1、15 相似三角形判定定理的证明知识点 1 证明相似三角形判定定理图 4511如图 451，在 ABC中，点 D， E分别在 AB， AC边上， DE BC，若AD1， BD2，则 的值为( )DEBCA. B. C. D.12 13 14 192如图 452，在 ABCD中， AC与 BD相交于点 O， E为 OD的中点，连接 AE并延长交 DC于点 F，则 DF FC( )A14 B13 C23 D12图 4522图 45332017恩施州如图 453，在 ABC中，DE BC， ADE EFC， AD BD53， CF6，则 DE的长为( )A6 B8 C10 D124用相似三角形的定义证
2、明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似知识点 2 相似三角形判定的综合应用5如图 454，为了测量一池塘的宽 DE，在岸边找到一点 C，测得 CD30 m，在DC的延长线上找到一点 A，测得 AC5 m，过点 A作 AB DE交 EC的延长线于点 B，测得AB6 m，则池塘的宽 DE为( )A25 m B30 m C36 m D40 m图 454图 4556如图 455， AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚 B距墙脚 1.6 m，梯上点 D距墙 1.4 m， BD长 0.55 m，该梯子的长是_7如图 456 所示，已知 AD BD， AE BE，求证： ADBC AC
3、BE.3图 4568如图 457，在正方形 ABCD中， M为 BC上一点， F是 AM的中点， EF AM，垂足为 F，交 AD的延长线于点 E，交 DC于点 N.(1)求证： ABM EFA；(2)若 AB12， BM5，求 DE的长图 4579如图 458， ABC中，点 D， F在边 AB上，点 E在边 AC上，如果DE BC， EF CD，那么一定有( )A DE2 ADAE B AD2 AFABC AE2 AFAD D AD2 AEAC图 4584图 45910如图 459，在边长为 9的等边三角形 ABC中， BD3， ADE60，则 AE的长为_11如图 4510，已知 AB
4、AD BC DE AC AE，请猜想 ABD与 ACE的关系，并说明理由图 451012教材习题 4.9第 3题变式题如图 4511，在 ABC中， AC BC，点 E， F在直线AB上， ECF A.(1)如图 4511，点 E， F在 AB上时，求证： AC2 AFBE；(2)如图 4511，点 E， F在 AB及其延长线上， A60， AB4， BE3，求 BF的长图 4511513如图 4512，已知 AB DB于点 B， CD DB于点 D， AB6， CD4， BD14，问：在 DB上是否存在点 P，使得 PCD与 PAB相似？如果存在，请求出 PD的长；如果不存在，请说明理由图
5、451214如图 4513，已知直线 l的函数表达式为 y x8，且 l与 x轴、 y轴分别43交于 A， B两点，动点 Q从点 B开始在线段 BA上以每秒 2个单位长度的速度向点 A移动，同时动点 P从点 A开始在线段 AO上以每秒 1个单位长度的速度向点 O移动，设点 Q， P移动的时间为 t秒(1)求点 A， B的坐标；(2)当 t为何值时，以 A， P， Q为顶点的三角形与 AOB相似？(3)求出(2)中当以 A， P， Q为顶点的三角形与 AOB相似时线段 PQ的长度图 451367详解1B 2.D3C 解析 由 DE BC可得出 ADE B，结合 ADE EFC可得出 B EFC，
6、进而可得出 BD EF，结合 DE BC可证出四边形 BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出 DE BF，由 DE BC可得出 ADE ABC，根据相似三角形的性质可得出BC DE，再根据 CF BC BF DE6，所以 DE10.85 354解：已知：如图，在 ABC中， DE BC，并分别交 AB， AC于点 D， E.求证： ADE与 ABC相似证明： DE BC， ADE B， AED C.过点 D作 DF AC交 BC于点 F，又 DE BC，四边形 DFCE是平行四边形， DE FC， ，FCBC DEBC ADAB .ADAB AEAC DEBC而 A A， ADE B
7、， AED C， ADE ABC.5C.64.4 m 87证明： AD BD， AE BE， ADC90， BEC90.在 ACD和 BCE中， ACD BCE， ADC BEC， ACD BCE， ，ADBE ACBC ADBC ACBE.8解：(1)证明：四边形 ABCD是正方形， B90， AD BC， AMB EAF.又 EF AM， AFE90， B AFE， ABM EFA.(2) B90， AB12， BM5， AM 13， AD AB12.122 52 F是 AM的中点， AF AM6.5.12 ABM EFA， ，BMFA AMEA即 ， EA16.9，56.5 13EA D
8、E EA AD4.9.9B 107.11解： ABD ACE.理由如下： AB AD BC DE AC AE， ABC ADE， BAC DAE，9 BAD CAE.又 AB AD AC AE，即 AB AC AD AE， BAD CAE， ABD ACE.12解：(1)证明： AC BC， A B. BEC ACE A， ACF ACE ECF， ECF A， ACF BEC， ACF BEC， ，ACBE AFBC AC2 AFBE.(2) A60， AC BC， ABC是等边三角形， A ABC ACB60 ECF， ACE FCB.又 ECB ACB ACE， F ABC FCB， E
9、CB F.又 ABC A， ACF BEC， ， AF ，ACBE AFBC 163 BF AF AB .4313解：存在若 PCD APB，则 ，即 ，解得 PD2 或 PD12；CDPB PDAB 414 PD PD6若 PCD PAB，则 ，即 ，解得 PD5.6.CDAB PDPB 46 PD14 PD当 PD的长为 2或 12或 5.6时， PCD与 PAB相似1014解：(1)在 y x8 中，43当 x0 时， y8；当 y0 时， x6.故点 A的坐标为(6，0)，点 B的坐标为(0，8)(2)在 AOB中， AOB90， OA6， OB8，由勾股定理，得 AB10.由题意易知
10、 BQ2 t， AQ102 t， AP t.在 AOB和 AQP中， BAO PAQ，第一种情况：当 时， APQ AOB，AQAB APAO即 ，解得 t ；10 2t10 t6 3011第二种情况：当 时， AQP AOB，AQAO APAB即 ，解得 t .10 2t6 t10 5013故当 t为 或 时，以 A， P， Q为顶点的三角形与 AOB相似3011 5013(3)以 A， P， Q为顶点的三角形与 AOB相似，当 t 时， ，解得 PQ ；3011 PQ8 30116 4011当 t 时， ，解得 PQ .5013 PQ8 501310 4013故当以 A， P， Q为顶点的三角形与 AOB相似时，线段 PQ的长度是 或 .4011 4013
