)(0 x fy对应法则f因变量约 定:如果不考虑函数的实际意义，函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值，称为函数的自然定义域。21 x y 例如，1,1:D211xy 例如，)1,1(:DQQ374289236微积分函数-函数概念如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数o xyyx),(y xDW 例如，2 2 2a y x 定 义:.)(),(),(的图形 函数称为 点集x f yD x x f y y x C QQ374289236微积分函数-函数概念几 个 特 殊 的 函 数 举 例(1)符号函
9、数 0 10 00 1sgnxxxx y当当当x x x sgn1-1xyo(2)取整函数 y=xx表示不超过 x 的最大整数 1 2 3 4 5-2-4-4-3-2-1 4 3 2 1-1-3xyo阶梯曲线QQ374289236微积分函数-函数概念非负小数部分函数取整函数 y=(x)=x-xx=7/3时,x=2，(x)=0.5x=1/3时,x=0，(x)=1/3x=-8/5时,x=-2，(x)=0.4O-2-1 1 21y=(x)xy微信公众号：大学生学术墙QQ374289236微积分函数-函数概念(3)狄利克雷函数 是无理数时 当是有理数时 当xxx D y01)(有理数点 无理数点1xy
10、o(4)取最值函数)(),(max x g x f y)(),(min x g x f y yxo)(x f)(x gyxo)(x f)(x gQQ374289236微积分函数-函数概念在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.0,10,1 2)(,2x xx xx f 例如1 2 x y12 x y(5)绝对值函数 0,0,|x xx xx yo xy定义域R值域),0 QQ374289236微积分函数-函数概念y=xy=x21-1-0.5 0.5 1-1-0.50.51-1-0.5 0.5 1-1-0.50.51y=x2/x-1-0.5 0.5 10.20.
11、40.60.81QQ374289236微积分函数-函数概念例子例1：确定函数y=的定义域。lg(3x-2)1lg(3x-2)03x-203x-2 1x2/3x 1D=(2/3,1)(1,+)例2：确定函数y=arcsin 的定义域。25-x21 x-15+解：解：x-15 125-x2 025-x2 0-4x 6|x-1|525-x2 0-5x 5 D=-4,5)微信公众号：大学生学术墙QQ374289236微积分函数-函数概念2 4 6 8 1 0-551 0-4-2 2 4-1123456lg(3x-2)1y=25-x21 x-15+y=QQ374289236微积分函数-函数概念例3：确定
12、函数y=的定义域。lntgx1lntgx 0tgx 0tgx1x(k,k+)解：xk+2 2x(k+,k+)42x(k+,k+),k=0,1,2,3,为所求的定义域4 20.8 1.2 1.42.557.51 01 2.51 51 7.5QQ374289236微积分函数-函数的性质1函数的有界性:,)(,0,成立 有 若 M x f X x M D X.)(否则称无界 上有界 在 则称函数 X x fM-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX0 x无界微信公众号：大学生学术墙QQ374289236微积分函数-函数的性质例1:f(x)=sinx在(-,+)内是有界的。因为|sinx|1。例2:
13、f(x)=1/x在(0,1)内是无界的。在1,+)内有界。例3:内有界 在),(1)(2 xxx f),(211)1(1 1)(22212 2 xxxxxxxx f QQ374289236微积分函数-函数的性质2函数的单调性:,)(D I D x f 区间 的定义域为 设函数,2 1 2 1时 当 及 上任意两点 如果对于区间 x x x x I),()()1(2 1x f x f 恒有;)(上是单调增加的 在区间 则称函数 I x f)(x f y)(1x f)(2x fxyoIQQ374289236微积分函数-函数的性质,2 1 2 1时 当 及 上任意两点 如果对于区间 x x x x
14、I),()()2(2 1x f x f 恒有;)(上是单调减少的 在区间 则称函数 I x f)(x f y)(1x f)(2x fxyoI,)(D I D x f 区间 的定义域为 设函数QQ374289236微积分函数-函数的性质例1:判断函数y=x3的单调性。解：对于任意的xl、x2，设xlx2x23-x130,所以x23 x13，故 y=x3在(-,+)是单调增加的。当 x1 x2 0 时 x12+x1 x2+x22 0 所以f(x2)-f(x1)0f(x2)-f(x1)=x23-x1 3=(x2-x1)(x12+x1 x2+x22)当 x1 x2 0所以f(x2)-f(x1)0QQ3
15、74289236微积分函数-函数的性质例2:判断函数y=2x2+1的单调性。解：xl、x2 R，设xlx2(x1+x2)0 f(x1)f(x2)f(x)单调减少(x1+x2)0当 xl、x2 0,+)f(x1)-f(x2)0 f(x1)f(x2)f(x)单调增加所以在(-,+)内，不是单调函数QQ374289236微积分函数-函数的性质3函数的奇偶性:有 对于 关于原点对称 设,D x D)()(x f x f;)(为偶函数 称 x fyx)(x f)(x f y o x-x)(x f偶函数QQ374289236微积分函数-函数的性质有 对于 关于原点对称 设,D x D)()(x f x f
16、;)(为奇函数 称 x f)(x f yx)(x fo x-x)(x f y 奇函数QQ374289236微积分函数-函数的性质例1:判断函数y=x4-2x2 的奇偶性。解：f(-x)=(-x)4 2(-x)2=x4-2x2=f(x)y=x4-2x2 是偶函数。例2:判断函数y=1/x 的奇偶性。解：f(-x)=1/(-x)=-(1/x)=-f(x)y=1/x 是奇函数。例3:判断函数y=x3+1 的奇偶性。解：f(-x)=(-x)3+1=-x3+1 y=x3+1 既不是奇函数又不是偶函数。f(x)-f(x)-2-1 1 2-1-0.50.511.5-2-1 1 2-4 0-2 02 04 0
17、-1-0.5 0.5 10.9 80.9 91.0 11.0 2QQ374289236微积分函数-函数的性质 D为函数f(x)的定义域，如果存在一个不为零的数l，x D值，xl D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则f(x)叫做周期函数，l 叫做f(x)的周期。通常，我们说周期函数的周期是指最小正周期。例1:函数y=sinx,y=cosx,是周期函数，周期为2。4函数的周期性:QQ374289236微积分函数-反函数设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。如果 y W都有一个确定且满足y=f(x)的x D与之对应，其对应规则为f-1,定义在W上的函数x=f-1(y)称为y=f(x)的反函数。
18、函数y=f(x)的定义域为D，值域为W，x为自变量，y为因变量。函数x=f-1(y)的定义域为W，值域为D，y为自变量，x为因变量。若改x为自变量，y为因变量，x=f-1(y)写成y=f-1(x)。QQ374289236微积分函数-反函数xyDW)(x f y 函数oxyDW)(y x 反函数oQQ374289236微积分函数-反函数y=f(x)与y=f-1(x)的关系是x、y互换，它们的图形关于y=x对称。y=f-1(x)。不一定是单值函数。y=f(x)单调单值，则y=f-1(x)单调单值。)(x f y 直接函数xyo),(a b Q),(b a P)(x y 反函数QQ374289236
19、微积分函数-反函数例1:求y=3x-1的反函数。解：y=3x-1 x、y互换得y=f-1(x)=(x+1)/3为反函数。x=(y+1)/3=f-1(y)y=(x+1)/3y=3x-1QQ374289236微积分函数-复合函数设y=f(u)的定义域、值域分别是Df、Wf u=(x)的定义域、值域分别是D、W 若 Df W 则称y=f(x)为复合函数其中:x为自变量，y为因变量，u为中间变量。复合函数的定义域 D=x|x D,(x)Df W 复合函数的值域 W=y|y Wf,且存在u Df W 使f(u)=y或W=y|y=f(x),x DQQ374289236微积分函数-复合函数符合条件：Df W
20、,arcsin u y 例如;22x u)2 arcsin(2x y DDWfWWDfDf Wy=f(u)u=(x)y=f(x)xuyQQ374289236微积分函数-复合函数-1 x 2 即-1,2为所求的定义域的定义域：求复合函数 例31 2arcsin 1xy31 2u arcsin xu y 解：131 21 xu 即：QQ374289236微积分函数-复合函数是不是复合函数。时 考察：例)(1,1.)(,)(22x f ya a x a x u u u f y 是复合函数。）（解：221)(1,(),0 1,1 1x x f yW DW D x u u y aff。，复合函数的定义域
21、为 要 1 1 1 0 1 0 u2 x x 不是复合函数。）（221)(1,(),0 1,1 2x x f yW DW D x u u y aff QQ374289236微积分函数-复合函数2.312xe y：复合函数 例,2cot:4xy 例,u y,cot v u.2xv 三个函数复合而成。可以看成由1,2 x v v u e yuQQ374289236微积分函数-复合函数 1 11)(00 sin)(2x xxx gx xx xx f),1),(f fW D)0,),(g gW D例5:。和 试考察)()(x f g x g f解：容易知道QQ374289236微积分函数-复合函数 1
22、 0)()(1 0)()(sin)(2x x g x gx x g x gx g f),(),()1(g f g g fW D D W W D x g f 对于 1)1(1 sin2x xx 1 11 0 x xxQQ374289236微积分函数-复合函数 0 1 0 1)()(11 1)()(x x x f x fx x fx f g或),(),()2(f g f f gD D D W W D x f g 对于 0 sin 10 1 112x xx xx QQ374289236微积分函数-基本初等函数1.幂函数)(是常数 x y2x y x y x y 11)1,1(xy1 幂函数,指数函数
23、,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.QQ374289236微积分函数-基本初等函数2.指数函数)1,0(a a a yx xe y xa y xay)1()1(a)1,0(QQ374289236微积分函数-基本初等函数3.对数函数)1,0(log a a x yax y ln x yalog x ya1log)1(a)0,1(QQ374289236微积分函数-基本初等函数4.三角函数正弦函数x y sin x y sin 余弦函数x y cos x y cos QQ374289236微积分函数-基本初等函数正切函数x y tan x y tan 余切函数x y cot x y
24、cot QQ374289236微积分函数-基本初等函数正割函数x y sec x y sec 余割函数 x y csc x y csc QQ374289236微积分函数-基本初等函数5.反三角函数x y arcsin 反正弦函数x y arcsin x y arccos 反余弦函数x y arccos QQ374289236微积分函数-基本初等函数x y arctan 反正切函数x y arctan x y cot 反余切函数 arcx y cot arcQQ374289236微积分函数-初等函数下面五类函数基本初等函数：冪函数 y=x（是常数,0）指数函数 y=ax(a是常数,a0,a1)对
25、数函数 y=logax(a是常数,a0,a1)三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;反三角函数 y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.0,过(0,0),(1,1),在(0,+)递增 1递增,0 a1递增,0 a1递减由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫初等函数。QQ374289236微积分函数-初等函数三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;函数 定义域 值域 周期 奇偶 单调y=sinx(-,+)
26、-1,1 2 奇(-/2+2k,/2+2k)递增(/2+2k,3/2+2k)递减y=cosx(-,+)-1,1 2 偶(+2k,2+2k)递增(2k,+2k)递减y=tgx x/2+k(-,+)奇(-/2+k,/2+k)递增y=ctgx xk(-,+)奇(k,+k)递减y=secx x/2+k(-,-1U1,+)2 偶(2k,/2+2k),(/2+2k,+2k)递增(-/2+2k,2k),(+2k,3/2+2k)递减y=cscx xk(-,-1U1,+)2 奇(-/2+2k,2k),(2k,/2+2k)递增(/2+2k,+2k),(+2k,3/2+2k)递减QQ374289236微积分函数-初
27、等函数-6-4-2 2 4 6-3 0-2 0-1 01 02 03 0-6-4-2 2 4 6-3 0-2 0-1 01 02 03 0-6-4-2 2 4 6-1 5-1 0-551 01 5-6-4-2 2 4 6-1 5-1 0-551 01 5y=cscxy=secxy=ctgxy=tgxy=cosxy=sinx-6-4-2 2 4 6-1-0.50.51QQ374289236微积分函数-初等函数y=arcsinx-1-0.5 0.5 1-1.5-1-0.50.511.5-1-0.5 0.5 10.511.522.53-3-2-1 1 2 3-1-0.50.51y=arccosxy=arcctgxy=arctgxQQ374289236
