江苏省扬中市第二高级中学2021-2022学年高三上学期数学第一次检测试卷.zip

1江苏省扬中市第二高级中学 2021-2022 第一学期高三数学第一次检测 姓名 一、选择题请把答案直接填涂在答题卡相应位置上1设 x R，则“25 0 x x”是“|1|1 x”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知随机变量 服从正态分布2(1,)N，若(4)0.9 P，则(2 1)0.9 P 为（）A 0.2 B0.3 C 0.4 D 0.63下列有关命题的说法错误的是（）A若“pq”为假命题，则 p、q均为假命题B若,是两个不同平面，,m m，则 C“1sin2x”的必要不充分条件是“6x”D若命题20 0:,0 p x R x，则命题P：xR，x204已知函数 sin f x x x，x R，若 2log 3 a f，13log 2 b f，22 c f 则,a b c的大小为（）A a b c B a c b C c b a Db a c 5若双曲线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的一条渐近线被曲线2 24 2 0 x y x 所截得的弦长为 2则双曲线 C 的离心率为（）A 3 B2 33C 5 D2 556设1()2 2 ln 11x xxf xx，若()(1)2 f a f a，则 a的范围（）A1(,)2 B1(,1)2 C1(,0)2 D1(0,)27函数 2,log22 x x g x x f，则函数 x g x f 的图象大致是（）A B C D8设函数2()f x x ax b，若存在实数a，对任意1,22x，使得不等式()f x x 成立，则实数 b的取值范围是（）2A1(,2)3 B1 1(,)3 4 C1 9(,)4 4D1 9(,)3 4二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9设 c b a,为实数，且 0 b a，则下列不等式中正确的是（）A 22 2log log b ab B2 2bc ac Cbaab 1 Db a212110已知函数()sin cos f x x x，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（）A函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B把函数()f x 的图象向右平移2个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象C函数()f x 和()g x 在区间,4 4 上都是增函数D若0 x 是函数()f x 的极值点，则0 x 是函数()g x 的零点11如图，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（）A若点 M，N 分别是线段 AA，AD的中点，则 MNBC B点 C到平面 ABCD的距离为 2C直线 BC与平面 ABCD所成的角等于4 D三棱柱 AADBBC的外接球的表面积为 312关于函数2()ln f x xx，下列判断正确的是（）A 2 x 是()f x 的极大值点 B函数()y f x x 有且只有 1个零点C存在正实数 k，使得 f x kx 成立D对任意两个正实数1x，2x，且1 2x x，若 1 2f x f x，则1 24 x x 三、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上13在二项式 的展开式中，系数为有理数的项的个数是;二项式系数最大的项为.14设 1,1,3log 2log 5x yx y y x，则1ln2xx y 最大值为15若 ABC 的内角满足 sin 2 sin 2sin A B C，则 cosC的最小值是 16正方体1 1 1 1ABCD A B G D 的棱长为 1，E，F 分别为 BC，1CC 的中点则平面 AEF 截正方体所得的截面面积为_；以点 E为球心，以104为半径的球面与对角面1 1ACC A 的交线长为_ 四、解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等比数列 na 中 na，11 21 1 1 20,64nn n na a n Na a a（1）求 na 的通项公式；（2）设22 lognn nb a，求数列 nb 的前 n项和 Tn；（3）在（2）中的 bn中设21 log(7)14(1)2(nb n n nnc 为非零整数，nN*），试确定 的值使得对任意 nN*都有 cn+1cn成立62()xx318已知向量(,cos2),(sin 2,)a m x b x n，设函数()f x a b 且()y f x 的图象过点(,3)12和点2(,2).3（1）当6 3x 时，求函数()y f x 的最大值和最小值及相应的 x的值；（2）将函数()y f x 的图象向右平移4个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x 的图象，若()g x m 在0,2 有两个不同的解，求实数 m的取值范围.19随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”某电商平台在其旗下的所有电商中随机抽取了 50家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数 x，得到了如下的频率分布表：将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在 65 及以上的电商占全体电商的 80%（1）求 a，b的值；（2）画出这 50家电商顾客评价指数的频率分布直方图；（3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在45，65)、65，85)和85，95)的电商的顾客评价指数将分别提高20、10、5现从这 50家电商中随机抽取两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为，求 的分布列和期望420如图，已知直线:1(0)l y kx k 关于直线 1 y x 对称的直线为1l，直线1,l l 与椭圆22:14xE y 分别交于点,M A,A N，记直线1l 的斜率为1.k（1）求1k k 的值；（2）当 k 变化时，试问直线 MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.21如图1，在直角梯形 CD中，/D C，2D，1 C，2 D，是 D的中点，O是 AC 与 BE的交点 将 沿 BE折起到1A BE 的位置，如图 2（1）证明：CD 平面1AOC；（2）若平面1A BE平面 BCDE，求平面1A BC与平面1ACD 夹角的余弦值22已知函数()ln 2 f x x x（1）求曲线()y f x 在 1 x 处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N 上有零点，求 k 的值；（3）若不等式()(1)()x m xf xx 对任意正实数 x恒成立，求正整数 m的取值集合51江苏省扬中市第二高级中学 2021-2022 第一学期高三数学第一次检测 姓名 一、选择题请把答案直接填涂在答题卡相应位置上1设 x R，则“25 0 x x”是“|1|1 x”的（B）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知随机变量 服从正态分布2(1,)N，若(4)0.9 P，则(2 1)0.9 P 为（C）A 0.2 B0.3 C 0.4 D 0.63下列有关命题的说法错误的是（C）A若“pq”为假命题，则 p、q均为假命题B若,是两个不同平面，,m m，则 C“1sin2x”的必要不充分条件是“6x”D若命题20 0:,0 p x R x，则命题P：xR，x204已知函数 sin f x x x，x R，若 2log 3 a f，13log 2 b f，22 c f 则,a b c的大小为（B）A a b c B a c b C c b a Db a c 5若双曲线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的一条渐近线被曲线2 24 2 0 x y x 所截得的弦长为 2则双曲线 C 的离心率为（B）A 3 B2 33C 5 D2 556设1()2 2 ln 11x xxf xx，若()(1)2 f a f a，则 a的范围（C）A1(,)2 B1(,1)2 C1(,0)2 D1(0,)27函数 2,log22 x x g x x f，则函数 x g x f 的图象大致是（C）A B C D8设函数2()f x x ax b，若存在实数a，对任意1,22x，使得不等式()f x x 成立，则实数 b的取值范围是（D）2A1(,2)3 B1 1(,)3 4 C1 9(,)4 4D1 9(,)3 4二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9设 c b a,为实数，且 0 b a，则下列不等式中正确的是（AC）A 22 2log log b ab B2 2bc ac Cbaab 1 Db a212110已知函数()sin cos f x x x，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（CD）A函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B把函数()f x 的图象向右平移2个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象C函数()f x 和()g x 在区间,4 4 上都是增函数D若0 x 是函数()f x 的极值点，则0 x 是函数()g x 的零点11如图，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（ACD）A若点 M，N 分别是线段 AA，AD的中点，则 MNBC B点 C到平面 ABCD的距离为 2C直线 BC与平面 ABCD所成的角等于4 D三棱柱 AADBBC的外接球的表面积为 312关于函数2()ln f x xx，下列判断正确的是（BD）A 2 x 是()f x 的极大值点 B函数()y f x x 有且只有 1个零点C存在正实数 k，使得 f x kx 成立D对任意两个正实数1x，2x，且1 2x x，若 1 2f x f x，则1 24 x x 三、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上13在二项式 的展开式中，系数为有理数的项的个数是 4;二项式系数最大的项为 32440 2 T x.14设 1,1,3log 2log 5x yx y y x，则1ln2xx y 最大值为 15若 ABC 的内角满足 sin 2 sin 2sin A B C，则 cosC的最小值是 6 24 16正方体1 1 1 1ABCD A B G D 的棱长为 1，E，F 分别为 BC，1CC 的中点则平面 AEF 截正方体所得的截面面积为_98_；以点 E为球心，以104为半径的球面与对角面1 1ACC A 的交线长为_23 _ 四、解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等比数列 na 中 na，11 21 1 1 20,64nn n na a n Na a a（1）求 na 的通项公式；（2）设22 lognn nb a，求数列 nb 的前 n项和 Tn；（3）在（2）中的 bn中设21 log(7)14(1)2(nb n n nnc 为非零整数，nN*），试确定 的值使62()xx3得对任意 nN*都有 cn+1cn成立17解：（1）设等比数列an的公比为 q，则 q0，a1，nN*，解得 q2，an的通项公式 an 2n12n7；（2）设 bn2n+log2an2n+n7，分组求和可得 Tn（21+22+23+2n）+（654+n7）2n+1+2，（3）cn4n+（1）n12 4n+（1）n12n+1，cn+1cn，4n+1+（1）n2n+24n+（1）n12n+1，化简可得 2n+（1）n0，当 n2k1，kN*时，2n+1，对一切 nN*成立，则 1，当 n2k，kN*时，2n+1，对一切 nN*成立，则 2，综上所述21，又 为非零整数，118已知向量(,cos2),(sin 2,)a m x b x n，设函数()f x a b 且()y f x 的图象过点(,3)12和点2(,2).3（1）当6 3x 时，求函数()y f x 的最大值和最小值及相应的 x的值；（2）将函数()y f x 的图象向右平移4个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x 的图象，若()g x m 在0,2 有两个不同的解，求实数 m的取值范围.18解：（1）由题意知，()sin 2 cos2 f x a b m x n x，根据()y f x 的图象过点(,3)12和点2(,2).3得到解得 3,n 1 m，()3sin 2 cos2 2sin(2)6f x x x x，当6 3x 时，526 6 6x，1 2sin(2)26x；函数()y f x 的最大值为2，此时6x，最小值为1，此时6x；（2）将函数()y f x 的图象向右平移4个单位后，得函数2sin2()2sin(2)4 6 3y x x 的图象；4再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得函数()2sin()2 3xy g x 的图象，令2,2 3 3 3xt，如图所示，当3sin 12t 时，()g x m 在0,2 有两个不同的解，3 2sin()22 3x，则实数 m的取值范围是 3 2 m 19随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”某电商平台在其旗下的所有电商中随机抽取了 50家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数 x，得到了如下的频率分布表：将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在 65 及以上的电商占全体电商的 80%（1）求 a，b的值；（2）画出这 50家电商顾客评价指数的频率分布直方图；（3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在45，65)、65，85)和85，95)的电商的顾客评价指数将分别提高20、10、5现从这 50家电商中随机抽取两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为，求 的分布列和期望19解：（1）有题意可得2 2 10 50,5,152 10 40a ba bb，（2）频率分布直方图如右图：（3）由题意 可能的值为10,15,20,25,30,40，2 1 115 25 152 250 503 15(10),(15)35 49C C CP PC C，2 1 125 10 152 250 5012 6(20),(25)49 49C C CP PC C，1 1 210 25 102 250 5010 9(30),(40)49 245C C CP PC C，所以分布列为：所以3 15 12 6 10 9()10 15 20 25 30 40 21.35 49 49 49 49 245E 20如图，已知直线:1(0)l y kx k 关于直线 1 y x 对称的直线为1l，直线1,l l 与椭圆22:14xE y 分别交于点,M A,A N，记直线1l 的斜率为1.k（1）求1k k 的值；（2）当 k 变化时，试问直线 MN是否5恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.20解：（1）设直线 l上任意一点(,)P x y 关于直线 1 y x 对称点0 0 0(,)P x y，直线l与直线1l 的交点为(0,1)，所以:1 l y kx，1 1:1 l y k x，0101 1,y yk kx x，由于0 00 01,22 2y y x xy y x x 即 L 又00 001,y yy y x xx x 即 L 由得：0011y xy x，所以0 0 0 010 0(y y)1(1)(1)(2)11yy x x x xk kxx xx；（2）设点1 1 2 2(,),N(,)M x y x y,由2 2 2221(4 1)8 1 4 014y kxk x kx kxy 可得，21 1 2 28 1 4,4 1 4 1k kx yk k，同理2 21 11 1 2 2 2 21 18 1 4 8 4,4 1 4 4 1 4k k k kx yk k k k，所以2 24 22 21 221 22 21 4 48 8 11 4 48 88(3 3)31 4 4MNk ky y k kk kkk kx x k k kk k，所以直线2 22 21 4 1 8:y()4 1 3 1 4k k kMN xk k k 即21 5y3 3kxk，所以，当 k 变化时，直线 MN 过定点5(0,).321 如图1，在直角梯形 CD中，/D C，2D，1 C，2 D，是 D的中点，O是 AC 与 BE的交点 将 沿 BE折起到1A BE 的位置，如图 2（1）证明：CD 平面1AOC；（2）若平面1A BE平面 BCDE，求平面1A BC与平面1ACD 夹角的余弦值21解：（1）在图1的直角梯形 CD中，/D C中，因为 1 AB BC=，2 AD=，E是 AD的中点，所以/AE BC,6连接,C E，则四边形 ABCE是菱形，又因为2D，所以四边形 ABCE是正方形，所以 BE AC 即在图 2 中，BE，BE OC 又因为/D C且 1 BC=，2 AD=，E是 AD的中点所以/C ED所以四边形 BCDE 是平行四边形。从而 CD/E，所以CD，CD OC 又因为1 1 1 1=OA A OC OC A OC OA OC O 面，面，所以CD 平面（2）由已知，平面 平面 BCDE，又由（）知，BE，BE OC 所以 为二面角 的平面角，所以 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为1 11 A B A E BC ED=，/C ED所以2(,0,0)2B，2(,0,0)2E，12(0,0,)2A，2(0,0)2C得:12 2 2 2(,0(0,-2 2 2 2BC A C），,），设平面 的法向量，平面 的法向量，平面 与平面 夹角为，则，得，取，得，取，从而，即平面 与平面 夹角的余弦值为 22已知函数()ln 2 f x x x（1）求曲线()y f x 在 1 x 处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N 上有零点，求 k 的值；（3）若不等式()(1)()x m xf xx 对任意正实数 x恒成立，求正整数 m的取值集合22解：（1）1()1 f xx，切线斜率为(1)0 f，又 f（1）1，切点为（1，1），切线方程为 1 y；1OA1OA1AOC1A BE 1OA1AOC 1-C A BE1OC2A CD BE(2,0,0)=-1BC A1 1 1 1(,)n x y z=1CD A2 2 2 2(,)n x y z=1BC A1CD A11 100n BCn AC 1 11 100 x yy z 1(1,1,1)n=22 100n CDn AC 22 200 xy z 2(0,1,1)n 1 22 6cos|cos,|3 3 2n n 1BC A1CD A637（2）令1()1 0 f xx，得 x1，当 0 x1时，()0 f x，函数 f（x）单调递减；当 x1时，()0 f x，函数 f（x）单调递增，所以 f（x）的极小值为 f（1）10，又2 2 2 21 1 1 1()ln 2 0 fe e e e，f（x）在区间（0，1）上存在一个零点1x，此时 k0；f（3）3ln321ln30，f（4）4ln4222ln22（1ln2）0，f（x）在区间（3，4）上存在一个零点2x，此时 k3综上，k的值为 0或 3；（3）当 x1时，不等式为 g（1）10显然恒成立，此时 mR；当 0 x1时，不等式()(1)()x m xf xx 可化为ln1x x xmx，令ln()1x x xg xx，则2 2ln 2()()(1)(1)x x f xg xx x，由（2）可知，函数 f（x）在（0，1）上单调递减，且存在一个零点1x，此时1 1 1()ln 2 0 f x x x，即1 1ln 2 x x，当10 x x 时，f（x）0，即 g（x）0，函数 g（x）单调递增；当11 x x 时，f（x）0，即 g（x）0，函数 g（x）单调递减g（x）有极大值即最大值为1 1 1 1 1 11 11 1ln(2)()1 1x x x x x xg x xx x，于是1m x 当 x1时，不等式()(1)()x m xf xx 可化为ln1x x xmx，由（2）可知，函数 f（x）在（3，4）上单调递增，且存在一个零点2x，同理可得2m x 综上可知1 2x m x x又1x（0，1），2x（3，4），正整数 m 的取值集合为1，2，3【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了数学转化思想方法，属难题8