1、4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：1. 辛空间 中一定能找到一组基 满足),(fV nn,2121,),(ifi.0,0, jjnji这样的基称为 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.),(fV2任一 级非退化反对称矩阵 可把一个数域 上 维空间 化成一个nKPn2V辛空间，且使 为 的某基 下度量矩阵.又此辛空间在Kn,2121某辛正交基 下的度量矩阵为n,21, (1)nOEJ2故 合同于 .即任一 级非退化反对称矩阵皆合同于 .KJn2J两个辛空间 及 ，若有 到 的作为线性空间的同构 ，它),(1fV),(2f1V2满足,)(),(21Kvufvf则称 是 到 的
2、辛同构.),(1fV),(2到 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把 的一12 ),(1fV组辛正交基变成 的辛正交基.),(f两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.辛空间 到自身的，辛同构称为 上的辛变换.取定 的一组辛),(fV),(fV),(fV正交基 ， 上的一个线性变换 ，在该基下的矩阵为nn,2121，K,DCBAK其中 皆为 方阵.则 是辛变换当且仅当 ，亦即当且仅当DCBA,nJK下列条件成立： EBCDABDAC ,且易证 ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.0|K设 是辛空间， ,满足 ，则称 为辛正交的.),(fVVvu, 0),(vufvu,是 的子
3、空间，令W. (2)WwfW,),(|显然是 的子空间，称为 的辛正交补空间.V定理 7 是辛空间， 是 的子空间，则),(fV.dimidi定义 9 为辛空间， 为 的子空间.若 ，则称 为 的),(fVWW),(fV迷向子空间；若 ，即 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若 ，则 称 为 的辛了空间.0),(fV例如，设 是 的辛正交基，则nn,2121 ),(f是迷向子空间. 是极大迷向子空间，即拉格朗日子),(21kL (L空间 是辛子空间.),21k对辛空间 的子空间 .通过验证，并利用定理 7，可得下列性质：)(fVWU(1) ,W(2) ,U(3) 若
4、是辛子空间，则 UV(4) 若 是迷向子空间 ,则 dim21i(5) 若 是拉格朗日子空间，则 V定理 8 设 是辛空间 的拉格朗日子空间， 是 的基，则L),(fVn,21 L它可扩充为 的辛正交基.),(f推论 设 是 的迷向子空间， 是 的基，则它可扩充成W),(fVk,21 L的辛正交基.),(fV对于辛子空间 ， 也是非退化的.同样 也非退化.由定理 7 还有Uf| Uf|.定理 9 辛空间 的辛子空间 的一组辛正交基可扩充成),(fV)|,(f的辛正交基),(fV定理 10 令 为辛空间， 和 是两个拉格朗日子空间或两个同维数),(fUW的辛子空间，则有 的辛变换把 变成 .V辛
5、空间 的两个子空间 及 之间的（线性）同构 若满足),(f VvuKvfvuf ,)(),(则称 为 与 间的等距.VWWitt 定理 辛空间 的两个子空间 , 之间若有等距，则此等距可扩),(fW充成 的一个辛变换.),(f下面是辛变换的特征值的一些性质.是辛空间 上的辛变换，则 的行列式为 1.),(fV取定 的辛正交基 .设 在基下矩阵为 ，,f nn,2121 K这时有 .JK定理 11 设 是 维辛空间中的辛变换， 是 在某辛正交基下的矩阵.nK则它的特征多项式 满足 .若设|)(KEf)1()(2ffn,nnnaa212120 则 .niani ,10,2由定理 11 可知，辛变换 的特征多项式 的（复）根 与 是同时出)(f1现的，且具有相同的重数.它在 中的特征值也如此.又 等于 的所有P|K)(f（复）根的积，而 .故特征值 的重数为偶数.又不等于 的复根的重数1|K11的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为 的重数也为偶数.定理 12 设 是数域 上辛空间 上辛变换 在 中的特征值，且ji,P),(fVP.设 , 分别是 中对应于特征值 及 的特征子空间.则1jiiVj ij，有 ，即 与 是辛正交的.特别地，当 时jivu0),(vufij 1i是迷向子空间.i
