1、12015-2016 学年江苏省无锡市新区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D2下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）A调查市场上酸奶的质量情况B调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品C调查某品牌日光灯管的使用寿命D调查阿福聊斋节目的收视率情况3在代数式、a+中，分式的个数有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个4如果把分式中的 m 和 n 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ）A不变 B扩大 3 倍 C缩小 3 倍 D扩大 9 倍5为了了解我市 50000 名学生参加初中毕业考
2、试数学成绩情况，从中抽取了 1000 名考生的成绩进行统计下列说法：这 50000 名学生的数学考试成绩的全体是总体；每个考生是个体；1000 名考生是总体的一个样本；样本容量是 1000其中说法正确的有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个6平行四边形的对角线长为 x，y，一边长为 12，则 x，y 的值可能是（ ）A8 和 14 B10 和 14 C18 和 20 D10 和 347如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 CE=BC，点 F 是 CD 的中点，延长 AF 与 BC 的延长线交于点 M以下结论：AB=CM；AE=AB+CE；S AEF =S 四边形 ABC
3、F；AFE=90其中正确结论的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8如图，在矩形 ABCD 中，AB=4cm，AD=12cm，P 点在 AD 边上以每秒 1cm 的速度从 A 向 D运动，点 Q 在 BC 边上，以每秒 4cm 的速度从 C 点出发，在 CB 间往返运动，二点同时出发，待 P 点到达 D 点为止，在这段时间内，线段 PQ 有（ ）次平行于 ABA1 B2 C3 D4二、填空题（每题 2 分，共 20 分）9当 x_时，分式有意义；当 x_时，分式的值为零10若分式的值为整数，则整数 x=_11甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地到乙地按 V 千米/时的速度行驶，可
4、按时到达，若按（V+2）千米/时的速度行驶，可提前_小时到达12一个样本的 50 个数据分别落在 5 个小组内，第 1、2、3、4 组的数据的个数分别2、8、15、5，则第 5 组的频率为_213一个样本的 50 个数据分别落在 5 个小组内，第 1、2、3、4 组的数据的个数分别为2、8、15、5，则第 5 组的频率为_14已知菱形的周长为 40cm，两条对角线之比为 3：4，则菱形的面积为_cm 215如图，在ABCD 中，EF 经过对角线的交点 O，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F若AB=5，AD=4，OF=1.8，那么四边形 BCFE 的周长为_16已知，则代数式的值为_17小明
5、把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上） ，则飞镖落在阴影区域的概率是_18如图，P 是矩形 ABCD 的边 AD 上一个动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是_19如图，E 是正方形 ABCD 内一点，连接 AE、BE、CE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90到CBE的位置若 AE=I，BE=2，CE=3，则么 BEC=_三、解答题（共 56 分）20计算：（1）（2）（3）21先化简：（） ，再从2x3 的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值22如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐
6、标为 A（2，3） ，B（3，2） ，C（1，1） （1）若将ABC 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，请画出平移后的A1B1C1；（2）画出A 1B1C1绕原点顺时针旋 90后得到 的A 2B2C2；（3）若ABC与ABC 是中心对称图形，则对称中心的坐标为_23我市某中学为推进素质教育，在初一年级设立了六个课外兴趣小组，下而是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）初一年级共有_人；（2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中“体育”兴趣小组所对应的扇形圆心角的度数；（3）求“从该年级中任选一名学生，是参加音乐、科技两个小组学生
7、”的概率24已知：如图，在ABCD 中，BAD 和BCD 的平分线 AE、CF 分别与对角线 BD 相交于点E，F证明：四边形 AECF 是平行四边形25如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，DAB=60，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上的一个动点（不与点 A 重合） ，延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形；3（2）当 AM 的值为_时，四边形 AMDN 是矩形，请你把猜想出的 AM 值作为已知条件，说明四边形 AMDN 是矩形的理由26如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上
8、的两个动点，且满足AE+CF=2（1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF 的形状，并说明理由；（3）试探究DEF 的周长是否存在最小值如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出DEF 周长的最小值27操作与证明：如图 1，把一个含 45角的直角三角板 ECF 和一个正方形 ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C 重合，点 E、F 分别在正方形的边 CB、CD 上，连接 AF取 AF 中点 M，EF 的中点 N，连接 MD、MN（1）连接 AE，求证：AEF 是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断 MD、MN 的数量关系和位置关系，得出结论结论 1：DM、
9、MN 的数量关系是_；结论 2：DM、MN 的位置关系是_；拓展与探究：（3）如图 2，将图 1 中的直角三角板 ECF 绕点 C 顺时针旋转 180，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由42015-2016 学年江苏省无锡市新区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 A 正确；B、不是轴
10、对称图形，是中心对称图形，故 B 错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 错误故选：A2下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）A调查市场上酸奶的质量情况B调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品C调查某品牌日光灯管的使用寿命D调查阿福聊斋节目的收视率情况【考点】全面调查与抽样调查【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似【解答】解：A、调查市场上酸奶的质量情况，调查适合抽样调查，故 A 不符合题意；B、调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品，要求精确度高，适合普查，故 B 符合题意；C
11、、调查某品牌日光灯管的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故 C 不符合题意；D、调查阿福聊斋节目的收视率情况，调查范围广，适合抽样调查，故 D 不符合题意；故选：B3在代数式、a+中，分式的个数有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【考点】分式的定义【分析】根据分式的定义，可以判断出题中六个代数式只有 3 个为分式，由此得出结论【解答】解：在代数式、a+中，分式有，a+，分式的个数是 3 个故选 B4如果把分式中的 m 和 n 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ）A不变 B扩大 3 倍 C缩小 3 倍 D扩大 9 倍【考点】分式的基本性质【分析】根据分式的性质，可得答案【解答】解：
12、把分式中的 m 和 n 都扩大 3 倍，得=5故选：C5为了了解我市 50000 名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了 1000 名考生的成绩进行统计下列说法：这 50000 名学生的数学考试成绩的全体是总体；每个考生是个体；1000 名考生是总体的一个样本；样本容量是 1000其中说法正确的有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【考点】总体、个体、样本、样本容量【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象从而找出总体、个
13、体再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量【解答】解：这 50000 名学生的数学考试成绩的全体是总体，说法正确；每个考生是个体，说法错误，应该是每个考生的数学成绩是个体；1000 名考生是总体的一个样本，说法错误，应是 1000 名考生的数学成绩是总体的一个样本；样本容量是 1000，说法正确；正确的说法共 2 个，故选：C6平行四边形的对角线长为 x，y，一边长为 12，则 x，y 的值可能是（ ）A8 和 14 B10 和 14 C18 和 20 D10 和 34【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系【分析】如图：因为平行四边形的对角线互相平分，所 OB=，
14、OC=，在OBC 中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将各答案代入验证即可求得即 x+y24，yx24【解答】解：A、=4+7=1112，所以不可能；B、=5+7=12=12，所以不可能；D、3410=24，所以不可能；故选 C7如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 CE=BC，点 F 是 CD 的中点，延长 AF 与 BC 的延长线交于点 M以下结论：AB=CM；AE=AB+CE；S AEF =S 四边形 ABCF；AFE=90其中正确结论的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】正方形的性质6【分析】由“点 F 是 CD 的中点，延长 AF
15、与 BC 的延长线交于点 M”知 AD=CM，即 AB=CM，由边长关系可知 AE=EM，F 为中点知，EFAM，再根据面积 S 四边形 ABCF=SABCD S ADF 得面积关系【解答】解：由题意知，点 F 是 CD 的中点，DF=CF，在ADF 和MCF 中，ADFMCF（ASA） ，CM=AD=AB，正确；设正方形 ABCD 边长为 4，CE=BC=1，BE=3，AE=5，AE=AB+CE，正确；EM=CM+CE=5=AE，又F 为 AM 的中点，EFAM，正确，由 CF=2，CE=1 得 EF=，由 DF=2，AD=4 得 AF=2，S AEF =5，又S ADF =4，S 四边形
16、ABCF=SABCD S ADF =12，S AEF =S 四边形 ABCFS 四边形 ABCF；不正确，正确的有 3 个，故选 C8如图，在矩形 ABCD 中，AB=4cm，AD=12cm，P 点在 AD 边上以每秒 1cm 的速度从 A 向 D运动，点 Q 在 BC 边上，以每秒 4cm 的速度从 C 点出发，在 CB 间往返运动，二点同时出发，待 P 点到达 D 点为止，在这段时间内，线段 PQ 有（ ）次平行于 ABA1 B2 C3 D4【考点】一元一次方程的应用【分析】易得两点运动的时间为 12s，PQAB，那么四边形 ABQP 是平行四边形，则AP=BQ，列式可求得一次平行，算出
17、Q 在 BC 上往返运动的次数可得平行的次数【解答】解：矩形 ABCD，AD=12cm，AD=BC=12cm，PQAB，APBQ，四边形 ABQP 是平行四边形，AP=BQ，7Q 走完 BC 一次就可以得到一次平行，P 的速度是 1cm/秒，两点运动的时间为 121=12s，Q 运动的路程为 124=48cm，在 BC 上运动的次数为 4812=4 次，线段 PQ 有 4 次平行于 AB，故选 D二、填空题（每题 2 分，共 20 分）9当 x 时，分式有意义；当 x 1 时，分式的值为零【考点】分式的值为零的条件；分式有意义的条件【分析】根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值
18、为零，可得答案【解答】解：由分式有意义，得2x+30，解得 x，由分式的值为零得|x|1=0 且 x2+2x+10解得 x=1故答案为：，110若分式的值为整数，则整数 x= 4 或3 或1 或 0 【考点】分式的值【分析】根据分式的值是整数，可得分母在2 到 2 之间的整数，根据分母的范围，可得答案【解答】解：分式的值为整数，2x+22，x+2=2 或 x+2=1 或 x+2=1 或 x+2=2，x=4 或3 或1 或 0，故答案为：4 或3 或1 或 011甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地到乙地按 V 千米/时的速度行驶，可按时到达，若按（V+2）千米/时的速度行驶，可提前 小时到达【
19、考点】分式的加减法【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果【解答】解：根据题意得：=，则可提前小时到达故答案为：12一个样本的 50 个数据分别落在 5 个小组内，第 1、2、3、4 组的数据的个数分别2、8、15、5，则第 5 组的频率为 0.4 【考点】总体、个体、样本、样本容量【分析】根据总数计算出第 5 组的频数，用第 5 组的频数除以数据总数就是第 5 组的频率【解答】解：第 5 组的频数：5028155=20，频率为：2050=0.48答：第 5 组的频率为 0.4故答案为：0.413一个样本的 50 个数据分别落在 5 个小组内，第 1、2、3、4 组的数据的个数分别为2、8、
20、15、5，则第 5 组的频率为 0.4 【考点】频数与频率【分析】根据总数计算出第 5 组的频数，用第 5 组的频数除以数据总数就是第 5 组的频率【解答】解：第 5 组的频数：5028155=20，频率为：2050=0.4，故答案为：0.414已知菱形的周长为 40cm，两条对角线之比为 3：4，则菱形的面积为 96 cm 2【考点】菱形的性质【分析】根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积【解答】解：设两条对角线长分别为 3x，4x，根据勾股定理可得（） 2+（） 2=102，解之得，x=4，则两条对角线长分别为 12cm、16cm，菱形的面积
21、=12162=96cm 2故答案为 9615如图，在ABCD 中，EF 经过对角线的交点 O，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F若AB=5，AD=4，OF=1.8，那么四边形 BCFE 的周长为 12.6 【考点】平行四边形的性质【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，易求得 BC=AD=4，易证得AOECOF，则可求得CF=AE，EF=3.6，然后由四边形 BCFE 的周长为：AB+BC+EF，继而求得答案【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，BC=AD=4，OA=OC，ABCD，OAE=OCF，在OAE 和OCF 中，AOECOF（ASA） ，CF=AE，OE=OE=1.8，E
22、F=OE+OF=3.6，四边形 BCFE 的周长为：EF+BE+BC+CF=EF+BC+BE+AE=EF+BC+AB=3.6+4+5=12.6故答案为：12.616已知，则代数式的值为 【考点】分式的化简求值【分析】先根据=4 得出 yx=4xy，再代入代数式进行计算即可【解答】解：=4，9yx=4xy，原式=故答案为：17小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上） ，则飞镖落在阴影区域的概率是 【考点】几何概率【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出 S1=S2即可【解答】解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底
23、等高的三角形，故其面积相等，根据平行线的性质易证 S1=S2，故阴影部分的面积占一份，故针头扎在阴影区域的概率为18如图，P 是矩形 ABCD 的边 AD 上一个动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 4.8 【考点】矩形的性质【分析】首先连接 OP，由矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8，可求得 OA=OD=5，AOD 的面积，然后由 SAOD =SAOP +SDOP =OAPE+ODPF 求得答案【解答】解：连接 OP，矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8，S 矩形 ABCD=ABBC=4
24、8，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，OA=OD=5，S ACD =S 矩形 ABCD=24，S AOD =SACD =12，S AOD =SAOP +SDOP =OAPE+ODPF=5PE+5PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8故答案为：4.819如图，E 是正方形 ABCD 内一点，连接 AE、BE、CE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90到CBE的位置若 AE=I，BE=2，CE=3，则么 BEC= 135 【考点】旋转的性质；正方形的性质【分析】首先根据旋转的性质得出，EBE是直角三角形，进而得出BEE=BEE=45，即可得出答案【解答】解：连接 EEABE
25、绕点 B 顺时针旋转 90到CBEEBE是直角，EBE是直角三角形，ABE 与CEB 全等，10BE=BE=2，AEB=BEC，BEE=BEE=45，EE 2=22+22=8，AE=CE=1，EC=3，EC 2=EC 2+EE 2，EEC 是直角三角形，EEC=90，AEB=135故答案为：135三、解答题（共 56 分）20计算：（1）（2）（3）【考点】分式的混合运算【分析】 （1）原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果；（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（3）原式括号中变形后利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则计算，约分即可得到结果【解答】解：（
26、1）原式=9abc；（2）原式=；（3）原式=ab21先化简：（） ，再从2x3 的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值【考点】分式的化简求值【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=，当 x=2 时，原式=422如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标为 A（2，3） ，B（3，2） ，C（1，1） （1）若将ABC 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，请画出平移后的A1B1C1；（2）画出A 1B1C1绕原点顺时针旋 90后得到 的A 2B2C2；（3）若ABC与A
27、BC 是中心对称图形，则对称中心的坐标为 （1，0） 【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换【分析】 （1）首先将 A、B、C 三点分别向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，得A1、B 1、C 1三点，顺次连接这些点，即可得到所求作的三角形；（2）找出点 B、C 绕点 A 顺时针旋转 90的位置，然后顺次连接即可；（3）ABC与ABC 是中心对称图形，连接对应点即可得出答案11【解答】解：（1）将 A，B，C，分别右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，可得出平移后的A 1B1C1；（2）将A 1B1C1三顶点 A1，B 1，C 1，绕原点旋转 90，即可得出A 2B2C2
28、；（3）ABC与ABC 是中心对称图形，连接 AA，BBCC可得出交点：（1，0） ，故答案为：（1，0） 23我市某中学为推进素质教育，在初一年级设立了六个课外兴趣小组，下而是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）初一年级共有 320 人；（2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中“体育”兴趣小组所对应的扇形圆心角的度数；（3）求“从该年级中任选一名学生，是参加音乐、科技两个小组学生”的概率【考点】扇形统计图；条形统计图【分析】 （1）总人数=参加某项的人数所占比例；（2）用总人数减去其他 5 个小组的人数求出体育小组的人数，画图即可解答，用体育
29、小组的人数除以总人数再乘 360 度即可求出圆心角的度数；（3）根据频率的计算方法，用参加音乐、科技两个小组学生数除以总人数计算即可解答【解答】解：（1）读图可知：有 10%的学生即 32 人参加科技学习小组，故初一年级共有学生 =320（人） 故答案为：320（2）直方图如图所示，360=108（3）24已知：如图，在ABCD 中，BAD 和BCD 的平分线 AE、CF 分别与对角线 BD 相交于点E，F证明：四边形 AECF 是平行四边形【考点】平行四边形的判定与性质【分析】由在ABCD 中，可证得 AB=CD，ADBC，BAD=BCD，又由BAD 和BCD 的平分线 AE、CF 分别与对
30、角线 BD 相交于点 E，F，可证得BAE=DCF，继而可证得ABECDF（ASA） ，则可证得 AE=CF，AECF，判定四边形 AECF 是平行四边形【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，ADBC，BAD=BCD，ABE=CDF，BAD 和BCD 的平分线 AE、CF 分别与对角线 BD 相交于点 E，F，BAE=BAD，DCF=BCD，BAE=DCF，在ABE 和CDF 中，12ABECDF（ASA） ，AE=CF，AEB=CFD，AEF=CFE，AECF，四边形 AECF 是平行四边形25如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，DAB=60，点 E 是 AD 边的中点
31、，点 M 是 AB 边上的一个动点（不与点 A 重合） ，延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形；（2）当 AM 的值为 2 时，四边形 AMDN 是矩形，请你把猜想出的 AM 值作为已知条件，说明四边形 AMDN 是矩形的理由【考点】菱形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定【分析】 （1）根据菱形的性质可得 ABCD，根据两直线平行，内错角相等可得NDE=MAE，根据对顶角相等可得DEN=AEM，根据中点的定义求出 DE=AE，然后利用“角边角”证明NDE 和MAE 全等，根据全等三角形对应边相等得到 ND=AM，然后利用一组对边平
32、行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）首先证明AEM 是等边三角形，进而得到 AE=ED=EM，利用三角形一边上的中线等于斜边一半判断出AMD 是直角三角形，进而得出四边形 AMDN 是矩形【解答】解：（1）点 E 是 AD 边的中点，AE=ED，ABCD，NDE=MAE，在NDE 和MAE 中，NDEMAE（ASA） ，ND=AM，NDAM，四边形 AMDN 是平行四边形；（2）当 AM=2 时，说明四边形是矩形E 是 AD 的中点，AE=2，AE=AM，EAM=60，AME 是等边三角形，AE=EM，AE=ED=EM，AMD=90，四边形 ABCD 是菱形，故当 AM=2 时，四边形 A
33、MDN 是矩形26如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2（1）求证：BDEBCF；13（2）判断BEF 的形状，并说明理由；（3）试探究DEF 的周长是否存在最小值如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出DEF 周长的最小值【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】 （1）先判定ABD 与BCD 都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BDE=C=60，再求出 DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得 BE=CF，全等三角形对应角相等可得DBE=CBF，然后求出EBF=6
34、0，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答；（3）根据 EF 的最小值为点 B 到 AD 的距离，即 EF 的最小值是，即可求出DEF 的周长【解答】 （1）证明：菱形 ABCD 的边长为 2，对角线 BD=2，AB=AD=BD=2，BC=CD=BD=2，ABD 与BCD 都是等边三角形，BDE=C=60，AE+CF=2，CF=2AE，又DE=ADAE=2AE，DE=CF，在BDE 和BCF 中，BDEBCF（SAS） ；（2）解：BEF 是等边三角形理由如下：由（1）可知BDEBCF，BE=BF，DBE=CBF，EBF=DBE+DBF=CBF+DBF=DBC=60，BEF 是等边三角形
35、，由图可知，BDE 绕点 B 顺时针旋转 60即可得到BCF；（3）解：如图所示：当 BEAD 时，DEF 的周长最小，BDEBCF，DE=FC，DE+DF=AD=2，故当DEF 的周长最小，则 EF 最小即可，BEF 是等边三角形，ABD 与BCD 都是等边三角形，BE=ABsin60=，DEF 周长的最小值为：2+27操作与证明：如图 1，把一个含 45角的直角三角板 ECF 和一个正方形 ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C 重合，点 E、F 分别在正方形的边 CB、CD 上，连接 AF取 AF 中点 M，EF 的中点 N，连接 MD、MN（1）连接 AE，求证：A
36、EF 是等腰三角形；14猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断 MD、MN 的数量关系和位置关系，得出结论结论 1：DM、MN 的数量关系是 相等 ；结论 2：DM、MN 的位置关系是 垂直 ；拓展与探究：（3）如图 2，将图 1 中的直角三角板 ECF 绕点 C 顺时针旋转 180，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；旋转的性质【分析】 （1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出 CE=CF，继而证明出ABEADF，得到 AE=AF，证明出AEF 是等腰三角形；（2）
37、DM、MN 的数量关系是相等，位置关系式垂直；（3）连接 AE，交 MD 于点 G，标记出各个角，首先证明出 MNAE，MN=AE，再有（1）的结论以及角角之间的数量关系得到DMN=DGE=90【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，AB=AD=BC=CD，B=ADF=90，CEF 是等腰直角三角形，C=90，CE=CF，BCCE=CDCF，即 BE=DF，ABEADF，AE=AF，AEF 是等腰三角形；（2）解：相等，垂直；证明：在 RtADF 中 DM 是斜边 AF 的中线，AF=2DM，MN 是AEF 的中位线，AE=2MN，AE=AF，DM=MN；DMF=DAF+ADM，AM
38、=MD，FMN=FAE，DAF=BAE，ADM=DAF=BAE，DMN=BAD=90，DMMN；（3） （2）中的两个结论还成立，证明：连接 AE，交 MD 于点 G，点 M 为 AF 的中点，点 N 为 EF 的中点，MNAE，MN=AE，由（1）同理可证，AB=AD=BC=CD，B=ADF，CE=CF，又BC+CE=CD+CF，即 BE=DF，ABEADF，15AE=AF，在 RtADF 中，点 M 为 AF 的中点，DM=AF，DM=MN，ABEADF，1=2，ABDF，1=3，同理可证：2=4，3=4，DM=AM，MAD=5，DGE=5+4=MAD+3=90，MNAE，DMN=DGE=90，DMMN
