1、期中检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第110题只有一项符合题目要求；第1113题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.已知向量a(1，m)，向量b(1，)，若ab，则m等于()A. B. C. D.答案B解析由题意得1m(1)0，m.2.已知i为虚数单位，z，则复数z的虚部为()A.2i B.2i C.2 D.2答案D解析z22i，故虚部为2.3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则等于()A.2 B.1 C.1 D.2答案B解析以A为原点
2、，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0) E(0,1)，(2,1)，(0，1)，1.4.(2019淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析由题意可得i，则其共轭复数为i，对应的点位于第四象限.5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案A解析如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得ba.6.在ABC中，若lg alg clg sin Blg且B，则ABC的形状是()A.等
3、边三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形答案C解析lg alg clg sin Blg，sin B，B，B，cos B，a2b2，则ab，AB，C，ABC为等腰直角三角形.7.在ABC中，A120，2，则|的最小值是()A.2 B.4 C.2 D.12答案C解析|cos A|2|4，|2|2|2|242|412，当且仅当|时取等号，所以|2.8.已知向量a(1，)，b，则ab在b上的投影为()A.2 B. C.1 D.1答案A解析ab在b上的投影为2.9.已知向量a(cos 2，sin )，其中R，则|a|的最小值为()A.1 B.2 C. D.3答案A解析因为a(cos 2
4、，sin )，所以|a|，因为R，所以1cos 1，故|a|的最小值为1.10.已知点O是ABC内一点，满足2m，则实数m为()A.2 B.2 C.4 D.4答案D解析由2m得，设，则，A，B，D三点共线，如图所示，与反向共线，解得m4.11.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状不可能是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形答案ABD解析由正弦定理知，sin A，sin B，sin C.sin2Asin2Bsin2C可化为a2b2c2，a2b2c20.cos C0.角C为钝角，ABC为钝角三角形.12.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A.
5、若z20，则z是实数B.若z20，则z是虚数C.若z是虚数，则z20D.若z是纯虚数，则z20答案ABD解析设zabi，a，bR，z2a2b22abi，对于A：z20，则b0，所以z是实数，真命题；对于B：z20，则a0，且b0，可得z是虚数，所以B为真命题；对于C：z是虚数，则b0，所以z2也可能是虚数，不能比较大小，所以C是假命题；对于D：z是纯虚数，则a0，b0，所以z20，所以D是真命题.13.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b|a|b|sina，b，其中a，b表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有()A.a在b上的投影向量为asina，bB.(a*b
6、)2(ab)2|a|2|b|2C.(a*b)(a)*bD.若a*b0，则a与b平行答案BD解析由投影向量的定义可知，A显然不成立；(a*b)2(ab)2|a|2|b|2sin2a，b|a|2|b|2cos2a，b|a|2|b|2，故B成立；(a*b)|a|b|sina，b，(a)*b|a|b|sina，b，当0时不成立，故C不成立；由a*b0，得sina，b0，即两向量平行，故D成立.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.i是虚数单位，则复数_，其实部为_.答案i0解析i，其实部为0.15.已知向量a，b的夹角为，且|a|2，|b|，ab3，则_.答案解析由题意，利用向量的夹
7、角公式，得cos ，又由0， .16.(2019南宁模拟)在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若，则_.答案解析因为，所以1.17.(2019宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为_.答案80解析由已知，在ACD中，ACD15，ADC150，DAC15，由正弦定理，得AC40()，在BCD中，BDC15，BCD135，DBC30，由正弦定理，得，BC16
8、0sin 1540()；在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB1 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 60020，解得AB80，则两目标A，B间的距离为80.三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知复数z3mi (mR)，且(13i)z为纯虚数.(1)求复数z；(2)若z(2i)w，求复数w的模|w|.解(1)(13i)(3mi)(33m)(9m)i，(13i)z是纯虚数，33m0，且9m0，m1，z3i.(2)w1i.|w|.19.(12分)已知向量a(1,2)，b(3,4).(1)求ab与ab的夹角；
9、(2)若c满足c(ab)，(ca)b，求c的坐标.解(1)a(1,2)，b(3,4).ab(2,6)，ab(4，2)，(ab)(ab)20，|ab|2，|ab|2.设ab与ab的夹角为，则cos ，又0，.(2)设c(x，y)，则ca(x1，y2)，c(ab)，(ca)b，解得即c.20.(14分)在ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C，c，求ABC周长的取值范围.解由正弦定理得2，a2sin A，b2sin B，则ABC的周长为Labc2(sin Asin B)222sin.0BA，0A，A，sin1，ABC周长的取值范围是(2，2.21.(14分)设复数z12ai(aR)，
10、z243i.(1)若z1z2是实数，求z1z2；(2)若是纯虚数，求z1的共轭复数.解(1)z1z26(3a)i是实数，3a0，a3，z123i，z1z2(23i)(43i)176i.(2)是纯虚数，即a，z12i，故z1的共轭复数为2i.22.(15分)已知|a|2，|b|，(a2b)(b3a)9.(1)求a与b的夹角；(2)在ABC中，若a，b，求BC边的长度.解(1)(a2b)(b3a)3a22b25ab3222()25ab9，ab3，cos ，又0，.(2)ba，|2(ba)2b2a22ba()2222(3)13，BC边的长度为| |.23.(15分)在ABC中，已知cos B(cos A2sin A)cos C0.(1)求角C的余弦值；(2)若BC，AB边上的中线CD，求ABC的面积.解(1)在ABC中，cos Bcos(AC)，所以cos(AC)(cos A2sin A)cos C0，sin A(sin C2cos C)0，又sin A0，所以sin C2cos C，tan C2，因为C(0，)，所以0C，由三角函数的基本关系式，可得1cos2C4cos2C，解得cos C.(2)因为2，所以|2|22|cos C4|2，所以|252|42，解得|1.又sin C，所以SABCCACBsin C1.
