1、6.3.5平面向量数量积的坐标表示学习目标1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.知识点平面向量数量积的坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.则abx1x2y1y2.(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a(x2x1，y2y1)，|a|.(2)abx1x2y1y20.(3)cos .思考若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角吗？答案不一定，当cos 0，则两向量的夹角一定是锐角.()提示当两向
2、量同向共线时，cos 10，但夹角0，不是锐角.3.两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a与b的夹角为0.()4.若向量a(1,0)，b，则|a|b|.()提示|a|1，|b|，显然|a|b|.一、数量积的坐标运算例1已知a(2，1)，b(1，1)，则(a2b)(a3b)等于()A.10 B.10 C.3 D.3答案B解析a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b)(a3b)4(1)(3)210.反思感悟进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2aa.(2)(ab)(ab)|a|2|b|2.(3)
3、(ab)2|a|22ab|b|2.跟踪训练1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a等于()A.1 B.0 C.1 D.2答案C解析因为a(1，1)，b(1,2)，所以2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，则(2ab)a(1,0)(1，1)1.二、平面向量的模例2已知平面向量a(3,5)，b(2,1)，求a2b及其模的大小.解a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|.反思感悟求向量a(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方.(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来
4、求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.跟踪训练2已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|等于()A. B. C.5 D.25答案C解析a(2,1)，a25，又|ab|5，(ab)250，即a22abb250，5210b250，b225，|b|5.三、平面向量的夹角、垂直问题例3(1)已知|a|1，b(0,2)，且ab1，则向量a与b夹角的大小为()A. B. C. D.答案C解析因为|a|1，b(0,2)，且ab1，设a与b的夹角为，则cos .又因为0，则.所以向量a与b夹角的大小为.(2)设向量m(2x1,3)，向量n(1，1)，若mn，则实数x的值为()A.1 B
5、.1 C.2 D.3答案C解析因为向量m(2x1,3)，向量n(1，1)，mn，所以mn(2x1)13(1)2x130，解得x2.反思感悟解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos 直接求出cos .(2)注意事项：利用三角函数值cos 求的值时，应注意角的取值范围是0180.利用cos 判断的值时，要注意cos 0时，也有两种情况：一是是锐角，二是为0.跟踪训练3已知向量a(1,2)，b(m,1).若向量ab与a垂直，则m_.答案7解析a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3).又ab与a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.1.若向量a(x,2
6、)，b(1,3)，ab3，则x等于()A.3 B.3 C. D.答案A解析abx63，故x3.2.已知a(3,4)，b(5,12)，则a与b夹角的余弦值为()A. B. C. D.答案A解析|a|5，|b|13.ab3541263.设a与b的夹角为，所以cos .3.已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A.1 B. C.2 D.4答案C解析(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n23，|a|2.4.若平面向量a(1，2)与b的夹角是180，且|b|3，则b等于()A.(3,6) B.(3，6)C.(6，3) D.(6,3)答案A解析由题意，
7、设ba(，2)(0)，则|b|3，又0，3，故b(3,6).5.已知向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|等于()A. B. C.2 D.10答案B解析由题意可得abx11(2)x20，解得x2.再由ab(x1，1)(3，1)，可得|ab|.1.知识清单：(1)平面向量数量积的坐标表示.(2)abx1x2y1y20(a，b为非零向量).(3)cos (为非零向量a，b的夹角).2.方法归纳：化归与转化.3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.1.设向量a(2,0)，b(1,1)，则下列结论中正确的是()A.|a|b| B.ab0C.ab D.(ab)b答案D解析ab(1，1)，所
8、以(ab)b110，所以(ab)b.2.已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案B解析|a|，|b|，ab5，cos (为a，b的夹角).又a，b的夹角的范围为0，.a与b的夹角为.3.已知向量a(1,2)，b(1，m)，若ab，则m的值为()A.2 B.2 C. D.答案C解析因为向量a(1,2)，b(1，m)，ab，所以ab12m0，解得m.4.a(4,3)，b(5,6)，则3|a|24ab等于()A.23 B.57 C.63 D.83答案D解析3|a|24ab3(4)2324(4536)83.5.已知向量a(1，2)，b(x,4)，且ab，则|ab|
9、等于()A.5 B.3 C.2 D.2答案B解析因为ab，所以42x0，所以x2，ab(1，2)(2,4)(3，6)，所以|ab|3.6.已知a(1,1)，b(1,2)，则a(a2b)_.答案4解析a2b(1,5)，a(a2b)4.7.设向量a(1,0)，b(1，m).若a(mab)，则m_.答案1解析由题意得mab(m1，m)，根据向量垂直的充要条件可得1(m1)0(m)0，所以m1.8.设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.答案2解析由|ab|2|a|2|b|2，得ab0，即m20，解得m2.9.已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR).(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)ab，ab0，即1(2x3)x(x)0，解得x1或x3.(2)ab，1(x)x(2x3)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.|ab|2或2.10.已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求实数的取值范围.解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.又a，b的夹角为钝角，即0，矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
