1、高中数学 向量与三角综合题选1将函数 y=f(x)cosx 的图象按向量 a=（ ，1）平移，得到函数 y=2sin2x 的图象那么函4数f(x)可以是 （ D ）Acosx B 2cosx Csin x D2sinx2已知 ， （ ） ，且a)sin(co，b)sin(co， 0| |=| |（ ） ，则 b023已知向量 求且 ,),2si,(c),23si,(c xxx ;|a及若 3()| ,fxb的 最 小 值 是 求 的 值 .解：（1） xx2cosin2sico23sxxxba 2coscs)i3(i)(| xbaxcos2|,0cos,20（2） 221)()4)( fxf即
2、.1cs,x当 时，当县仅当 时， 取得最小值1，这与已知矛盾；00ox)(xf当 时， 取得最小值 ，由已知得cs,当 且 仅 当时 21；21321解 得当 时， 取得最小值 ，由已知得cos,x当 且 仅 当时)(f4342解得 ，这与 相矛盾，综上所述， 为所求。851214平面直角坐标系内有点 P .4,),(cos),( xQx（）求向量 的夹角 的余弦用 x 表示的函数 ；O和 )(xf（）求 的最小值.)(xf解：（） )(cos12|cos,1|,cos22 xfOQPxOQPxOP （） cos1cos)(2xf ,4.32)(,3,1cos2 minffx5设 ， ，)i
3、n,(a(b ),0(),1(， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，求 的),1c2624sin值 （本题 12 分）解：)2cos(2sini2|coscso2|csin|2| ),2(),0()2,(),0( cosinscosiin ),(),co2(2 11 cbcabba故21)6sin(4si326260212又6已知函数 、b 为常数，且 ）的axbxaxf (sincosi2 0a图象过点（ ） ，且函数 的最大值为 2.3,0)(f（1）求函数 的解析式，并写出其单调递增区间；)(xfy（2）若函数 的图象按向量 作移动距离最小的平移后，使所得的图象)0,(mp关于 y
4、 轴对称，求出向量 的坐标及平移后的图象对应的函数解析式解：（1） ,2cossin)(xbaxf1,30 aa解 得又 有得所以函数 的解析式是 )(xfy )32sin(co3sin)( xxxf的单调递增区间是 )(xf )(12,5Zkk（2）平移后的图象对应的函数解析式是 simxy图象关于 y 轴对称，即 为偶函数，)3sin(2xy)3sin( mx恒成立Rxx对即 )si(2)(,2)( Zkx，15,34kmkm,21ink时当故 ，图象对应的函数解析式为 p)0,2( xxy2cos)2sin(7已知二次函数 对任意 ，都有 成立，设向量xfR1)(ff（sin x，2）
5、， （2sinx， ） ， （cos2 x，1） ， （1，2） ，当 0， 时，求ab21cdx不等式 f（ ）f（ ）的解集dc解析：设 f（x）的二次项系数为 m，其图象上两点为（1-x， ） 、B（1x， ）因为y2y， ，所以 ，由 x 的任意性得 f（x）的图象12)(1)()(ff21关于直线 x1 对称，若 m0，则 x1 时，f（x ）是增函数，若 m0，则 x1 时，f（x）是减函数 ， ， ， ， ，(sinbasi2()sin)22(cosd()，2cos 当 时，0m )12(cos)1sin2()()( xfxfffdcba1sin2x 0csx0coscos12s
6、coxx 2k， 3kxZ ， 043x当 时，同理可得 或 m0x综上： 的解集是当 时，为 ；)()(dcbaff 0m43|x当 时，为 ，或 04|x3x8平面直角坐标系有点 ,4),1(cos),1( QP（1）求向量 的夹角 的余弦用 x 表示的函数 f(x);O和（2）求 的最值.解：（1） cos|P4,cos12)(,cos12cs1|s 22xxf xxOQ（2） )(12)(,cs tgtft 则则0,32arcos,4 ,32arcos,0,1cos32)2()(,)(1,12,0)(,()() minmx inxminmax 时当时当 故又 上 是 增 函 数在处 连
7、 续及在又 时显 然又 xgtgt tttttg9如图：已知OFQ 的面积为 ，且 ，6FQO（1）若 时，求向量 与 的夹角 的取值范围；64mOFQ（2）设 ， 时，若以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点cOF| 2)1(cQ，当 取得最小值时，求此双曲线的方程|（1） 由已知，得 所以 ，因为， ，mFQOcos| 62)in(|21 m64tan，所以 ，则 （2）以 O 为原点，64m4ta1rct所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为 ，F 12byax（a0，b0） ，Q 点的坐标为（ ， ） ，则 （ ， ） ，因为1xyFQc11OFQ 的面积 ，所以 ，
8、又由 （c，0） （62|11yOFc641O， ） ，所以 ，cx11y2)4()(cxx1，当且仅当 c4 时， 最小，此时 Q 的8396| 221OQ|O坐标为（ ， ） ，由此可得 解之得 故所求的方程为，162ba，12ba124yx10 已知向量 ， ，且3cos,in)2xa（ cos,in)2xb（ ,2x(1) 求 及 ；b|(2)求函数 的最大值，并求使 函数 取得最大值的 x 的值。()fxab|解（1） 3cos23sin2xcos2x|ab2(c)(iin) 332(cossi)22xx 2| | ,2x 2|abcosx（2） 2()fx|cosx 1 23(cs
9、) ,2x1 0 1 3cos()fx当 1 时 3，此时 （ ） 。xmaf,2x11已知向量 ， ， ， ，且 与 之间有关系式：(csa)in(cosb)inab，其中 k0|3| bbak（1）试用 k 表示 ；（2）求 的最小值，并求此时 与 的夹角 的值ab（1）因为 ，所以 ，|3| kbak 22|3| bka2)(， ，2)(3263kab 38ak， （2）由（1）21bkka81)()(2k42b，当且仅当 ，即 时取等号此时，214142 kk k41ba， ， ，所以 的最小值为 ，此时 与 的夹角2cos|bacs3ba21为312已知向量 ， ，又二次函数1(si
10、n,)(sin,)2xbx(cos,1)(,)xd的开口向上，其对称轴为 ，当 时，求使不等式 成()fx 0,()fabfcd立的 的范围。依题意有，当 x1 时，f（x）是增函数 21(sin,2)(si,)sin1abxco,cod 2()()(si)(cos2)ffdfxfx2sin1c1cos20x x0x 即为所求 3413已知 =（sinA,cosA), =(cosC,sinC),若 =sin2B, , 的夹角为a b 3a b a b ，且 A、B、C 为三角形 ABC 的内角。求（1）B （2）cos 2解：(1)由 =sin2B 得3a b sinAcosC+cosAsin
11、C=2sinBcosB 3所以 sin(A+C)=2sinBcosB3又在ABC 中，AC-B,sin(A+C)0所以 sinB=2sinBcosB3即：cosB= ,所以 B 32 6(2)cos = sin(A+C)sinAcosC+cosAsinC11在ABC 中，B ,A+C= 6 56cos=sin =56 12cos 2 = = = 21+cos2 1+122 340，cos = 2 3214 已知平面向量 ， ，若存在非零实数 和角 ，(,1)a3(,)2bk，使得 ， ，且 。(,)23tnctandkbcd若 时，求 的值；4k若 在 上变化时，求 的极大值。(,)k解： 1
12、3,(,)02ab从而 tntancdbkb22|(tan3)t|kb 24a(3)0k则 而 于是1t,412k令 ，则 ，求导有：anx31()kx2(3)4k 在 时， ， 或 时，1x(0kx1x()0kx在 时， 取极大值，) 31()42k因此 的极大值为k1215. 已知向量 ，求,0),sin,2(co),3sin,(co xxbxa且 ；|b及若 的最小值是 ，求实数 的值；|2)(xf3解：ab= ,2cosinsico3s xx| a+b|= ，xxx 22 coscs)i3(i)( ， | a+b|=2cosx.2,0x,0cosx 即4)(f .21)(cos2)f ， ,x.1csx时，当且仅当 取得最小值1，这与已知矛盾.01当 )(,0of时时，当且仅当 取最小值当 csx时.21由已知得 ，解得23.时，当且仅当 取得最小值1当 )(,1cosxf时 ,4由已知得 ，解得 ，这与 相矛盾.4851综上所述， 为所求.216.已知在三角形 ABC 中，A、B、C 成等差数列，| |=2 ，AC34B（1）求三角形 ABC 的面积；（2）求三角形 ABC 的周长。
