1、试卷第 1 页，总 2 页零点问题学 校:_ 姓 名：_ 班 级：_ 考 号：_一、解 答 题1 已 知 函 数 3 2113f x x a x x（1）若 3 a，求 f x 的 单 调 区 间；（2）证 明：f x 只 有 一 个 零 点 2 已 知 函 数 lnxf x x e a x x，a R.（1）当a e 时，求 f x 的 单 调 区 间；（2）若 f x 有 两 个 零 点，求 实 数a的 取 值 范 围.3 已 知 函 数 2xf x e x 1 求 曲 线 y f x 在 点 0,0 f 处 的 切 线 方 程;2 若 函 数 g x f x a，1,1 x 恰 有 2
2、个 零 点，求 实 数 a 的 取 值 范 围4 已 知 函 数21()1n2f x x x a x，a R.(1)若 函 数()f x在 定 义 域 内 单 调 递 增，求 实 数a的 取 值 范 围；(2)证 明:方 程()0 f x 有 且 只 有 一 个 实 数 根.5 已 知 函 数3()ln()f x x a x a R.（1）讨 论 函 数()f x的 单 调 性；（2）若 函 数()y f x 在 区 间(1,e 上 存 在 两 个 不 同 零 点，求 实 数a的 取 值 范 围.6 已 知 函 数 1ln f x x a Ra x 在 1 x 处 的 切 线 与 直 线2 1
3、 0 x y 平 行(1)求 实 数a的 值，并 判 断 函 数 f x 的 单 调 性；(2)若 函 数 f x m 有 两 个 零 点1x，2x，且1 2x x，求 证：1 21 x x 7 已 知 函 数2()ln 3 1 f x x x ax.（1）讨 论 函 数()f x的 单 调 性；试卷第 2 页，总 2 页（2）当 1 a 时，讨 论 函 数()f x的 零 点 个 数.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 10 页参 考 答 案1（1）f（x）在（，3 2 3），（3 2 3，+）单 调 递 增，在（3 2 3，3 2 3）单 调 递 减（2
4、）见 解 析.【解 析】分 析：（1）将 3 a 代 入，求 导 得2()6 3 f x x x，令()0 f x 求 得 增 区 间，令()0 f x 求 得 减 区 间；（2）令3 21()(1)03f x x a x x，即323 01xax x，则 将 问 题 转 化为 函 数32()31xg x ax x 只 有 一 个 零 点 问 题，研 究 函 数()g x 单 调 性 可 得.详 解：（1）当 a=3 时，f（x）=3 213 3 33x x x，f（x）=26 3 x x 令 f（x）=0 解 得 x=3 2 3 或 x=3 2 3 当 x（，3 2 3）（3 2 3，+）时
5、，f（x）0；当 x（3 2 3，3 2 3）时，f（x）0 故 f（x）在（，3 2 3），（3 2 3，+）单 调 递 增，在（3 2 3，3 2 3）单 调递 减（2）由 于21 0 x x，所 以 0 f x 等 价 于323 01xax x 设 g x=3231xax x，则 g（x）=2 2222 31x x xx x 0，仅 当 x=0 时 g（x）=0，所 以g（x）在（，+）单 调 递 增 故 g（x）至 多 有 一 个 零 点，从 而 f（x）至 多 有 一 个 零 点 又 f（3 a1）=221 1 16 2 6 03 6 6a a a，f（3 a+1）=103，故 f（
6、x）有 一 个零 点 综 上，f（x）只 有 一 个 零 点 点 睛：（1）用 导 数 求 函 数 单 调 区 间 的 步 骤 如 下：确 定 函 数()f x的 定 义 域；求 导 数()f x；由()0 f x（或()0 f x）解 出 相 应 的x的 取 值 范 围，当()0 f x 时，()f x在 相 应 区本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，总 10 页间 上 是 增 函 数；当()0 f x 时，()f x在 相 应 区 间 上 是 减 增 函 数.（2）本 题 第 二 问 重 在 考 查 零 点 存 在 性 问 题，解 题 的 关 键 在 于 将
7、 问 题 转 化 为 求 证 函 数()g x 有唯 一 零 点，可 先 证 明 其 单 调，再 结 合 零 点 存 在 性 定 理 进 行 论 证.2（1）见 解 析；（2）(,)e【解 析】【分 析】（1）求 出 函 数 的 导 数，解 关 于 导 函 数 的 不 等 式，求 出 函 数 的 单 调 区 间 即 可；（2）记 t=lnx+x，通 过 讨 论 a 的 范 围，结 合 函 数 的 单 调 性 以 及 函 数 的 零 点 的 个 数 判 断 a 的 范围 即 可【详 解】（1）定 义 域 为：0,，当a e 时，1xx x e ef xx.f x 在 0,1 时 为 减 函 数；
8、在 1,时 为 增 函 数.（2）记 ln t x x，则 ln t x x 在 0,上 单 增，且 t R.lnxf x x e a x x te a t g t.f x 在 0 x 上 有 两 个 零 点 等 价 于 tg t e a t 在 t R 上 有 两 个 零点.在 0 a 时，tg t e 在 R 上 单 增，且 0 g t，故 g t 无 零 点；在 0 a 时，tg t e a 在 R 上 单 增，又 0 1 0 g，111 0ag ea，故 g t 在 R 上 只 有 一个 零 点；在 0 a 时，由 0tg t e a 可 知 g t 在 ln t a 时 有 唯 一
9、的 一 个 极 小 值 ln 1 ln g a a a.若 0 a e，1 ln 0 g a a 最 小，g t 无 零 点；若a e，0 g 最 小，g t 只 有 一 个零 点；若a e 时，1 ln 0 g a a 最 小，而 0 1 0 g，由 于 ln xf xx 在x e 时本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3 页，总 10 页为 减 函 数，可 知：a e 时，2 a ee a a.从 而 20ag a e a，g x 在 0,ln a 和 ln,a 上 各 有 一 个 零 点.综 上 讨 论 可 知：a e 时 f x 有 两 个 零 点，即 所 求a
10、的 取 值 范围 是,e.【点 睛】已 知 函 数 有 零 点 求 参 数 取 值 范 围 常 用 的 方 法 和 思 路(1)直 接 法：直 接 根 据 题 设 条 件 构 建 关 于 参 数 的 不 等 式，再 通 过 解 不 等 式 确 定 参 数 范 围；(2)分 离 参 数 法：先 将 参 数 分 离，转 化 成 求 函 数 值 域 问 题 加 以 解 决；(3)数 形 结 合 法：先 对 解 析 式 变 形，在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中，画 出 函 数 的 图 象，然 后 数 形结 合 求 解 3(1)x+y-1=0.(2)2 2ln 2 2 a e.【解 析】【分
11、析】(1)求 得 f（x）的 导 数，可 得 切 线 的 斜 率 和 切 点，即 可 得 到 所 求 切 线 方 程；(2)函 数,1,1 g x f x a x 恰 有 2 个 零 点 转 化 为 两 个 图 象 的 交 点 个 数 问 题，数 形结 合 解 题 即 可.【详 解】（1）因 为 e 2xf x x，所 以 e 2xf x.所 以 0 1.f 又 0 1,f 所 以 曲 线 y f x 在 点 0,0 f 处 的 切 线 方 程 为 1,y x 即 1 0 x y.（5 分）（2）由 题 意 得，e 2xg x x a，所 以 e 2xg x.由 e 2 0 xg x，解 得
12、ln2 x，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4 页，总 10 页故 当 1 ln2 x 时，0 g x，g x 在 1,ln2 上 单 调 递 减；当 ln2 1 x 时，0 g x，g x 在 ln2,1 上 单 调 递 增.所 以 minln2 2 2ln2 g x g a.又 11 e+2 g a，1 e 2 g a，若 函 数 恰 有 两 个 零 点，则 11 e 2 0,1 e 2 0,ln2 2 2 2 0,g ag ag l n a 解 得 2 2ln2 e 2 a.所 以 实 数a的 取 值 范 围 为 2 2ln2,e 2.【点 睛】本 题 考 查
13、 函 数 零 点 问 题.函 数 零 点 问 题 有 两 种 解 决 方 法，一 个 是 利 用 二 分 法 求 解，另 一 个 是化 原 函 数 为 两 个 函 数，利 用 两 个 函 数 的 交 点 来 求 解.4(1)(,4 2(2)见 解 析【解 析】【分 析】（1）依 题 意,得 1 12 02f x x ax 恒 成 立,即24 a xx 在 区 间 0,内 恒 成 立；（2）方 程 0 f x 有 且 只 有 一 个 实 数 根 即 证 明 函 数 1n xg x xx 的 图 象 与 直 线12y a 有 且 只 有 一 个 交 点.令 1nxg x xx，研 究 其 图 象
14、变 化 趋 势 即 可.【详 解】(1)由 题 得,函 数 f x 的 定 义 域 为 0,由 211n2f x x x a x，得 1 122f x x ax，依 题 意,得 1 12 02f x x ax 恒 成 立,所 以24 a xx 在 区 间 0,内 恒 成 立,本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5 页，总 10 页所 以min24 a xx.而24 2 xx 24 4 2 xx,当 且 仅 当24 xx,即22x 时，等 号 成 立，故min24 4 2 a xx，因 此 实 数a的 取 值 范 围 为,4 2.(2)令 0 f x,即211n 02x
15、x a x,即1 1n2xax 0,x x，也 就 是 证 明 函 数 1n xg x xx 的 图 象 与 直 线12y a 有 且 只 有 一 个 交 点.由 1n xg x xx，得 21 1n xg xx 221n 11x xx 记 2x x 1n 1(0)x x,所 以 12 x xx 22 1(0)xxx令 20 2 x x 21 02x，当20,2x 时,0 x,x 在 区 间20,2 内 单 调 递 减;当2,2x 时,0 x,x 在 区 间2,2 内 单 调 递 增，所 以 当22x 时,x 有 有 极 小 值2 12 2 21n 1 02，故 0 g x，本卷由系统自动生成
16、，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 10 页因 此 1n xg x xx 在 区 间 0,内 单 调 递 增，又 因 为 当 0,x,且 0 x 时,g x,当 x 时,g x,因 此 函 数 1n xg x xx 的 图 象 与 直 线12y a 有 且 只 有 一 个 交 点,故 方 程 0 f x 有 且 只 有 一 个 实 数 根.【点 睛】已 知 函 数 有 零 点 求 参 数 取 值 范 围 常 用 的 方 法 和 思 路(1)直 接 法：直 接 根 据 题 设 条 件 构 建 关 于 参 数 的 不 等 式，再 通 过 解 不 等 式 确 定 参 数 范 围；(
17、2)分 离 参 数 法：先 将 参 数 分 离，转 化 成 求 函 数 值 域 问 题 加 以 解 决；(3)数 形 结 合 法：先 对 解 析 式 变 形，在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中，画 出 函 数 的 图 象，然 后 数 形结 合 求 解 5(1)答 案 见 解 析；(2)3(3,e e.【解 析】试 题 分 析：（1）先 求 导 数，再 根 据 a 讨 论 导 函 数 零 点，根 据 导 函 数 零 点 情 况 讨 论 导 函 数 符 号，根 据 导 函 数 符 号 确 定 函 数 单 调 性，（2）先 分 离3lnxax，再 利 用 导 数 研 究 函 数 3lnxg
18、xx 单调 性，最 后 根 据 图 像 确 定 存 在 两 个 不 同 零 点 的 条 件，解 对 应 不 等 式 得 实 数a的 取 值 范 围.试 题 解 析：（1）323 3(0)a x af x x xx x 若 0 a 时，0 f x，此 时 函 数 在 0,上 单 调 递 增；若 0 a 时，又 33 0 x af xx 得：33ax 30,3ax 时 0 f x，此 时 函 数 在30,3a 上 单 调 递 减；当3,3ax 时 0 f x，此 时 函 数 在3,3a 上 单 调 递 增；（2）由 题 意 知：3lnxax 在 区 间 1,e 上 有 两 个 不 同 实 数 解，
19、本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7 页，总 10 页即 函 数y a 图 像 与 函 数 3lnxg xx 图 像 有 两 个 不 同 的 交 点，因 为 223ln 1lnx xg xx，令 0 g x 得：3x e 所 以 当 31,x e 时，0 g x，函 数 在 31,e 上 单 调 递 减当3,x e e时，0 g x，函 数 在3,e e上 单 调 递 增；则 3min3 g x g e e，而31 12727 912727 27lneg e ee，且 327 g e e，要 使 函 数y a 图 像 与 函 数 3lnxg xx 图 像 有 两 个
20、不 同 的 交 点，所 以a的 取 值 范 围 为 33,e e.点 睛：利 用 函 数 零 点 的 情 况 求 参 数 值 或 取 值 范 围 的 方 法(1)利 用 零 点 存 在 的 判 定 定 理 构 建 不 等 式 求 解.(2)分 离 参 数 后 转 化 为 函 数 的 值 域(最 值)问 题 求 解.(3)转 化 为 两 熟 悉 的 函 数 图 象 的 上、下 关 系 问 题，从 而 构 建 不 等 式 求 解.6（1）()f x在10,2 上 是 单 调 递 减；在1,2 上 是 单 调 递 增.（2）详 见 解 析【解 析】【分 析】（1）由 1 12f 可 得 2 a，利
21、用 导 数 可 求 f x 的 单 调 区 间.（2）由1 21 21 1ln,ln2 2x m x mx x 可 得1211212lnxxxxx，2121212lnxxxxx，令12xtx，则 0,1 t 且1 21+=2lnttx xt，构 建 新 函 数 12ln 0 1 h t t t tt，利 用 导 数 可 以 证 明 1 h t 即1 21 x x.【详 解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 8 页，总 10 页（1）函 数 f x 的 定 义 域：0,，1 11 12fa，解 得 2 a，1ln2f x xx，2 21 1 2 12 2xf xx x
22、x 令 0 f x，解 得102x，故 f x 在10,2 上 是 单 调 递 减；令 0 f x，解 得12x，故 f x 在1,2 上 是 单 调 递 增.（2）由1 2,x x 为 函 数 f x m 的 两 个 零 点，得1 21 21 1ln,ln2 2x m x mx x 两 式 相 减，可 得1 21 21 1ln ln 02 2x xx x 即1 1 22 1 2ln2x x xx x x，1 21 2122lnx xx xxx，因 此1211212lnxxxxx，2121212lnxxxxx令12xtx，由1 2x x，得 0 1 t.则1 21 111+=2ln 2ln 2
23、lnttt tx xt t t，构 造 函 数 12ln 0 1 h t t t tt，则 22 211 21 0th tt t t 所 以 函 数 h t 在 0,1 上 单 调 递 增，故 1 h t h，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 9 页，总 10 页即12ln 0 t tt，可 知112lnttt.故 命 题1 21 x x 得 证.【点 睛】（1）一 般 地，若 f x 在 区 间,a b 上 可 导，且 0 0 f x f x，则 f x 在,a b上 为 单 调 增（减）函 数；反 之，若 f x 在 区 间,a b 上 可 导 且 为 单 调 增
24、（减）函 数，则 0 0 f x f x（2）函 数 f x 有 两 个 不 同 的 零 点1 2,x x，考 虑 它 们 的 和 或 积 的 性 质 时，我 们 可 以 通 过 设12xtx，再 利 用 1 20,0 f x f x 得 到1 2x x、1 2x x 与 t 的 关 系 式，最 后 利 用 导 数 证 明所 考 虑 的 性 质 成 立 7(1)见 解 析；(2)见 解 析【解 析】【分 析】（1）讨 论 a 的 范 围，得 出 f（x）0 和 f（x）0 的 解 集，得 出 f（x）的 单 调 性；（2）求出 f（x）的 极 大 值，判 断 极 大 值 小 于 0，根 据 f
25、（x）的 单 调 性 得 出 f（x）的 零 点 个 数【详 解】（1）21 2 3 1()2 3(0)x a xf x x a xx x，令2()2 3 1 u x x a x，其 对 称 轴 为034ax，令22 3 1 0 x a x，则29 8 a.当 0 a 时，()0 f x，所 以()f x在(0,)上 单 调 递 增；当 0 a 时，对 称 轴 为0304ax，若29 8 0 a，即2 203a，()0 u x 恒 成 立，所 以()0 f x，所 以()f x在(0,)上 单 调 递 增；若2 23a 时，设()0 u x 的 两 根213 9 84a ax，223 9 84
26、a ax，当1(0,)x x 时，()0 u x，所 以()0 f x，所 以()f x在1(0,)x 上 单 调 递 增，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10 页，总 10 页当1 2(,)x x x 时，()0 u x，所 以()0 f x，所 以()f x在1 2(,)x x 上 单 调 递 减，当2(,)x x 时，()0 u x，所 以()0 f x，所 以()f x在2(,)x 上 单 调 递 增，综 上 所 述：当2 23a 时，()f x在(0,)上 单 调 递 增；若2 23a 时，()f x在1(0,)x 上 单 调 递 增，在1 2(,)x x
27、 上 单 调 递 减，在2(,)x 上 单 调递 增；（2）当 1 a 时，由（1）知()f x在1(0,)x 上 单 调 递 增，在1 2(,)x x 上 单 调 递 减，在2(,)x 上 单 调 递 增，下 面 研 究()f x的 极 大 值21 1 1 1()ln 3 1 f x x x a x，又21 12 3 1 0 x ax，所 以2 2 21 1 1 1 1 1 1()ln 2 3 1 ln f x x x ax x x x，令2()ln g x x x，则21 2()xg xx（0 x），可 得()g x 在2(0,)2上 单 调 递 增，在2(,)2 上 单 调 递 减，且(
28、)g x 的 极 大 值2 2 1()ln 02 2 2g，所 以()0 g x，所 以1()0 f x，当1(0,)x x 时，()f x单 调 递 增，所 以1()()0 f x f x 当1 2(,)x x x 时，()f x在1 2(,)x x 上 单 调 递 减，所 以2 1()()()0 f x f x f x 当2(,)x x 时，()f x单 调 递 增，且2 2 2(4)ln(4)16 12 1 ln(4)4 1(1)f a a a a a a a，2()(4)0 f x f a，所 以 存 在2(,4)x x a，使 得()0 f x，又 当2(,)x x 时，()f x单 调 递 增，所 以()f x只 有 一 个 零 点 x，综 上 所 述，当 1 a 时，()f x在(0,)上 只 有 一 个 零 点.【点 睛】本 题 考 查 了 导 数 与 函 数 单 调 性 的 关 系，函 数 极 值、单 调 性 与 函 数 零 点 的 个 数 判 断，属 于 难 题
