1、2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、填空题1设集合Axlog2x0，则关于x的方程ff(x)=3的解的个数为_13已知正数a，b
2、，c满足b2+2(a+c)b-ac=0，则ba+c的最大值为_14若存在正数x，y，使得(y-2ex)(lny-lnx)s+x=0，其中e为自然对数的底数，则实数s的取值范围是_二、解答题15如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD，M为PC中点求证：（1）PA平面MDB；（2）PDBC16已知(0，2)，(2，)，cos=-13，sin(+)=4-26（1）求tan2的值；（2）求的值17如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成RtFHE，H是直角项点)来处理污水管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口H是A
3、B的中点，E，F分别落在线段BC，AD上已知AB20米，AD103米，记BHE（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L18在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线y+3=0交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2mk为定值（图1） （
4、图2）19设函数f(x)=exx3-3kx-klnx，其中x0，k为常数，e为自然对数的底数（1）当k0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k，存在x0(x00)，使得f(x)在区间(x0，+)上单调递增20若数列an同时满足：对于任意的正整数n，an+1an恒成立；若对于给定的正整数k，an-k+an+k=2an对于任意的正整数n(nk)恒成立，则称数列an是“R(k)数列”（1）已知an=2n-1，n为奇数2n，n为偶数，判断数列an是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列bn是“R(3)
5、数列”，且存在整数p(p1)，使得b3p-3，b3p-1，b3p+1，b3p+3成等差数列，证明：bn是等差数列21二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)（1）求矩阵M的逆矩阵M-1；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程22在极坐标系中，设圆=3上的点到直线(cos+3sin)=2的距离为d，求d的最大值23如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的中点（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角ABEC的余弦值24已知fn(x)=(1+x)n，nN*（1）若g(x
6、)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；（2）若pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和，数列an是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：pn(a1a2an+1)(1+a1)(1+a2)(1+an)好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学 答 案参考答案11，2【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合Axlog2x2=x0x4，又B1，0，1，2，4AB1，2【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单
7、调性，是基础题225【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=13+4i=2+4i，|z|=(-2)2+42=25故答案为：25【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题34【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数x=15(2+4+5+6+8)=5，这组数据的方差S2=15（25）2+（45）2+（55）2+（65）2+（85）2=4故答案为：4【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用4310【解析】【
8、分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有C52=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有C32=3种选法，2名都是女同学的概率为310故答案为：310【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数510【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】当a=1，b=12时，不满足ab，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足ab，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满
9、足ab，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足ab，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答62【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），即可求出p值【详解】x24+y23=1 中a2=4，b2=3，c2=1，c=1右焦点坐标为（1，0）抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），p2=1，则p=2故答案为：2
10、【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题7725【解析】【分析】利用sin2x=-cos（2x+2）=2sin2（x+4）-1即可得到结果.【详解】sin(x+4)=35，sin2x=-cos（2x+2）=2sin2（x+4）-1=18251=-725，故答案为：725【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键82a3【解析】由an是递增数列，得解得2a398【解析】【分析】由曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线2x7y+3=0垂直，可得y|x=2=5，且y|x=2=72，解
11、方程可得答案【详解】直线2x7y+3=0的斜率k=27，切线的斜率为72，曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线2x7y+3=0垂直，y=2axbx2，4a+b2=-54a-b4=-72，解得：a=1，b=2，故2a3b =8，故答案为：8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=5，且y|x=2=72，是解答的关键100t1或2t3【解析】此题考查导数的应用；f(x)=-x+4-3x=-x2-4x+3x=-(x-1)(x-3)x，所以当x(0,1),(3,+)时，原函数递增，当x(1,3)原函数递减；因为
12、在t,t+1上不单调，所以在t,t+1上即有减又有增，所以0t11t+13或1t33t+10t1或2t311【解析】因为,又因为，所以，也即，所以，又，故，由余弦定理得，则 ，应填答案。点睛：本题综合考查向量的几何运算法则、数量积公式、余弦定理等许多重要基础知识和基本方法，同时也考查了等价转化与化归、函数方程等重要数学思想的综合运用。125【解析】由题意得，2fx+1=3或lnfx=3，即fx=1（舍去）或fx=e3或fx=e-3，若fx=e3，则2x+1=e3或lnx=e3，故x=e3-12（舍去）或x=ee3或x=e-e3，若fx=e-3，则2x+1=e-3或lnx=e-3，故x=e-3-
13、12或x=ee-3或x=e-e-3，故方程ffx=3，共有5个解，故答案为5.135-22【解析】【分析】利用求根公式得到b=-2a+c+4a+c2+4ac2，表示目标ba+c=-1+1+aca+c2，借助均值不等式求最值.【详解】b2+2(a+c)b-ac=0b=-2a+c+4a+c2+4ac2，ba+c=-a+c+a+c2+aca+c=-1+a+c2+aca+c=-1+1+aca+c2，=-1+1+1ac+ca+25-22，当且仅当a=c时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定
14、值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14(-，0)1e，+)【解析】【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可【详解】由(y-2ex)(lny-lnx)s+x=0得x+s（y2ex）lnyx=0，即1+s（yx2e）lnyx=0，即设t=yx，则t0，则条件等价为1+s（t2e）lnt=0，即（t2e）lnt=-1s有解，设g（t）=（t2e）lnt，g（t）=lnt+12et为增函数，g（e）=lne+12ee=1+12=0，当te时，g（t）0，当0te时，g（t）0，即当t=e时，函数g（t）取
15、得极小值，为g（e）=（e2e）lne=e，即g（t）g（e）=e，若（t2e）lnt=-1s有解，则-1se，即1se，则s0或s1e，故答案为：s0或s1e【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键综合性较强15（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）线面平行的判定关键在证相应线线平行，线线平行的证明或寻求需要结合平面几何的知识，如中位线平行于底面，因为本题中M为PC中点，所以应取BD的中点作为解题突破口；（2）线线垂直的证明一般需要经过多次线线垂直与线面垂直的转化，而对于面面垂
16、直，基本是单向转化，即作为条件，就将其转化为线面垂直；作为结论，只需寻求线面垂直.如本题中面PCD与面ABCD垂直，就转化为BC平面PCD，到此所求问题转化为:已知线面垂直，要求证线线垂直.在线线垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用平面几何中的垂直条件,如矩形邻边相互垂直.试题解析：证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OM. 2分因为M为PC中点,O为AC中点，所以MO/PA. 4分因为MO平面MDB，PA平面MDB,所以PA/平面MDB. 7分（2）因为平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD =CD,BC平面ABCD ,BCCD,所以BC平面PCD. 12分因为PD平面PCD
17、,所以BCPD 14分考点：直线与平面平行判定定理，面面垂直性质定理.16(1)427；(2)=4.【解析】试题分析：(1)利用同角三角函数基本关系可得cos=-13，sin=1-cos2=223 则tan=sincos=-22，结合二倍角公式可得tan2=2tan1-tan2=427 .(2)由题意结合同角三角函数基本关系求得cos=22，结合角的范围可知=4.试题解析：（1） 0， cos=-130，+2，cos+=-1-sin2+=-1-4-262=-4+26 由=+-得： cos=cos+-=cos+cos+sin+sin = -4+26-13+2234-26=22 0， =4.17（
18、1）L=10sin+cos+1sincos，6,3.； （2）=6或=3时，L取得最大值为20(3+1)米.【解析】【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明的范围（2）设sin+cos=t，根据函数 L=20t-1 在3+12，2上是单调减函数，可求得L的最大值所以当t=3+12时，即=6或=3时，L取得最大值为20(3+1)米【详解】(1)由题意可得EH=10cos，FH=10sin，EF=10sincos，由于BE=10tan103，AF=10tan103，所以33tan3，6,3，L=10cos+10
19、sin+10sincos，6,3.即L=10sin+cos+1sincos，6,3.(2)设sin+cos=t，则sincos=t2-12，由于6,3，sin+cos=t=2sin(+4)3+12,2.由于L=20t-1在3+12,2上是单调减函数，当t=3+12时，即=6或=3时，L取得最大值为20(3+1)米18（1）2；（2）证明见解析。【解析】【分析】（1）设A2Q的斜率为k，求出直线A1Q和A2Q的方程，得出M，N的坐标，从而得出MN关于k的表达式，进而得出MN的最小值；（2）求出直线方程，得出E、F的坐标，进而得出m与k的关系，从而得出结论【详解】(1)由题设可以得到直线A2Q的斜
20、率存在设方程为y=kx-2(k0),直线A1Q的方程为y=-1kx+2,由y=kx-2y+3=0,解得x=2-3ky=-3;由y=-1kx+2y+3=0,解得x=3k-2y=-3所以,直线A2Q与直线y+3=0的交点M2-3k,-3直线A1Q与直线y+3=0的交点N3k-2,-3,所以MN=3k+3k-4.当k0时, MN=3k+3k-46-4=2,等号成立的条件是k=1当k0对任意的x0都成立.所以，当x3时，fx0；当0x3时，fx0，所以，fx的单调递减区间为（0,3），单调递增区间为3,+.（2）fx=x-3ex-kx2x4.由函数fx在区间（1,3）上存在两个极值点，得fx=0在区间
21、（1,3）上至少有两个解，即ex-kx2=0在区间（1,3）至少有两个解.令gx=exx2-k，x1,3，则gx=exx-2x3.所以，当1x2时，gx0；当2x0，所以gx在区间（1,2）上单调递减，在区间（2,3）上单调递增.又g2=e24-k，g3=e39-kg1=e-k，所以，e24-k0，即e24ke39.此时，存在x1(1,2), x2(2,3)使得gx1=gx2=0且当x(1,x1)时，fx0，当x(x2,，3)，fx3时，hxh3h3=e3270，及exh3x3，当x3时，fx=x-3ex-kx2x4x-3h3x3-kx2x4=x-3h3x-kx2.设x0为3和kh3中较大的数
22、，则当xx0时，fx0，所以对任意给定的实数k，存在x0x00，式得dx在区间x0,+上单调递增.20（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列bn通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当n为奇数时，an+1-an=2(n+1)-(2n-1)=30，所以an+1an.an-2+an+2= 2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2an.当n为偶数时，an+1-an=(2n+1)-2n=10，所以an+1an.an-2+an
23、+2= 2(n-2)+2(n+2)=4n=2an.所以，数列an是“R(2)数列”.（2）由题意可得：bn-3+bn+3=2bn，则数列b1，b4，b7，是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b3，b8，是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，是等差数列，设其公差为d3.因为bnbn+1，所以b3n+1b3n+2b3n+4，所以b1+nd1b2+nd2b1+(n+1)d1，所以n(d2-d1)b1-b2，n(d2-d1)b1-b2+d1.若d2-d1b1-b2d2-d1时，不成立；若d2-d10，则当nb1-b2+d1d2-d1时，不成立；若d2-d1=0，则和都成立，所以d1=d2
24、.同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d.设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1 =b3p+3-b3p+1=，则b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-(b3p+1+(n-p-1)d)=b3p-1-b3p+1+d=d-.同理可得：b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-，所以bn+1-bn=d-.所以bn是等差数列.【另解】=b3p-1-b3p-3 =b2+(p-1)d-(b3+(p-2)d) =b2-b3+d， =b3p+1-b3p-1 =b1+pd-(b2+(p-1)d)=b1-b2+d，=b3p+3-b3p+1 =b3+pd-(b1+pd
25、)=b3-b1，以上三式相加可得：3=2d，所以=23d，所以b3n-2=b1+(n-1)d =b1+(3n-2+1)d3，b3n-1=b2+(n-1)d =b1+d-+(n-1)d =b1+(3n-1-1)d3，b3n=b3+(n-1)d =b1+(n-1)d =b1+(3n-1)d3，所以bn=b1+(n-1)d3，所以bn+1-bn=d3，所以，数列bn是等差数列.21（1）M-1=-2132-12；（2）x+4=0。【解析】【分析】（1）M=abcd，由已知二阶矩阵M对应的变换将点（1，1）与（2，1）分别变换成点（1，1）与（0，2）可构造关于a，b，c，d的四元一次方程组，解方程组
26、可得矩阵M，进而得到矩阵M的逆矩阵M1；（2）由（1）中矩阵M及直线l在变换M作用下得到了直线m：2xy=4，构造关于x，y的关系式，整理后可得l的方程【详解】（1）设M=abcd，则有abcd1-1=-1-1，abcd-21=0-2，所以a-b=-1c-d=-1，且-2a+b=0-2c+d=-2，解得a=1b=2c=3d=4所以M=1234，从而M-1=-2132-12. （2）因为xy=1234xy，且m:2x-y=4，所以2x+2y-3x+4y=4，即x+4=0，这就是直线l的方程。【点睛】本题主要考查了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题224【解析】将极坐标方
27、程3化为普通方程，得圆：x2y29.极坐标方程(cos3sin)2化为普通方程，得直线：x3y2.在x2y29上任取一点A(3cos，3sin)则点A到直线的距离为d|3cos33sin2|2|6sin（30）2|2，所求d的最大值为4.23（1）25；（2）-23。【解析】【分析】（1）先以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设出点的坐标，求出直线直线BE与AC的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可【详解】（1）以O为原点，OB，OC
28、，OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有A0,0,1，B2,0,0，C0,2,0，E0,1,0.EB=2,0,0-0,1,0=2,-1,0，AC=0,2,-1. cos=-255=-25. 由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是25. （2）AB=2,0,-1，AE=0,1,-1.设平面ABE的法向量为n1=x,y,z，则由n1AB，n1AE，得2x-z=0,y-z=0.取n1=1,2,2.同理可得平面BEC的一个法向量为n2=0,0,1， cos=n1n2n1n2=21+4+4=23. 由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是-23.24（1）5
29、6；（2）证明见解析。【解析】【分析】（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；（2）确定pn的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+1时成立即可【详解】（1）gx=f4x+2f5x+3f6x=1+x4+21+x5+31+x6，gx中含x2项的系数为C44+2C54+3C64=1+10+45=56. （2）证明：由题意，pn=2n-1. 当n=1时，p1a1+1=a1+1，成立；假设当n=k时，pka1a2ak+11+a11+a21+ak成立，当n=k+1时，1+a11+a21+ak1+ak+12k-1a1a2ak+11+ak+1=2k-1a1a2akak+1+a1a2ak+ak+1+1.*,ak1，a1a2akak+1-1ak+1-1，即a1a2akak+1+1a1a2ak+ak+1，代入（*）式得1+a11+a21+ak1+ak+12ka1a2akak+1+1成立.综合可知，pna1a2an+11+a11+a21+an对任意nN*成立.好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共14页）
