1、2022届旧高考数学（理）开学摸底测试卷3一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则A，3，B，2，3，CD2设复数满足，则ABC1D32021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间，150内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为A650B660C680D7004某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为，其中
2、表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是，A2040年B2045年C2030年D2050年5已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的焦距为A4B6CD86三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示，则三棱锥的左视图为ABCD7A2BC1D8设，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是ABCD9如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北（即的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在北偏东（即的方向上，仰角为，则此山的高度ABCD10把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种
3、颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为ABCD11已知直三棱柱，的各顶点都在球的球面上，且，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于ABC8D12已知函数是定义域为的奇函数当时，则函数在，上的零点个数为A3B4C5D6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设函数若的图象关于原点对称，则曲线在点处的切线方程为14已知平面向量，是单位向量，且，则的最大值为15设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为16设函数（a0），若xR，|f（x）|f（0）|，则的最小值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为
4、必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列满足，（1）求证数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和18某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为的样本进行调查调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的（1）完成下面列联表若有的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量的最小值；学习兴趣高学习兴趣一般合计主动预习不太主动预习合计（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现
5、从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为，求的分布列和数学期望附：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.0763.8415.0246.6357.87910.82819如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为1的等边三角形（1）证明：；（2）若，求二面角的大小20如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点（）求椭圆的方程（）若直线交轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由21已知是自然对数的底数，函数，其中（1）当时，若，求的单调区间；（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围
6、（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点，动点满足（1）求动点的轨迹的参数方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与异于极点的交点为，与异于极点的交点为，求23已知关于的不等式的解集为（1）求的最大值；（2）若，都是正实数，且，求证：2022届旧高考数学（理）开学摸底测试卷3一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则A，3，B，2，3，CD【答案】B【解析】集合，
7、2，3，4，5，6，7，8，2，3，故选B2设复数满足，则ABC1D【答案】B【解析】因为，所以，故故选B32021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间，150内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为A650B660C680D700【答案】A【解析】由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在，分的频率为，所以学生初赛成绩大于90分的频率为，则该校获得复赛资格的人数为故选A4某新
8、晋网红一线城市鹅城人口模型近似为，其中表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是，A2040年B2045年C2030年D2050年【答案】A【解析】令，则，两边取对数得，即，过去20年或21年，表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是2040年或2041年故选A5已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的焦距为A4B6CD8【答案】B【解析】直线与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线与渐近线平行，由可知，过点，两条平行线间的距离为，解得，双曲线的焦距为6故选B6三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示，则
9、三棱锥的左视图为ABCD【答案】A【解析】如图三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，则观察可知其左视图为故选A7A2BC1D【答案】C【解析】故选C8设，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是ABCD【答案】A【解析】，解得，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，等号不能同时成立，解得，则实数的取值范围，故选A9如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北（即的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在北偏东（即的方向上，仰角为，则此山的高度ABCD【答案】B【解析】中，由正弦定理得，中，则山高为故选B10把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、
10、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为ABCD【答案】B【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为，四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为，所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为故选B11已知直三棱柱，的各顶点都在球的球面上，且，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于ABC8D【答案】B【解析】设球的半径为，球的体积为，解得，外接圆的半径，可得设球心到底面的距离为，则这个直三棱柱的体积故选B12已知函数是定义域为的奇函数当时，则函数在，上的零点个数为A3B4C5D6【答案】C【解析】解：令，即，函数为上的奇函数，则，函数
11、也是上的奇函数，故只需研究当时的零点个数即可，又当时，故在同一坐标系下，作出函数与的函数图象，如图所示，由图象可得，当时，函数与的函数图象有2个交点，则当时，函数与的函数图象也有2个交点，又也是它们的交点，故函数与的函数图象有5个交点，即函数在，上的零点个数为5个故选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设函数若的图象关于原点对称，则曲线在点处的切线方程为【答案】【解析】由题函数的图象关于原点对称，知为奇函数，可得，（1）所以切线方程为故答案为：14已知平面向量，是单位向量，且，则的最大值为【答案】【解析】由，且，建立如图所示平面直角坐标系，设，则，再设，则，其几何意义为单位圆上
12、的动点与定点间的距离则其最大值为故答案为：15设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为【答案】【解析】设，则，在中，由余弦定理得，化简可得，而，故，是等腰直角三角形，椭圆的离心率，故答案为：16设函数（a0），若xR，|f（x）|f（0）|，则的最小值为 【答案】【解析】函数 ，其中，a0，因为xR，|f（x）|f（0）|，所以f（0）为函数f（x）的最值，则有，故，所以，故. ，所以ba，a0，故，当且仅当，即a时取等号，所以的最小值为故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23
13、题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列满足，（1）求证数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）数列满足，整理得，故（常数），所以数列是以1为首项，为公差的等差数列（2）由于数列是以1为首项，为公差的等差数列所以，故所以，则：18某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为的样本进行调查调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的（1）完成下面列联表若有的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量的最小值；学习兴趣高学习兴趣一般合计
14、主动预习不太主动预习合计（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为，求的分布列和数学期望附：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.0763.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）270；（2）分布列见解析；.【解析】（1）列联表如下：学习兴趣高学习兴趣一般合计主动预习不太主动预习合计则，因为有的把握认为主动预习与学习兴趣有关，所以，解得，结合题意，正整数是15的倍数，所以的最小值为270；（2）由（1）可知
15、，“学习兴趣一般”的学生中，“主动预习”与“不太主动预习”的学生人数之比为，因此用分层抽样的方法，从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中，“不太主动预习”的人数为2，所以，2，所以，所以的分布列为：012则19如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为1的等边三角形（1）证明：；（2）若，求二面角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：是边长为1的等边三角形，是的中点，即是等腰三角形，从而，即平面，且平面，又，平面，平面，平面，平面，（2）解：连接，以为原点，、所在的直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，设平面的法向量为，则，即，令，则，3，由（1）知，平面的
16、一个法向量为，由图可知，二面角为锐角，故二面角的大小为20如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点（）求椭圆的方程（）若直线交轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由【答案】（1）；（2）.【解析】（）设椭圆的半焦距为，则有，解得，所以椭圆的方程为；（）由（）知，由条件得直线的斜率必存在，设方程为，又，设，则由，解得，所以，因为，则有，所以，同理可得，所以，即是定值21已知是自然对数的底数，函数，其中（1）当时，若，求的单调区间；（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】（
17、1）当时，令，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增（1）在上单调递增（2），的零点，令，可得，设，令，得，且，当时，单调递增且，；当时，单调递减且；当时，单调递增且，作图的大致图象，如图所示，由图象可知，当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点，的取值范围是（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点，动点满足（1）求动点的轨迹的参数方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与异于极点的交点为，与异于极点的交点为，求【答案】（1
18、）为参数）；（2）2.【解析】（1）设，由，得，又的上，为参数），将代入得为参数），即为的参数方程（2）解法一：的参数方程化为普通方程为，对应的极坐标方程为，的参数方程化为普通方程为，对应的极坐标方程为，当时，解法二：的参数方程化为普通方程为，的参数方程化为普通方程为，又射线化为普通方程为，联立与射线方程解得点直角坐标为，联立与射线方程解得点直角坐标为23已知关于的不等式的解集为（1）求的最大值；（2）若，都是正实数，且，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：当时，不等式恒成立，解集为，满足题意；当时，时，由不等式的解集为，可得，解得：；时，不等式，即为，解得或，不满足题意；时，由不等式的解集为，可得，解得：，与矛盾；综上所述，的最大值为（2）证明：，由柯西不等式得：，整理得，当且仅当，即，时取等号
