1、高中数学130个易错点59高中数学130个易错点目 录第一章 集合与常用逻辑用语易错点1忽视（漏）空集致错易错点2忽视最高项系数为0时。易错点3忽视集合元素的互异性易错点4判断充分性必要性位置颠倒易错点5分式不等式求补集不能直接改变不等号方向第二章 一元二次函数、方程和不等式易错点1忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“一正”易错点2忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“三相等”易错点3解一元二次不等式忽视首项系数化正。易错点4解分式不等式时错误的直接把分母就“相当然”当成正数乘到不等式右边。易错点5一元二次不等式在区间上恒成立错误的“统一”法。易错点6最高项系数含参数
2、问题，经常忽略考虑系数0。第三章 函数概念与性质易错点1忽视定义域表示的是谁的范围易错点2解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为0易错点3忽视函数的定义域易错点4根据函数奇偶性求解析式时忽视“”的范围。易错点5函数奇偶性忽略定义域。易错点6忽视抽象函数的定义域。第四章 指数函数与对数函数易错点1分段函数单调性忽略分段点。易错点2求单调区间时忽略函数定义域。第五章 三角函数易错点1忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。易错点2在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。易错点3分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）易错点4图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个平移。易错点
3、5三角函数图象平移函数名“相当然”已经统一了。易错点6忽视了化正才能求三角函数的单调区间。第六章 平面向量及其应用易错点1忽视易错点2混淆向量模相等与向量相等易错点3误把两向量平行当成两向量同向易错点4混淆向量数量积运算和数乘运算的结果易错点5向量求模忘记开根号易错点6忽视两个向量成为基底的条件易错点7记反了向量减法运算差向量的方向易错点8错误使用的等价条件易错点9忽视两向量夹角的取值范围易错点10混淆向量点乘运算和实数乘法运算易错点11误把向量的投影当非负数易错点12混淆向量的夹角定义易错点13正弦定理边角互化时忽略易错点14忽视锐角中，角的取值范围易错点15在中忽视的解第七章 复数 易错点
4、1忽视复数是纯虚数的充要条件易错点2错误的理解复数比大小易错点3错误的惯性思维理解复数的模易错点4误把复数当实数代入计算易错点5忽视了，习惯性的认为平方是正数易错点6复数三角形式的标准形式理解错误易错点7忽视复数在复平面的位置而求错.易错点8忽视复数在复平面的位置在转化为复数三角形式时出错.易错点9复数三角形式的除法没化标准就代入除法运算法则第八章 立体几何初步 易错点1混淆斜二测画法中长度有变有不变 易错点2混淆直观图和原图 易错点3在直线与平面平行中，忽视直线是否在平面内的多种情况 易错点4错误认为，无数等于所有易错点5证明线面平行时，忽略了平面外一条直线，平面内一条直线，而造成的书写不规
5、范易错点6忽略异面直线所成角的范围第九章 统计 易错点1随机数表法取数时忽略了重复数字需跳过易错点2忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错 易错点3样本数据变化时，混淆了方差，标准差的变化规律 易错点4误把频率分布直方图的高当频率 易错点5总体百分位数忽略了将数据从小到大排序 易错点6频率分布直方图中，平均数估计值中，高和面积混淆错误 易错点7频率分布直方图中，中位数估计值错误的用中点代替 易错点8在选拔选手问题时，习惯性的认为方差越小，越稳定，越好 第十章 概率 易错点1误把频率当概率，混淆了频率与概率的概念易错点2混淆了互斥事件与对立事件的区别易错点3忽视了概率加法公式适用的
6、前提条件易错点4基本事件列举时出现重复或者遗漏易错点5混淆了有放回和无放回第一章 空间向量与立体几何易错点一：空间向量的加减运算易错点二：空间向量的数量积易错点三：用空间基底表示向量易错点四：空间向量的坐标运算易错点五：空间向量运算的坐标表示易错点六：空间位置关系的向量证明易错点七：异面直线夹角的向量求法易错点八：线面角的向量求法易错点九：面面角的向量求法第二章 直线和圆的方程易错点一：两条直线平行和垂直的判定易错点二：直线的方程易错点三：两条直线的交点坐标易错点四：两点间的距离公式易错点五：圆的方程易错点六：直线与圆的位置关系易错点七：圆与圆的位置关系易错点九：求椭圆的焦点第三章 圆锥曲线的
7、方程易错点一：利用椭圆定义求方程易错点二：求椭圆的焦点易错点三：求椭圆的长轴、短轴易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围易错点八：根据a,b,c求双曲线的标准方程易错点九：求双曲线的焦点坐标易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程第四章 数列易错点一：判断或写出数列中的项易错点二：判断等差数列易错点三：等差数列通项公式的基本两计算易错点四：利用等差数列的性质计算易错点五：等差数列前n项和的基本量计算易错点六：等比数列通项公式的基本量计算易错点七：求等比数列前n项和第五
8、章 一元函数的导数及其应用 易错点一：平均变化率易错点二：瞬时变化率的概率及辨析易错点三：导数定义中极限的简单计算易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）易错点五：基本初等函数的导数公式易错点六：导数的运算易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性易错点八：求已知函数的极值易错点九：由导数求函数的最值第六章 计数原理易错点1：分步标准不清致错易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误易错点3：重复计数与遗漏计数致误易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错易错点5：计数时重复或遗漏致错易错点6：混淆项的系数与二项式系数易错点7：错用二项式系数的性质致误第七章随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P
9、(B|A)与积事件的概率P(AB)相同易错点2：概率计算公式理解不清而致误易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误易错点5：要准确理解随机变量取值的含义易错点6：审题不清致误易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错第八章成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误第一章 集合与常用逻辑用语典型易错题集易错点1忽视（漏）空集致错【典型例题1】（2022全国高一课时练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD易错点2忽视最
10、高项系数为0时。【典型例题2】（2022安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知集合，若，则实数的取值构成的集合为_.易错点3忽视集合元素的互异性【典型例题3】（2022浙江高一月考）已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）ABCD易错点4判断充分性必要性位置颠倒【典型例题4】（2022安徽镜湖芜湖一中高三月考（理）使得不等式成立的一个充分不必要条件为（ ）ABCD易错点5分式不等式求补集不能直接改变不等号方向【典型例题5】（2022西城北京四中高三月考）已知集合，集合.若，求实数的取值范围.【练一练】1（2022福建福州三中高一月考）已知集合，若，则实数的取值范围为_.2（2022上海复旦附中青浦分校
11、高一月考）已知集合，若，则实数的取值范围_3（2022新蔡县第一高级中学高一月考）设，若，则实数的值构成的集合为_4（2022广东福田外国语高中高一月考）已知集合.若中只有一个元素，则a的值_.5（2022江苏淮安高一月考）已知集合是单元素集，则的值为_.6（2022全国高一课时练习）已知集合，则的值可能为（ ）A0BC1D27（2022福建三明一中高一月考）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（ ）A4B2C1D08（2022全国高一单元测试）若关于的方程的解集为单元素集合，则（ ）ABC或D且9（2022山东省潍坊第四中学高一开学考试）若集合中有且仅有一个元素，则实数的值为（
12、）ABCD10（2022广东佛山高一月考）已知，则的取值为_.11（2022重庆市第七中学校高三月考）“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件为（ ）ABCD12（2022全国高三月考）设，则的一个必要不充分条件是（ ）AB且CD13（2022贵阳修文北大新世纪贵阳实验学校高三月考（文）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）ABCD14（2022黑龙江佳木斯一中高三月考（理）设，则的一个必要不充分条件为（ ）ABCD15（2022沭阳县修远中学高一月考）设全集，集合，.（1）求和；（2）若，求实数的取值范围.16（2022渝中重庆巴蜀中学高一月考）已知集合，（1）求；（2）求1
13、7（2022黑龙江大庆实验中学高一月考）已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围.第二章 一元二次函数、方程和不等式典型易错题集易错点1忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“一正”【典型例题1】（2022全国高一专题练习）若，则（ ）A有最小值，且最小值为B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为D有最大值，且最大值为易错点2忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“三相等”【典型例题2】（2022海南昌茂花园学校高三月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD易错点3解一元二次不等式忽视首项系数化正。【典型例题3】（2020云南曲靖
14、市关工委麒麟希望学校高一期中）不等式的解集为（ ）A或B或CD易错点4解分式不等式时错误的直接把分母就“相当然”当成正数乘到不等式右边。【典型例题4】（2022江苏高一专题练习）不等式的解是（ ）ABCD易错点5一元二次不等式在区间上恒成立错误的“统一”法。【典型例题5】（2022全国高一课时练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD易错点6最高项系数含参数问题，经常忽略考虑系数0。【典型例题6】（2022全国高三专题练习）对，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）ABC或D或【练一练】1（2022全国高一专题练习）已知，则 的最大值是（ ）ABC2D72（2022全国高一专题
15、练习）下列不等式一定成立的是（ ）ABCD若，则3（2022全国高一专题练习）下列命题中错误的是（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，4（2022全国高一专题练习）下列函数中最小值为2的函数是（ ）ABCD5（2022广东盐田深圳外国语学校高三月考）在下列函数中，最小值为2的是（ ）ABCD6（2022吉林高三开学考试（文）下列函数中最小值为4的是（ ）ABCD7（2022全国高三专题练习（理）已知，则在上的最小值为（ ）ABC1D08（2022湖南高一月考）若，则的最大值是（ ）ABCD9（2022浙江南湖高一期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD10（2022吉林东
16、北师大附中高一月考）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD11（2022宁夏六盘山高级中学高二月考（文）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD12（2022河南高一月考）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD或13（2022河南新蔡县第一高级中学高二月考（文）若不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD14（2020福建省厦门第六中学高一月考）不等式的解集是（ ）ABCD15（2022江苏省天一中学高二月考）不等式的解集为（ ）A或B C或D16（2022全国高一课时练习）与不等式同解的不等式是（ ）ABCD17（2022全国
17、高一课时练习）不等式的解集为（ ）ABC或D或18（2022江西上高二中高二月考）不等式的解集为（ ）ABCD19（2022全国高一单元测试）要使函数的值恒为负值，的取值范围为（ ）AB或C或D20（2022浙江高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD第三章 函数的概念与性质典型易错题集易错点1忽视定义域表示的是谁的范围【典型例题1】（2022黑龙江让胡路大庆中学高一月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD易错点2解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为0【典型例题2】（2022黑龙江让胡路大庆中学高一月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）ABC
18、D易错点3忽视函数的定义域【典型例题3】（2022全国高一单元测试）若，则的解析式为（ ）ABCD易错点4根据函数奇偶性求解析式时忽视“”的范围。【典型例题4】（2022全国高三专题练习）设为奇函数，且当时，则当时，= 易错点5函数奇偶性忽略定义域。【典型例题5】（2022全国高一课时练习）判断函数是否具有奇偶性:.易错点6忽视抽象函数的定义域。【典型例题6】（2022广东高一单元测试）已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（ ）ABCD【练一练】1.（2022沙坪坝重庆一中高一月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )ABCD2（2022四川射洪中学高一月考）已知函数的
19、定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD3（2022抚顺市第二中学高二期末）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）A或BCD或4（2022全国高一专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）ABCD5（2022黑龙江铁锋齐齐哈尔中学高一期中）若，则有（ ）ABCD6（2022山东牟平一中高一月考）已知函数，则函数的解析式是（）ABCD7.（2022天津市武清区杨村第一中学高二月考）设为偶函数，且当时，则当时，（ ）ABCD8（2012河北石家庄高一月考）已知是R上的奇函数，且当时，求的解析式9（2020黔西南州同源中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）画出当时
20、，函数图象；（2）求出解析式.10.（2020全国高一专题练习）判断函数的奇偶性：；11（2020海原县第一中学高一月考）求函数的奇偶性：；12（2020全国高一课时练习）判断函数的奇偶性，并证明13（2022新余市第一中学高二月考（文）设奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为（ ）ABCD14（2022全国高一课时练习）奇函数在定义域上是减函数，若，则的取值范围是（ ）ABCD15（2022江苏高一专题练习）已知定义域为的奇函数，则的解集为（ ）ABCD16（2022江苏高一）已知函数是定义在区间上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围（ ）ABCD17（2022福建
21、省永泰县第二中学高一期末）已知是定义在上的奇函数且单调递增，则的取值范围是（ ）ABCD第四章 指数函数与对数函数典型易错题集易错点1分段函数单调性忽略分段点。【典型例题1】（2022河南信阳高三月考（文）已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）ABCD易错点2求单调区间时忽略函数定义域。【典型例题2】（2022重庆北碚西南大学附中高一期末）函数的单调递增区间是（ ）ABCD【练一练】1.（2022庆阳第六中学高一期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）ABCD2（2022云南省云天化中学高一开学考试）函数的单调递减区间为（ ）ABCD3（2022巴楚县第一中学高三月考（文）函数的
22、单调递增区间为（ ）ABCD4（2022海南昌茂花园学校高三月考）函数的单调递减区间为（ ）ABCD5（2022贵州贵阳一中高三月考（理）函数的单调递减区间为（ ）6（2022陕西渭滨高二期末（文）函数的单调递增区间是（ ）ABCD7（2022江西省乐平中学高一开学考试）函数的单调递减区间是（ ）ABCD8（2022陕西咸阳市高新一中高一期中）已知函数，且对于定义域内的，都满足，则实数的取值范围是（ ）ABCD9（2022湖北高三月考）已知函数，若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）ABCD10（2022重庆西南大学附中高一月考）已知函数，对任意实数、都满足，则实数的取值范围是（ ）AB
23、CD11（2022四川射洪中学高一月考）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD12（2020广东东莞市东莞中学高一月考）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）ABCD第五章 三角函数典型易错题集易错点1忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。【典型例题1】（2022全国高一专题练习）将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（ ）ABCD易错点2在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。【典型例题2】（2022湖北襄阳高一期中）设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则（ ）A或BCD易错点3分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）【典型例题
24、3】（2022安徽省五河第一中学高二月考）已知则的值为_易错点4图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个平移。【典型例题4】（2022全国高一单元测试）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位易错点5三角函数图象平移函数名“相当然”已经统一了。【典型例题5】（2022辽宁抚顺县高级中学校高三月考）要得到函数的图象，只需将的图象（ ）A 向左平移个单位B向左平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位易错点6忽视了化正才能求三角函数的单调区间。【典型例题5】2022四川省新津中学高一开学考试）已知函数（）的最小正周期.求函数单调递
25、增区间.【练一练】1（2022全国高二课时练习）钟表的分针在1.5小时内转了（ ）A180B-180C540D-5402（2022陕西咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（ ）ABCD3（2022江苏宿迁高一期末）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）ABCD4（2022江苏泰州中学高一期末）已知点是角a的终边上的一点，则的值为（）ABCD5（2022北京八中高一期中）设角终边上一点，则的值为（ ）ABCD与有关6（2022上海市奉贤中学高一期中）已知，将角的终边逆时针旋转，所得的角的终边交单位圆于，则的值为（ ）ABCD7（2022江西新
26、余四中高一月考）若，则的值为（ ）8（2022江苏南京市金陵中学河西分校高一期中）已知，那么_.9（2022黑龙江哈尔滨三中高三期中）为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度10（2022江苏高一课时练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度11（2022北京北理工附中高三月考）要得到函数y=cos2x的图象，只要将函数的图象（ ）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位12（2022四川高三月考（理）将
27、函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）A的最小正周期为B的图象关于点对称C的图象关于直线对称D在上单调递增13（2022全国高一课时练习）已知函数，求：的单调递增区间；14（2022陕西省黄陵县中学高一期中（理）已知函数求：函数的单调递减区间，对称轴，对称中心；第六章 平面向量及其应用 典型易错题集易错点1忽视例题1（2021全国高一课时练习）给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确说法的个数是（）A0B1C2D3【常见错解】D解：因为，则向量互为相反向量，所以，故正确；因为向量不能比较大小，故错误；若，则向量方向相同，故正确；若，由平行的传递性，则，故正
28、确.所以正确说法的个数是3个.故选：D.【动手实战】1（2021上海）判断下列命题：两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；若，则与的方向相同或相反；若，且，则；若，则其中，正确的命题个数为（）A0B1C2D32（2020宁夏育才中学）有下列命题：若，则；若，则四边形是平行四边形；若，则；若，则.其中，假命题的个数是（）A1B2C3D4易错点2混淆向量模相等与向量相等例题1（2022江西贵溪市实验中学高二期末）若向量，则( )【常见错解】正确【错因分析】未能正确理解向量模与向量的关系，向量既有大小，又有方向，且同向.本例中，仅仅只是说明模相等，对于方向，无限可能，所以无法由得到.【动手
29、实战】1（2021全国高一课时练习）命题“若，则” 的真假性为( )2（2021全国高一课时练习）若与都是单位向量，则.( )易错点3误把两向量平行当成两向量同向例题1（2021云南昆明二十三中高一期中）下列命题正确的是（）ABCD【常见错解】C 【错因分析】对于向量平行问题，很多同学总是当做直线平行记忆，认为直线平行那不是成角，想当然认为向量的平行也是成，在刚学习向量时，特别要注意向量，直线的区别.【动手实战】1（2022全国高三专题练习）已知向量，为非零向量，则“向量，的夹角为180”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（2021内蒙古赤峰学院附属
30、中学高一期末）下列说法正确的是（）A方向相同的向量叫做相等向量B共线向量是在同一条直线上的向量C零向量的长度等于0D就是所在的直线平行于所在的直线易错点4混淆向量数量积运算和数乘运算的结果例题1（2021全国）设，是三个向量，以下四个选项正确的是（）A若，则B若，则C若，且，则D【常见错解】A【错因分析】很同学看到中，再看结论直接把向量的点乘和数乘，当做实数乘法运算了，混淆了向量的点乘结果，数乘结果.事实上对于，左边的本质是：，右边的本质是：，无法得到.【动手实战】1（2022浙江模拟预测）已知平面非零向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件
31、2（2021海南海口一中高三阶段练习）已知为非零平面向量，则下列说法正确的是（）AB若，则C若，则D3（2020河南南阳中学（文）由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“”类比得到“”；“”类比得到“”；“”类比得到“”；“，”类比得到“，”；“”类比得到；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（）A1B2C3D4易错点5向量求模忘记开根号例题1（2022江西高三阶段练习（理）已知向量，若在的投影为，则（）A169B13C196D14【常见错解】A解：因为，所以，因为在的投影为，所以，所以，所以故选：A【错因分析】典型的解题时忘记求模开根号，习惯没有养成要，先求，再
32、开根号为答案，往往学生求出就忘记开根号，养成好的习惯对于求模问题，在平时训练时就注意开根号.【动手实战】1（2022广东信宜市第二中学高三开学考试）已知非零向量满足，且，则向量的模长为_2（2022湖南高一课时练习）已知，与的夹角为，试求：(1)；(2)易错点6忽视两个向量成为基底的条件1（多选）（2022全国高一）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）ABCD【常见错解】BCD选项A：，不能作为基底，对于BCD都不含，可以作为基底表示其它向量【错因分析】对基底的概念理解不够透彻，两个向量能否作为一组基底表示其它向量，判断的标准是这两个向量是否共线，对于选项C，显然,说明共线，不能用来做基
33、底.【动手实战】1（多选）（2021河北大名县第一中学高一阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基底的是（）A，B，C，D，2（多选）（2021浙江高二期末）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的（）ABCD易错点7记反了向量减法运算差向量的方向例题1（2021全国高三专题练习）正三角形边长为，设，则_.【常见错解】因为，所以点是的中点，所以，所以,所以【错因分析】本题选定了作为基底，在用基底表示向量时，向量减法运算错误，最后的结果应该指向向量，所以正确的表示应该是.【动手实战】1（2021云南省泸西县第一中学高二期中）已知M，N分别是线段上的点，且，若，
34、则_.2（2021全国高一课时练习）在三角形ABC中，若，且，则_3（2022浙江高三专题练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，则_.易错点8错误使用的等价条件例题1（2022全国高三专题练习（文）已知向量，若，则实数_.【常见错解】，若，则【错因分析】错误的运用向量平行的等价条件，对于，而本题错误的运用为，此时容易忽略0这个解.【动手实战】1（2022湖南长沙一中高三阶段练习）已知向量（2，1），（1，k）（），若，则非零实数k=_2（2021全国高一课时练习）已知向量（m，1），（m6，m4），若，则m的值为_易错点9忽视两向量夹角的取值范围例题1（2021重庆临江中学高
35、三阶段练习）已知，向量与向量夹角为锐角，则的取值范围为_【常见错解】因为，且向量与向量夹角为锐角，所以所以：【错因分析】错误的认为向量与向量夹角为锐角，事实上向量与向量夹角为锐角或角，本题错解忽略了的情况.【动手实战】1（2021上海高一课时练习）设=（2，x）， =（-4，5），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是_.2（2021云南昆明市外国语学校高一阶段练习）向量，若的夹角为钝角，则t的范围是_3（2022全国高三专题练习（文）已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_.易错点10混淆向量点乘运算和实数乘法运算例题1（2021福建龙岩高三期中）已知且与的夹角为，则_【常见错解】由题意可知
36、，【错因分析】本题错例是考试中常见的一种错误，混淆了向量和实数相乘得运算法则.【动手实战】1（2021北京十五中高一期中）已知非零向量夹角为，且.则等于_.2（2020江苏淮阴中学三模）已知向量与向量的夹角为，则_易错点11误把向量的投影当非负数1（2022黑龙江哈师大附中高三期末（理）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（）ABCD【常见错解】B向量与的夹角为，在方向上的投影为【错因分析】未能正确理解向量的投影，习惯性认为投影是一个非负数，所以在求投影时，考生自己加了绝对值符号上去.特别提醒，向量的投影，可正可负可为零.【动手实战】1（2022四川叙州高三期末（文）若向量满足，则在方向上的
37、投影为（）A1B-1CD2（2021四川宁南中学高一开学考试）已知向量，的夹角为120，则在方向上的投影为（）ABCD3（2021全国高一课时练习）已知，且，则在上的投影向量为（）ABCD易错点12混淆向量的夹角定义例题1（2021全国高一课时练习）在边长为的正三角形中，设，则_【常见错解】因为是边长为的等边三角形，所以，所以，所以【错因分析】错误理解向量的夹角，在使用求解时，特别注意，要共起点才能找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误。【动手实战】1（2021河北石家庄）已知等腰三角形的顶角，则_.2（2021天津市实验中学滨海学校（理）已知在中，则_.易错点13正弦定理边角互化时忽略例题1
38、（2021贵州高三阶段练习（文）的内角，的对边分别为，且满足，.(1)求角的大小；(2)求周长的取值范围.【常见错解】(1)解：因为，所以.又，所以.因为，所以.(2)由（1）知，因为，所以，则，所以，即周长的取值范围是.【错因分析】错误的原因在于习惯，对于正弦定理，在边角互化时，解题时，学生总是习惯的认为最后都会被约去，所以可有可无，就是个形式，本题注意，首先求它并不是一个方程，所以无法约去，特别提醒在利用，解题时，不可随意扔掉.该约去约去，该提取提取.【动手实战】1（2021安徽高三阶段练习（理）若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.(1)求c；(2)若，过点C作，垂足为H，若，求
39、的面积S.易错点14忽视锐角中，角的取值范围1（2021河南驻马店高二期中（理）锐角的内角的对边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)求周长的范围.【常见错解】(1)，即，又，.(2)由（1）知，利用余弦定理，又因为，所以，即：，又由两边之和大于第三边，所以,所以周长的范围为.【错因分析】本题如果是求周长的最大值，利用均值不等式是可以求解的，或者拿去限制条件锐角中的锐角，该解法也是合理的，但是，从本题来看，考生完全忽略了锐角这个条件，由两边之和大于第三边，得到，只能说成立，构成一个三角形，但是无法说明是锐角三角形，说明不适用本题的最后结论.特别提醒，如果涉及到锐角三角形求周长取值范围，最通用的解法，就是边化角，利用正弦定理求解.【动手实战】1（2021广东深圳市龙岗区德琳学校高一阶段
