1、2019届辽宁省沈阳市东北育才中学高三（上）期中数学试卷（理科）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1集合A=x|x2-10，B=y|y=3x,xR，则AB=A(-,-1) B(
2、-,-1 C(1,+) D1,+)2“x0”是“ln(x+1)0”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知曲线y=f(x)在(5,f(5)处的切线方程是y=-x+5，则f(5)与f(5)分别为A5，-1 B-1，5 C-1，0 D0，-14在ABCD中，AC=(-2,4)，BD=(2,2)，则ABAD=A1 B2 C3 D45若0ac1，则A(bc)acb Cca-1ba-1 Dlogcalogba6已知函数f(x)=1x-lnx-1，则y=f(x)的图象大致为7已知函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+x，h(x)=sinx+x的零点依次为x1
3、，x2，x3，则以下排列正确的是Ax1x2x3 Bx1x3x2 Cx3x1x2 Dx2x30)在0,内的值域为-1,12，则的取值范围是A32,53 B23,43 C23,+) D23,3211设实数m0，若对任意的xe，不等式x2lnx-memx0恒成立，则m的最大值是A1e Be3 C2e De12设函数f(x)=xlnx，g(x)=f(x)x，给定下列命题不等式g(x)0的解集为(1e,+)；函数g(x)在(0,e)单调递增，在(e,+)单调递减；若x1x20时，总有m2(x12-x22)f(x1)-f(x2)恒成立，则m1；若函数F(x)=f(x)-ax2有两个极值点，则实数a(0,1
4、)则正确的命题的个数为A1 B2 C3 D4二、填空题13设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0xb0)上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知F1PF2=120，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率为_15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB+btanA=-2ctanB，且a=8，b+c=73，则ABC的面积为_16已知对满足4x+4y+5=4xy的任意正实数x，y，都有x2+2xy+y2-ax-ay+10，则实数a的取值范围为_三、解答题17已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+)上单调递增，函数g(x)=2x-k()求m
5、的值；()当x1,2时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设命题p：xA，命题q：xB，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围18已知函数f(x)=asinx-2cosx(0)的最小正周期为2，当x=6时，有最大值4()求a，的值；()若4x34，且f(x+6)=43，求f(x2+6)的值19已知数列an满足a1+2a2+22a3+2n-1an=n,nN*()求数列an的通项公式；()若bn=1log2an+1log2an+2，求数列bn的前n项和为Tn20设函数f(x)=log2(1+a2x+4x)，其中a为常数()当f(2)=f(-1)+4，求a的值；()当x1,+)时，
6、关于x的不等式f(x)x-1恒成立，求a的取值范围21如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设EPA=02()为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使PAE与PFB的面积之和最小；()为节省建设成本，求使PE+PF的值最小时AE和BF的值22已知函数f(x)=12x2-ax+lnx(aR)(1)若f(x)在定义域上不单调，求a的取值范围；(2)设a1或x0，所以AB=x|x1，故选C.2B【解析】试题分析：由题意得，ln(x+1)00x+
7、11-1xc1，bc1，0a1，故错误对于B，若c-ab-acb，则bc-abcb-ca，即ac-b0，这与bc1矛盾，故错误对于C，0a1，a-1c1，则ca-1ba-1，故错误对于D，bc1，logcalogba，故正确故选D【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题。6A【解析】x(0,1)(1,+)，y=x-1的图象始终位于y=lnx的图象的上方，所以函数值为正数，排除B,D当取x1=ef(x2)，排除C.选A.考点：函数的图象.7B【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可【详解】函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+x，h
8、(x)=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，在坐标系中画出y=3x，y=log3x，y=sinx与y=-x的图象如图：可知x10，x3=0，满足x1x30，则fx=x+1ex0,于是f(x)在0,+上是增函数.因为mx0，lnx0，所以mxlnx，即mxlnx对任意的xe恒成立，因此只需mxlnxmin.设gx=xlnxxe，gx=lnx+10xe，所以gx在e,+上为增函数，所以gxmin=ge=e，所以me，即m的最大值是e.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内
9、在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.12B【解析】【分析】明确函数g(x)的图象及性质，命题的正误易判.【详解】f（x）=xlnx的导数为f（x）=1+lnx，则gx=fxx=1+lnxx，gx=-lnxx2,对于gx0即1+lnxx0，解得x1e，故正确；对于gx=-lnxx2，当x0,1时gx0，g(x)在0,1单调递
10、增，故错误；对于m2(x12-x22)f(x1)-f(x2)可化为：fx2-m2x22fx1-m2x12设x=fx-m2x2，又x1x20x在0，+上单调递减，x=1+lnx-mx0在0，+上恒成立，即m1+lnxx，又gx=1+lnxx在0,1单调递增，在1，+上单调递减，g1=1，m1故正确；对于若函数F(x)=f(x)-ax2有两个极值点，则F(x)= 1+lnx-2ax有两个零点，即1+lnx-2ax=0，2a=1+lnxx又gx=1+lnxx在0,1单调递增，在1，+上单调递减，g1=1，x+时，gx0，即2a0,1，a0,12，故错误；故选：B【点睛】本题考查导数的运用：考查函数的
11、单调性，考查恒成立问题，考查函数的零点的个数，注意运用转化思想、数形结合思想，属于中档题13-2【解析】【分析】利用函数的周期性和奇偶性来解题【详解】函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，f174=f14=log214=-2f-1=-f(1)由图象可得f-1=-f1=0，则f174+f-1=-2故答案为-2【点睛】本题主要考查了的是函数的概念和性质，运用奇偶性和周期性来解题，较为简单。1473【解析】【分析】运用正弦定理和椭圆的基本性质来解题【详解】|PF1|=2|PF2|，PF1+PF2=2aPF2=2a3，PF1=4a3F1PF2=120，cosF1PF2=2a32+4a32-4c2
12、22a34a3=-12解得c2a2=79e=ca=73故答案为73【点睛】在求离心率的题目时结合题意，运用余弦定理解三角形，得到边的数量关系，然后求得离心率，本题较为基础。15934【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值，由余弦定理可求64=（b+c）2bc，求bc，即可得三角形的面积【详解】在ABC中btanB+btanA=2ctanB，由正弦定理可得sinB（tanA+tanB）=2sinCtanB，sinB（tanA+tanB）=2sinCsinBcosB，cosB（tanA+tanB）=2sinC，cosB（sinAcosA+sinBcosB）=2sinC
13、，cosBsinAcosB+cosAsinBcosAcosB=2sinC，cosBsin(A+B)cosAcosB=sinCcosA=2sinC，解得cosA=12，A=23；a=8，b+c=73,由余弦定理可得：64=b2+c2+bc=（b+c）2bc，bc=9ABC的面积为S=12bcsinA=12932=934，故答案为：934【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题16（，265【解析】【分析】由正实数x，y满足4x+4y+5=4xy，可求得x+y5，由x2+2xy+y2axay+10恒成立可求得ax+y+1x+y恒成立，利用对勾函数
14、的性质即可求得实数a的取值范围【详解】因为正实数x，y满足4x+4y+5=4xy，而4xy（x+y）2，代入原式得（x+y）24（x+y）50，解得x+y5或x+y1（舍去），由x2+2xy+y2axay+10可得a（x+y）（x+y）2+1，即ax+y+1x+y，令t=x+y5，+），则问题转化为at+1t，因为函数y=t+1t在5，+）递增，所以ymin=5+15=265，所以a265，故答案为：（，265【点睛】本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x+y5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题17(1)m=0,(2)0k1【解析】试题分析：根据幂函数定义得出(m-1)2
15、=1解出m值，根据函数单调性取舍m，根据x范围求出值域A、B，利用集合包含关系求出k的范围.试题解析：（）依题意得：(m-1)2=1,m=0或m=2当m=2时，f(x)=x-2在(0,+)上单调递减，与题设矛盾，舍去 m=0（）当x1,2时，f(x)，g(x)单调递增， A=1,4,B=2-k,4-k，由命题p是q成立的必要条件，得BA， 2-k14-k40k118(1)a=23 =4 (2)-463【解析】【分析】由周期和最值求出a,的值表示出f(x+6)的解析式，然后代入求出结果【详解】函数f(x)=asinx-2cosx(0)的最小正周期为2，则T=2=2，解得=4当x=6时，有最大值4
16、f6=asin23-2cos23=32a+1=4，解得a=23由可得fx=23sin4x-2cos4x=4sin4x-6fx+6= 4sin4x+2=43，cos4x=13，4x34，cos2x=-1+cos4x2=-63，fx2+6=4sin2x+2=4cosx=-46319(1)an=12n-1 (2)nn+1【解析】【分析】由表达式推导出数列的通项公式先得到数列bn的通项公式，然后运用裂项相消法求和【详解】a1+2a2+22a3+2n-1an=n a1+2a2+22a3+2n-2an-1=n-1 -可得2n-1an=1an=12n-1当n=1时，a1=1数列an的通项公式为an=12n-
17、1若bn=1log2an+1log2an+2=1nn+1=1n-1n+1Tn=11-12+12-13+1n-1n+1=nn+1【点睛】本题考查了求数列通项公式和运用裂项相消法求数列的和，形如bn=1nn+1的形式就需要裂项，然后再计算结果，本题较为基础，需要掌握解题方法。20（1）a=34（2）2，+）【解析】【分析】（1）直接计算出f（1）和f（2），根据条件解方程即可求得a；（2）采用分离参数法，分离变量a，再根据函数的单调性求最值，得出a的取值范围【详解】（1）f（x）=log2（1+a2x+4x），f（-1）=log2（1+a2+14），f（2）=log2（1+4a+16），由于f(2
18、)=f(-1)+4，即log2（4a+17）=log2（a2+54）+4，解得，a=34；（2）因为f（x）x1恒成立，所以，log2（1+a2x+4x）x1，即，1+a2x+4x2x1，分离参数a得，a12（2x+2x），x1，（2x+2x）min=52，此时x=1，所以，a1252=2，即实数a的取值范围为2，+）【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及对数的运算性质，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题21(1) 当AE=1km，BF=8km时，PAE与PEB的面积之和最小. (2) 当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小.【解析】试题分析：（1）用角表示AE,B
19、F，从而表示三角形PAE,PBF的面积，求出面积之和用基本不等式求最小值，求出等号成立时的tan，即可确定E,F的位置；（2） 用角表示PE+PF，构建函数f()=PE+PF=8cos+1sin，用导数与最值的关系求之即可试题解析：（1）在RtPAE中，由题意可知APE=，AP=8，则AE=8tan所以SPAE=12PAAE=32tan 2分同理在RtPBF中，PFB=，PB1，则BF=1tan，所以SPBF=12PBBF=12tan 4分故PAE与PFB的面积之和为32tan+12tan5分232tan12tan=8，当且仅当32tan=12tan，即tan=18时，取“”，故当AE=1km
20、，BF=8km时，PAE与PFB的面积之和最小 6分（2）在RtPAE中，由题意可知APE=，则PE=8cos同理在RtPBF中，PFB=，则PF=1sin令f()=PE+PF=8cos+1sin，02， 8分则f()=8sincos2-cossin2=8sin3-cos3sin2cos2， 10分令f()=0，得tan=12，记tan0=12，002，当(0,0)时，f()0，f()单调增所以tan=12时，f()取得最小值， 12分此时AE=APtan=812=4，BF=BPtan=2所以当AE=4km，且BF=2km时，PE+PF的值最小 14分考点：1三角函数应用；2基本不等式；3导数
21、与函数最值22(1)2,+；(2)0,e4-4e2-12e2.【解析】分析：由已知f(x)=x+1x-a(x0,aR)，(1)若f(x)在定义域上单调递增，讨论可得a2；若f(x)在定义域上单调递减，讨论可得a.据此可得a2,+.(2)由(1)知，a2.令f(x)=x+1x-a=x2-ax+1x=0的两根分别为x1,x2，设0x110,aR)，(1)若f(x)在定义域上单调递增，则f(x)0，即ax+1x在(0，+)上恒成立，而x+1x2,+，所以a2；若f(x)在定义域上单调递减，则f(x)0，即ax+1x在(0，+)上恒成立，而x+1x2,+，所以a.因为f(x)在定义域上不单调，所以a2
22、，即a2,+.(2)由(1)知，欲使f(x)在(0，+)有极大值和极小值，必须a2.又ae+1e，所以2ae+1e.令f(x)=x+1x-a=x2-ax+1x=0的两根分别为x1,x2，即x2-ax+1=0的两根分别为x1,x2，于是x1+x2=ax1x2=1.不妨设0x11x2，则f(x)在0,x1上单调递增，在x1,x2上单调递减，在x2,+上单调递增，所以m=f(x1),n=f(x2)，所以S=m-x=f(x1)-f(x2)=(12x12+ax1+lnx1)-(12x22+ax2+lnx2)=12(x12-x22)-a(x1-x2)+(lnx1-lnx2) =-12(x12-x22)+l
23、nx1x2=-12x12-x22x1x2+lnx1x2=-12x1x2-x2x1+lnx1x2 令t=x1x2(0,1)，于是S=-12(t-1t)+lnt.t+1t=x12+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2=a2-2(2,e2+1e2)，由t+1te2+1e2，得1e2t1.因为S=-12(1+1t2)+1t=-12(1t-1)20，所以S=-12(t-1t)+lnt在1e2,1上为减函数.所以S0,e4-4e2-12e2.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共14页）
