1、- 1 -2017 年山东省临沂市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1己知 i 是虚数单位， 是 z 的共轭复数， ，则 z 的虚部为（ ）A1 B1 Ci Di2已知集合 M= ，集合 N=x|y=log2（3x），则 R（MN）=（ ）A（3，+） C B C D7已知边长为 的正方形 ABCD 的四个顶点都在球心为 O 的球面上，若球 O 的体积为36，则直线 OA 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为（ ）A B C D8若等边三角形 ABC 的边长为 12，平面内一点 M 满足 ，则
2、 =（ ）A26 B27 C28 D299已知函数 f（x）=sinx+ ，当 f（x 1）=f（x 2）=2 时，|x 1x 2|的最小值为 2，给出下列结论，其中所有正确结论的个数为（ ）f（0）= ； 当 x（0，1）时，函数 f（x）的最大值为 2； 函数 的图象关于 y 轴对称； 函数 f（x）在（1，0）上是增函数A1 B2 C3 D410斜率为 2 的直线 l 与椭圆 交于不同的两点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，把正确答案填写在答题卡给定的- 2 -横线上
3、11阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出 k 的值为 12若命题“xR，|x+1|+|xa|4”是真命题，则实数 a 的取值范围是 13我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前 56 世纪，祖冲之之子）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异” ，这个原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，如图，将底面直径都为 2b，高皆为 a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离 d 处的平面截这两个
4、几何体，可横截得到 S 圆 及 S 环 两截面，可以证明 S 圆 =S 环 总成立据此，短轴长为 ，长轴为 5 的椭球体的体积是 14若直线 l：x+2y=0 与圆 C：（xa） 2+（yb） 2=10 相切，且圆心 C 在直线 l 的上方，则 ab 的最大值为 15若函数 f（x）=x+ln 在区间的值域为，则实数 t 的取值范围是 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16在ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，且 - 3 -（I）求 B；（II）若 b=2 ，a+c=4，求ABC 的面积17如图，点 E 是菱形 AB
5、CD 所在平面外一点，EA平面 ABCD，EAFBGD，ABC=60，EA=AB=2BF=2GD（I）求证：平面 EAC平面 ECG；（II）求二面角 BECF 的余弦值18某中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校 1400 名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得一组样本的身高（单位：cm）频数分布表如表 1、表 2表 1：男生身高频数分布表身高（cm）160，165）165，170）170，175）175，180）180，185）185，190）频数 2 5 11 4 5 3表 2：女生身高频数分布表身高（cm）150，155）155，160）160，165）165，170）170，
6、175）175，180）频数 2 8 15 12 2 1（I）估计该校高一女生的人数：（II）估计该校学生身高在上的最小值；（II）若 f（1）=0，且函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：1a2e21已知双曲线 C1： 的渐近线方程为y= x，且过点 ，其离心率为 e，抛物线 C2的顶点为坐标原点，焦点为 （I）求抛物线 C2的方程；（II）O 为坐标原点，设 A，B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且- 4 -=12（i）求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 P 的坐标； （ii）过点 P 作 AB 的垂线与抛物线交于 C，D 两点，求四边形 ACBD 面积的最小值-
7、 5 -2017 年山东省临沂市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1己知 i 是虚数单位， 是 z 的共轭复数， ，则 z 的虚部为（ ）A1 B1 Ci Di【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 ，进一步得到 z 得答案【解答】解：由 ，得，z=2+i则 z 的虚部为 1故选：A2已知集合 M= ，集合 N=x|y=log2（3x），则 R（MN）=（ ）A（3，+） C B C D【考点】7C：简单线性规划【分析】
8、作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：变量 x，y 满足约束条件 ，对应的平面区域如图：x0，y2，z=3|x|+|y2|=3xy+2，由 z=3xy+2 得 y=3xz+2，平移直线 y=3xz+2，由图象可知当直线 y=3xz+3 经过点 A 时，直线 y=3xz+3 的截距最- 6 -大，此时 z 最小，由 ，解得 A（0，1） ，此时 zmin=301+2=1，当直线 y=3xz+2 经过点 B（2，0）时，直线 y=3xz+2 的截距最小，此时 z 最大，此时 zmax=320+2=8，故 1z8，故选：A7已知边长为 的正方形 ABC
9、D 的四个顶点都在球心为 O 的球面上，若球 O 的体积为36，则直线 OA 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为（ ）A B C D【考点】MI：直线与平面所成的角【分析】设 ABCD 的中心为 M，则OAM 为所求角，求出球的半径和正方形的对角线长，在RtOAM 中求出 cosOAM【解答】解：设正方形 ABCD 的中心为 M，连结 OM，OA，则 OM平面 ABCD，OAM 为 OA 与平面 ABCD 所成的角设球的半径为 r，则 =36，解得 r=3，即 OA=3，正方形 ABCD 边长为 2 ，AM=2，cosOAM= 故选：B- 7 -8若等边三角形 ABC 的边长为 12，平面内
10、一点 M 满足 ，则=（ ）A26 B27 C28 D29【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由已知建立平面直角坐标系，求出点 A，B，C 的坐标，利用向量的坐标运算求解【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，则 A（6，0） ，B（6，0） ，C（0， ） ， ， 则 = =（ ） ，=（ ） 则 = 故选：D9已知函数 f（x）=sinx+ ，当 f（x 1）=f（x 2）- 8 -=2 时，|x 1x 2|的最小值为 2，给出下列结论，其中所有正确结论的个数为（ ）f（0）= ； 当 x（0，1）时，函数 f（x）的最大值为 2； 函数 的图象关于 y 轴对称； 函数 f（x）在（
11、1，0）上是增函数A1 B2 C3 D4【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】将 f（x）化简，根据 f（x 1）=f（x 2）=2 时，|x 1x 2|的最小值为 2，可得周期T=2可得 f（x）的解析式，依次判断下列各选项即可【解答】解：函数 f（x）=sinx+ =2sin（x） f（x 1）=f（x 2）=2 时，|x 1x 2|的最小值为 2，周期 T=2，即 2= =f（x）=2sin（x ） 对于：当 x=0 时，可得 f（0）=2sin = 不对对于：当 x（0，1）时，则 x （ ， ） ，当 x =，f（x）取得最大值 2，对对于：函数 =2sin=2cosx，图象
12、关于 y 轴对称，对对于：令 x 是单调递增，可得：，函数 f（x）在（1，0）上不是增函数， 不对故选：B10斜率为 2 的直线 l 与椭圆 交于不同的两点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）- 9 -A B C D【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】由椭圆的焦点坐标，则两个交点分别为（c，2c） ， （c，2c） ，代入椭圆方程，根据椭圆的性质及离心率公式，即可求得椭圆的离心率【解答】解：椭圆的焦点在 x 轴上，F 1（c，0） ，F 2（c，0） ，则两个交点分别为（c，2c） ， （c，2c） ，代入椭圆 ，整理得：c 2（b 2+4a2）=a
13、 2b2b 2=a2c 2，整理得：c 46a 2c2+a4=0，由 e= ，整理得：e 46e 2+1=0，解得：e 2=32 ，0e1，则 e2=32 =（ 1） 2，e= 1，故选 B二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上11阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出 k 的值为 99 【考点】EF：程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出程序运行后是计算 S 的值，并判断 S2 时输出 k 的值，总结规律即可得出结论【解答】解：模拟程序框图运行过程，如下；第 1 次运行：k=1，S=0+lg3=lg3，判断 S2？，否；
14、- 10 -第 2 次运行：k=3，S=lg3+lg =lg5，判断 S2？，否；第 3 次运行：k=5，S=lg5+lg =lg7，判断 S2？，否；，第 n 次运行：k=2n1，S=lg（2n+1） ，判断 S2？，是；即 lg（2n+1）2，解得 2n99，即 2n198，取 2n1=99，即输出 k=2n1=99故答案为：9912若命题“xR，|x+1|+|xa|4”是真命题，则实数 a 的取值范围是 （5，3） 【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】命题“xR，|x+1|+|xa|4”是真命题|x+1|+|xa| 4 由解（|x+1|+|xa|） min4|1+a|4 解得实数
15、a 的取值范围【解答】解：命题“xR，|x+1|+|xa|4”是真命题|x+1|+|xa|4 有解 （|x+1|+|xa|） min4 |1+a|4，解得5a3，实数 a 的取值范围 （5，3）故答案为：（5，3）13我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前 56 世纪，祖冲之之子）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异” ，这个原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，如图，将底面直径都为 2b，高皆为 a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体
16、放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离 d 处的平面截这两个几何体，可横截得到 S 圆 及 S 环 两截面，可以证明 S 圆 =S 环 总成立据此，短轴长为 ，长轴为 5 的椭球体的体积是 10 - 11 -【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】由 S 圆 =S 环 总成立，求出椭球的体积 V= ，由此能求出该椭球体的体积【解答】解：S 圆 =S 环 总成立，半椭球的体积为： = ，椭球的体积 V= ，椭球体短轴长为 ，长轴为 5，b= ，a= ，该椭球体的体积 V= =10故答案为：1014若直线 l：x+2y=0 与圆 C：（xa） 2+（yb） 2=10 相切，
17、且圆心 C 在直线 l 的上方，则 ab 的最大值为 【考点】JE：直线和圆的方程的应用【分析】根据直线和圆相切求出 a，b 的关系式，结合基本不等式进行求解即可【解答】解：圆 C：（xa） 2+（yb） 2=10 的圆心（a，b）半径为： ，直线和圆相切， ，圆心 C 在直线 l 的上方，a+2b0，从而 a+2b=5 ，ab= a（2b） = ，当且仅当 a=2b，即 a=，b= 时取等号，- 12 -故 ab 的最大值为 ，故答案为： 15若函数 f（x）=x+ln 在区间的值域为，则实数 t 的取值范围是 （1，1+ ） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】由复合函数的单调性
18、可得 f（x）在定义域上为单调增函数，结合函数 f（x）=x+ln在区间的值域为，可得 ln +a=ta，ln +b=tb，即 a，b 为方程ln +x=tx 的两个不同根即 t=1+ 有两个不同根，令 g（x）=1+，利用导数研究其单调性并求得极值，数形结合可得 t 的取值范围【解答】解：f（x）=x+ln 的定义域为x|x0，f（x）在定义域上为单调增函数，又函数 f（x）=x+ln 在区间的值域为，f（a）=ta，f（b）=tb，即：ln +a=ta，ln +b=tb，即 a，b 为方程 ln +x=tx 的两个不同根t=1+ 有两个不同根，令 g（x）=1+ ，则 g（x）= =，由
19、g（x）=0，得 ，得 x=e当 x（0，e）时，g（x）0，当 x（e，+）时，g（x）0，g（x）在（0，e）上为增函数，在（e，+）上为减函数可得极大值点 x=e，故 g（x）的极大值为：g（e）=1+ ，又当 x0 +时，g（x），当 x时，g（x）1，因此当 1t1+ 时，直线 y=t 与曲线 y=g（x）的图象有两个交点，方程 t=1+- 13 -有两个解故所求的 t 的取值范围为（1，1+ ） ，故答案为：（1，1+ ） 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16在ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，且 （
20、I）求 B；（II）若 b=2 ，a+c=4，求ABC 的面积【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】 （）根据正弦定理和三角函数的化简可得 cosB= ，即可求出答案，（）由余弦定理可得 ac 的值，再根据三角形的面积公式即可求出【解答】解：（）在ABC 中，由正弦定理以及且 得：= ， = ，C 为ABC 的内角，sinC0， = ，2sinAcosB+sinCcosB=cosCsinB，2sinAcosB=（cosCsinB+sinCcosB）=sin（B+C）- 14 -A+B+C=，sin（B+C）=sinA，2sinAcosB=sinA，sinA0，cosB= ，B 为三角形的内角
21、，B= ；（）由余弦定理 b2=a2+c22accosB 得 b2=（a+c） 22ac2accosB，将 b=2 ，a+c=4，B= 代入上式可得 12=162ac（1 ） ，ac=4，S ABC = acsinB= 4 = 17如图，点 E 是菱形 ABCD 所在平面外一点，EA平面 ABCD，EAFBGD，ABC=60，EA=AB=2BF=2GD（I）求证：平面 EAC平面 ECG；（II）求二面角 BECF 的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定【分析】 （I）连结 BD 交 AC 于 O，取 EC 的中点 M，连结 OM，GM，建立空间坐标系，利用向量
22、证明 GMAE，GMAC 可得 GM平面 EAC，于是平面平面 EAC平面 ECG；（II）求出平面 EBC 和平面 BCF 的法向量，计算两法向量的夹角即可得出二面角的大小【解答】 （I）证明：连结 BD 交 AC 于 O，取 EC 的中点 M，连结 OM，GM，O，M 分别是 AC，EC 的中点，OMEA，又EA平面 ABCD，OM平面 ABCD，- 15 -以 O 为原点，以 OB，OC，OM 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：设 BF=1，则 A（0，1，0） ，C（0，1，0） ，E（0，1，2） ，D（ ，0，0） ，G（ ，0，1） ，M（0，0，1） ， =（0，2，0） ， =
23、（0，0，2） ， =（ ，0，0） ， =0， =0，GMAC，GMAE，又 AEAC=A，GM平面 EAC，又 GM平面 ECG，平面 EAC平面 ECG（II）解：B（ ，0，0） ，F（ ，0，1） ， =（0，2，2） ， =（ ，1，2） ， =（ ，1，1） ，设平面 BEC 的法向量为 =（x 1，y 1，z 1） ，平面 FEC 的法向量为 =（x 2，y 2，z 2） ，则 ， ， ， ，令 x1= 得 =（ ，3，3） ，令 y2=1 得 =（0，1，1） cos = = = 二面角 BPCF 的余弦值为 18某中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校 1400 名高一
24、年级学生按性别进行分- 16 -层抽样检查，测得一组样本的身高（单位：cm）频数分布表如表 1、表 2表 1：男生身高频数分布表身高（cm）160，165）165，170）170，175）175，180）180，185）185，190）频数 2 5 11 4 5 3表 2：女生身高频数分布表身高（cm）150，155）155，160）160，165）165，170）170，175）175，180）频数 2 8 15 12 2 1（I）估计该校高一女生的人数：（II）估计该校学生身高在上的最小值；（II）若 f（1）=0，且函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：1a2e【考点】6B：利用
25、导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最小值即可；（）集合题意得到 g（x）在区间（0，1）内至少有 2 个零点，求出 g（ln（2a） ）=2aln（2a）3a+1e，令 2a=t，则et1，令 h（t）=tln（t） t+1e，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）由 f（x）=e x+ax2bx1，得 g（x）=f（x）=e x+2axb，g（x）=e x+2a，x时，g（x），当 a 时，g（x）0，g（x）在递增，g（x）在上的最小值是 g（0）=1b，a 时，g（x）0
26、，g（x）在递减，g（x）在上的最小值是 g（1）=e+2ab， a 时，令 g（x）=0，解得：x=ln（2a）（0，1） ，g（x）在区间上递减，在区间（ln（2a） ，1上递增，故 g（x）在上的最小值是 g（ln（2a） ）=2aln（2a）2ab，- 17 -综上，a 时，g（x）在上的最小值是 g（0）=1b，a 时，g（x）在上的最小值是 g（1）=e+2ab， a 时，g（x）在上的最小值是 g（ln（2a） ）=2aln（2a）2ab，（）证明：设 x0是函数 f（x）在区间（0，1）内的一个零点，则由 f（0）=f（1）=f（x 0）=0 可知，f（x）在区间（0，x 0）
27、上不递增，也不递减，则 g（x）不恒为正，也不恒为负，故 g（x）在区间（0，x 0）内存在零点 x1，在区间（x 0，1）内存在零点 x2，故 g（x）在区间（0，1）内至少有 2 个零点，由（）得，a 时，g（x）在递增，故 g（x）在（0，1）内至多 1 个零点，不合题意，a 时，g（x）在递减，故 g（x）在（0，1）内至多 1 个零点，不合题意， a 时，g（x）在（0，ln（2a） ）递减，在（ln（2a） ，1）递增，故 x1（0，ln（2a0） ，x 2（ln（2a） ，1） ，故必有 g（0）=1b0，g（1）=e+2ab0，g（ln（2a） ）0，由 f（1）=0，即 e+
28、ab1=0，解得：b=e+a1，故 g（ln（2a） ）=2aln（2a）3a+1e，令 2a=t，则et1，令 h（t）=tln（t） t+1e，则 h（t）=ln（t） 0，故 h（t）在（e，1）递减，h（t）h（e）=1 0， a 时，g（ln（2a） ）0 恒成立，由 g（0）=2ea0，g（1）=a+10，解得：1a2e，故函数 f（x）在区间（0，1）内有零点时，1a2e21已知双曲线 C1： 的渐近线方程为- 18 -y= x，且过点 ，其离心率为 e，抛物线 C2的顶点为坐标原点，焦点为 （I）求抛物线 C2的方程；（II）O 为坐标原点，设 A，B 是抛物线上分别位于 x
29、轴两侧的两个动点，且=12（i）求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 P 的坐标； （ii）过点 P 作 AB 的垂线与抛物线交于 C，D 两点，求四边形 ACBD 面积的最小值【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】 （I）根据双曲线的渐近线方程求得 b= a，将 M 代入双曲线方程，即可求得 a和 b 的值，求得双曲线方程，求得离心率，求得抛物线的焦点坐标，即可求得抛物线方程；（II） （i）将直线 AB 的方程代入双曲线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 t 的值，即可求得直线 AB 过定点 P（6，0） ；（ii）由（i）及弦长公式求得丨 AB 丨及丨 CD 丨，根据
30、四边形的面积公式及函数单调性，即可求得四边形 ACBD 面积的最小值【解答】解：（I）由双曲线的渐近线方程 y= x，则 = ，即 b= a，将 代入椭圆方程： ，解得：a=1，b=，c=2，双曲线的标准方程： ，双曲线的离心率 e= =2，焦点为（1，0） ，抛物线 C2的方程 y2=4x；（II） （i）证明：设直线 AB 的方程 x=my+t，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立 ，整理得：y 24my4t=0，则 y1+y2=4m，y 1y2=4t，- 19 -由 =12则 +y1y2=12，解得：y 1y2=24 或 y1y2=8（舍去） ，即4t=24，解得：t=6，直线 AB 过定点 P（6，0） ；（ii）设 C（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4） ，由（i）可知：丨 AB 丨= =，同理可得：丨 CD 丨= ，则四边形 ACBD 面积 S= 丨 AB 丨丨 CD 丨= =8 ，令 m2+ =， （2） ，则 S=8 ，在 2，+）上是增函数，故 Smin=112，当且仅当 m=1 时取最小值为 112四边形 ACBD 面积的最小值为 112
