1、- 1 -2017 年山东省淄博市高考数学打靶试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若 ，则 a=（ ）A5 B5 C5i D5i2已知集合 A=x|x2x0，B=x|xa，若 AB=A，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1 B （，1） C B （，2 C上随机选取两个数 x 和 y，则满足 2xy0 的概率为 12观察下列各式：1 3=1，1 3+23=32，1 3+23+33=62，1 3+23+33+43=102，由此推得：13+23+33+n3= 136 个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有 2
2、 人，则不同的站法种数为 14已知 ，若 f（a）+f（b）=0，则 的最小值是 15设双曲线 的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A 2，过 F 做x 轴的垂线交双曲线于 B，C 两点，若 A1BA 2C，则双曲线的离心率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分16如图，在ABC 中，M 是边 BC 的中点，cosBAM= ，tanAMC= （）求角 B 的大小；（）若角BAC= ，BC 边上的中线 AM 的长为 ，求ABC 的面积17如图，已知三棱锥 OABC 的三条侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，ABC 为等边三角形，M为ABC 内部一点，点 P 在 OM 的延长线上，且
3、PA=PB（）证明：OA=OB；（）证明：ABOP；- 2 -（）若 AP：PO：OC= ：1，求二面角 POAB 的余弦值18在标有“甲”的袋中有 4 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外完全相同（）若从袋中依次取出 3 个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（）现从甲袋中取出个 2 红球，1 个白球，装入标有“乙”的空袋若从甲袋中任取 2 球，乙袋中任取 1 球，记取出的红球的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望 EX19已知数列a n和b n满足 （nN*） 若a n是各项为正数的等比数列，且 a1=4，b 3=b2+6（）求 an与 bn；（）设 cn= ，记数列
4、c n的前 n 项和为 Sn求 Sn；求正整数 k使得对任意 nN*，均有 SkS n20已知抛物线 C：y 2=4x，点 M 与抛物线 C 的焦点 F 关于原点对称，过点 M 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于不同两点 A，B，线段 AB 的中点为 P，直线 PF 与抛物线 C 交于两点E，D（）判断是否存在实数 k 使得四边形 AEBD 为平行四边形若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（）求 的取值范围- 3 -21已知 R，函数 f（x）=e xxlnx（e=2.71828是自然对数的底数） （）若 f（1）=0，证明：曲线 y=f（x）没有经过点 的切线；（）若函数
5、f（x）在其定义域上不单调，求 的取值范围；（）是否存在正整数 n，当 时，函数 f（x）的图象在 x 轴的上方，若存在，求 n 的值；若不存在，说明理由- 4 -2017 年山东省淄博市高考数学打靶试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若 ，则 a=（ ）A5 B5 C5i D5i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求解【解答】解： ， ，解得 a=5故选：B2已知集合 A=x|x2x0，B=x|xa，若 AB=A，则
6、实数 a 的取值范围是（ ）A （，1 B （，1） C 故选：B10已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x）=2x 2f（x） 当 x（，0）时，f（x）2x；若 f（m+2）f（m）4m+4，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，1 B （，2 C上随机选取两个数 x 和 y，则满足 2xy0 的概率为 【考点】CF：几何概型【分析】写出实数对（x，y）所满足的约束条件，作出可行域，由面积比得答案【解答】解：由题意可得实数 x，y 满足 ，- 5 -满足约束条件 的平面区域如图：则满足 2xy0 的概率为 P= 故答案为： 12观察下列各式：1 3=1，1 3+23=32
7、，1 3+23+33=62，1 3+23+33+43=102，由此推得：13+23+33+n3= 【考点】F1：归纳推理【分析】根据题意，分析题干所给的等式可得：1 3+23=（1+2） 2=32，1 3+23+33=（1+2+3） 2 =62，1 3+23+33+43=（1+2+3+4） 2 =102，进而可得答案【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2） 2=32，13+23+33=（1+2+3） 2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4） 2 =102，则 13+23+33+43+n3=（1+2+3+4+n） 2 = 2= ，故答案为： 136 个人
8、站成一排，若甲、乙两人之间恰有 2 人，则不同的站法种数为 144 【考点】D8：排列、组合的实际应用- 6 -【分析】根据题意，分 3 步进行分析：、将甲乙 2 人排成一列，考虑甲乙之间的顺序，、在其他 4 人中任选 2 人，安排在甲乙之间，、将 4 人看成一个整体，与剩余 2 人全排列，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析：、将甲乙 2 人排成一列，考虑甲乙之间的顺序，有 A22=2 种情况，、在其他 4 人中任选 2 人，安排在甲乙之间，有 C42A22=12 种情况，、将 4 人看成一个整体，与剩余 2 人全排列，有 A33=6
9、种情况，则 6 人有 2126=144 种不同的站法；故答案为：14414已知 ，若 f（a）+f（b）=0，则 的最小值是 【考点】7F：基本不等式【分析】 ，f（a）+f（b）=0，可得 +=0，化为 a+b=2 （a，b（0，2） ） ，可得 = ，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解： ，f（a）+f（b）=0， +=0， =1，化为 a+b=2， （a，b（0，2） ）则 = = = 当且仅当 a=2b= 时取等号故答案为： 15设双曲线 的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A 2，过 F 做 x 轴的垂线交双曲线于 B，C 两点，若 A1BA 2C，则双曲线的离心率为 -
10、7 -【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求得 B 和 C 点坐标，根据直线的斜率公式可得 k1k2=1，即可求得 =1，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率【解答】解：由题意可知：左、右顶点分别是 A1（a，0） ，A 2（a，0） ，当 x=c 时，代入双曲线方程，解得：y= ，设 B（c， ） ，C（c， ） ，则直线 A1B 的斜率 k1= = ，直线 A2C 的斜率 k2= = ，由 A1BA 2C，则 k1k2=1，即 =1，则 =1，双曲线的离心率 e= = = ，故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分16如图，在ABC 中，M 是边 BC 的中点，
11、cosBAM= ，tanAMC= （）求角 B 的大小；（）若角BAC= ，BC 边上的中线 AM 的长为 ，求ABC 的面积【考点】HT：三角形中的几何计算- 8 -【分析】 （）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为和与差公式求解即可（）利用余弦定理求解出 BM，即可求解ABC 的面积【解答】解：（）由 ，得： ， 又AMC=BAM+B，=；又 B（0，） ， （）由（）知 角BAC= ，C= 则 AB=BC设 MB=x，则 AB=2x在ABM 中由余弦定理，得 AM2=AB2+MB22ABBMcosB，即 7x2=21解得： 故得ABC 的面积 17如图，已知三棱锥 OABC 的三条侧棱
12、 OA，OB，OC 两两垂直，ABC 为等边三角形，M为ABC 内部一点，点 P 在 OM 的延长线上，且 PA=PB（）证明：OA=OB；（）证明：ABOP；（）若 AP：PO：OC= ：1，求二面角 POAB 的余弦值- 9 -【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （）由已知条件利用勾股定理得 OA2+OC2=OB2+OC2，OA=OB，得进行证明（）根据题意，通过线面垂直的判定定理及性质定理即可证明平面 PAB平面 POC（）以 OA、OB、OC 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面 POA 的一个法向量与平面
13、OAB 的一个法向量的夹角的余弦值，利用向量法求解【解答】解：（）证明：OA，OB，OC 两两垂直，OA 2+OC2=AC2，OB 2+OC2=BC2，又ABC 为等边三角形，AC=BC，OA 2+OC2=OB2+OC2，OA=OB；（）证明：OA，OB，OC 两两垂直，OCOA，OCOB，OAOB=O，OA、OB平面 OAB，OC平面 OAB，而 AB平面 OAB，ABOC，取 AB 中点 D，连结 OD、PD，由（1）知，OA=OB，ABOD，由已知 PA=PB，ABPD，ABOD，ABPD，ODPD=D，OD、PD平面 POD，AB平面 POD，而 PO平面 POD，ABPO，ABOC，
14、ABPO，OCPO=O，OC、PO平面 POC，AB平面 POC，又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 POC；（）解：如图，以 OA、OB、OC 所在的直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，由（1）同理可证 OA=OB=OC，设 OA=OB=OC=1，则 O（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（0，1，0） ，C（0，0，0） ，- 10 -C（0，0，0） ， =（1，0，0） ， =（1，1，0） ，设 P（x，y，z） ，其中 x0，y0，z0， =（x，y，z） ， =（x1，y，z） ，由（）知 OPAB，且 AP：PO：OC= ：1 ，解得 x=y=1，z=2，即
15、 =（1，1，2） ，设平面 POA 的法向量为 =（x，y，z） ，又 ，取 z=1，得 =（0，2，1） ，由（2）知，平面 OAB 的一个法向量为 =（0，0，1） ，记二面角 POAB 的平面角为 ，由图可知 为锐角，cos =二面角 POAB 的余弦值为18在标有“甲”的袋中有 4 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外完全相同（）若从袋中依次取出 3 个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（）现从甲袋中取出个 2 红球，1 个白球，装入标有“乙”的空袋若从甲袋中任取 2 球，乙袋中任取 1 球，记取出的红球的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望 EX【考点】CH
16、：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列- 11 -【分析】 （）利用条件概率公式计算所求的概率值；（）由题意知 X 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量 X 的分布列，计算数学期望值【解答】解：（）记“第一次取到红球”为事件 A， “后两次均取到白球”为事件 B，则 ， ；所以， “第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”为；（或 ） （）X 的所有可能取值为 0，1，2，3； 则 ，； 所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望为 19已知数列a n和b n满足 （nN*） 若a n是各项为正数的等比数列，且 a1=4，b 3=b2+6
17、（）求 an与 bn；- 12 -（）设 cn= ，记数列c n的前 n 项和为 Sn求 Sn；求正整数 k使得对任意 nN*，均有 SkS n【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】 （）由题意 （nN*） b 3=b2+6知，又由 a1=4，得公比 q，可得列a n的通项 bn，进而得到数列b n的通项）（）由（）知，利用等比数列的求和公式、裂项求和方法即可得出因为 c1=0，c 20，c 30，c 40；当 n5 时，作差即可得出单调性【解答】解：（）由题意 （nN*） b 3=b2+6知 ，又由 a1=4，得公比 q=4（q=4，舍去） ，所以数列a n的通项为 所以 故数列
18、b n的通项为 （）由（）知所以- 13 -因为 c1=0，c 20，c 30，c 40；当 n5 时，而 得所以，当 n5 时，c n0；综上，对任意 nN *恒有 S4S n，故 k=420已知抛物线 C：y 2=4x，点 M 与抛物线 C 的焦点 F 关于原点对称，过点 M 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于不同两点 A，B，线段 AB 的中点为 P，直线 PF 与抛物线 C 交于两点E，D（）判断是否存在实数 k 使得四边形 AEBD 为平行四边形若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（）求 的取值范围- 14 -【考点】K8：抛物线的简单性质；KN：直线与抛物线的位置
19、关系【分析】 （）设直线 l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得 P 点坐标，求得直线 PF 的方程，代入抛物线方程，若四边形 AEBD 为平行四边形，当且仅当= ，即k2（k 21）=0，求得 k 的值，由 k 不满足|k|1 且 k0，故不存在 k 使得四边形 AEBD 为平行四边形（）由，根据 k 的取值范围，即可求得的取值范围【解答】解：（）设直线 l 的方程为 y=k（x+1） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，E（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4） 联立方程组 ，整理得 k2x2+（2k 24）x+k 2=0显然 k0，且0，即（2k
20、24） 24k 40，得|k|1 且 k0得 ，x 1x2=1，- 15 -，直线 PF 的方程为： ，联立方程组 ，得，得 ，x 3x4=1，若四边形 AEBD 为平行四边形，当且仅当 =，即 k2（k 21）=0，得 k=0，1，与|k|1 且 k0 矛盾 故不存在实数 k 使得四边形 AEBD 为平行四边形； （），由|k|1 且 k0，得 1k 2+12；- 16 -当 ， 取得最小值 ；当 k2+1=1 时， 取 1；当 k2+1=2 时， 取 ；所以 21已知 R，函数 f（x）=e xxlnx（e=2.71828是自然对数的底数） （）若 f（1）=0，证明：曲线 y=f（x）没
21、有经过点 的切线；（）若函数 f（x）在其定义域上不单调，求 的取值范围；（）是否存在正整数 n，当 时，函数 f（x）的图象在 x 轴的上方，若存在，求 n 的值；若不存在，说明理由【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （）求出函数的导数，求出切线方程，化简得：，令 ，根据函数的单调性判断方程 无解，从而证明结论即可；（）分离参数，得 ，令 （x0） 根据函数的单调性求出参数的范围即可；（）法一：问题等价于 令（x0） ，根据函数的单调性求出 F（x）的最小值，从而证明结论即可；法二：问题等价于 的最大值；当 x（0，1，得到恒成立，当 x
22、（1，+）时， ，- 17 -根据函数的单调性求出 P（x）的最大值，从而证明结论【解答】解证：（）因为 f（1）=0，所以 =0，此时 f（x）=xlnx，证法一：设曲线 y=f（x）在点 P（x 0，f（x 0） ）处的切线经过点则曲线 y=f（x）在点 P（x 0，f（x 0） ）处的切线 yf（x 0）=f（x 0） （xx 0）所以化简得： 令 ，则，所以当 时，h（x）0，h（x）为减函数，当 时，h（x）0，h（x）为增函数，所以，所以 无解所以曲线 y=f（x）的切线都不经过点 （）函数的定义域为（0，+） ，因为 f（x）=e x（1+lnx） ，所以 f（x）在定义域上不单
23、调，等价于 f（x）有变号零点，令 f（x）=0，得 ，令 （x0） 因为 ，令， ，所以 h（x）是（0，+）上的减函数，又 h（1）=0，故 1 是 h（x）的唯一零点，当 x（0，1） ，h（x）0，g（x）0，g（x）递增；当 x（1，+） ，h（x）0，g（x）0，g（x）递减；故当 x=1 时，g（x）取得极大值且为最大值 ，- 18 -所以 ，即 的取值范围是 （）证法一：函数 f（x）的图象在 x 轴的上方，即对任意 x0，f（x）0 恒成立f（x）0 令（x0） ，所以（1）当 n=1 时， ，即当 0x1 时，F（x）0，F（x）是减函数，所以 F（x）F（1）=e0；当
24、x1 时， ，令 ，则，所以 G（x）是增函数，所以当 x2 时，即 F（x）0所以 F（x）在 min0所以当 时，对任意 x0，f（x）0 恒成立（2）当 n2 时， ，因为 ，取- 19 -，则 ，所以 f（x）0 不恒成立，综上所述，存在正整数 n=1 满足要求，即当 时，函数f（x）的图象在 x 轴的上方 证法二：f（x）0 恒成立，等价于 的最大值；当 x（0，1， ，所以 恒成立当 x（1，+）时， ，设 ，所以 q（x）在（1，+）上是减函数，因为 q（2）=1ln20，所以 q（x）有唯一零点 t（2，3）当 x（1，t）时，q（x）0，即 P（x）0，P（x）是增函数，当 x（t，+）时，q（x）0，即 P（x）0，P（x）是减函数，所以 ，且，所以- 20 -所以 设 ，t（2，3）所以，所以 M（t）在（2，3）上是减函数，所以 M（3）M（t）M（2） ，即 因为 使 f（x）0，所以 ，只有 n=1 符合要求，综上所述，存在正整数 n=1 满足要求，即当 时，函数f（x）的图象在 x 轴的上方
