1、1第二章 圆锥曲线与方程章末检测卷(二)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.设 P 是椭圆 1 上一点， F1、 F2是椭圆的焦点，若| PF1|等于 4，则| PF2|等于( )x2169 y2144A.22 B.21 C.20 D.13答案 A解析 由椭圆的定义知，| PF1| PF2|26，又| PF1|4，| PF2|26422.2.双曲线方程为 x22 y21，则它的右焦点坐标为( )A. B. C. D.( ，0)(22， 0) (52， 0) (62， 0) 3答案 C解析 将双曲线方程化为标准方程为 x2
2、1，y212 a21， b2 ， c2 a2 b2 ， c ， 故右焦点坐标为 .12 32 62 (62， 0)3.已知双曲线 1( a0， b0)的虚轴长是实轴长的 2 倍，则该双曲线的一条渐近线方x2a2 y2b2程为( )A.y x B.y4 x C.y x D.y2 x14 122答案 D解析 根据题意，有 b2 a，则 2，ba故其中一条渐近线方程为 y2 x，故选 D.4.设 F1和 F2为双曲线 1( a0， b0)的两个焦点，若 F1， F2， P(0，2 b)是等边三角x2a2 y2b2形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A. B.2 C. D.332 52答案 B解析
3、由 tan ，有 3c24 b24( c2 a2)，则 e 2，故选 B. 6 c2b 33 ca5.双曲线 1 的渐近线与圆( x4) 2 y2 r2(r0)相切，则 r 的值为( )x213 y23A.4 B.3 C.2 D. 3答案 D解析 因为双曲线的渐近线为 y x，313即 x y0，3 13已知圆的圆心为(4，0)，利用直线与圆相切，得到 d r，|430|3 13 3故 r ，故选 D.36.若抛物线 x22 py 的焦点与椭圆 1 的下焦点重合，则 p 的值为( )x23 y24A.4 B.2 C.4 D.2答案 D解析 椭圆 1 的下焦点为(0，1)，即为抛物线 x22 p
4、y 的焦点，x23 y24 1， p2.p27.已知 M(x0， y0)是双曲线 C： y21 上的一点， F1， F2是 C 的左，右焦点，若 x22 MF1 b0)与双曲线 1( m0， n0)有相同的焦点( c， 0)和x2a2 y2b2 x2m2 y2n2(c， 0)，若 c 是 a、 m 的等比中项， n2是 2m2与 c2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.33 22 14 124答案 D解析 由题意可得Error!解得 ，c2a2 14 e .ca 1211.若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最
5、大值为( )OP FP A.2 B.3 C.6 D.8答案 C解析 由椭圆方程得 F(1，0)，设 P(x0， y0)，则 ( x0， y0)(x01， y0) x x0 y .OP FP 20 20 P 为椭圆上一点， 1.x204 y203 x x03(1 ) x03 (x02) 22.OP FP 20 x204 x204 142 x02， 的最大值在 x02 时取得，且最大值等于 6.OP FP 12.已知抛物线 y2 x，点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 2(其中 O 为坐OA OB 标原点)，则 ABO 与 AFO 的面积之和的最小值是( )A.2 B.3 C. D.
6、1728 10答案 B解析 如图，可设 A(m2， m)， B(n2， n)，其中 m0， n0)的离心率等于 2，它的焦点到渐近线的距离等于 1，则该x2a2 y2b2双曲线的方程为_.答案 3 x2 y21解析 由题意可得 e 2，则 c2 a，设其一焦点为 F(c， 0)，渐近线方程为cabxay0，那么 d b1，bcb2 a2 bcc而 c24 a2 a2 b2，解得 a2 ，13那么所求的双曲线方程为 3x2 y21.16.已知直线 l： x y m0 经过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点， l 与 C 交于 A， B 两点.若| AB|6，则 p 的值为_.答案 32解析
7、 因为直线 l 过抛物线的焦点，6所以 m ，p2由Error!得 x23 px 0，p24设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x23 p，故| AB| x1 x2 p4 p6， p .32三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17.(10 分)中心在原点，焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1， F2，且|F1F2|2 ，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为 4，离心率之比为 37，求这两条13曲线的方程.解 设椭圆的方程为 1，双曲线的方程为 1，半焦距 c ，x2a21 y2b21 x2a2 y2b2 13由已知得 a1 a24， 37，ca1
8、ca2解得 a17， a23，所以 b 36， b 4，所以两条曲线的方程分别为 1， 1.21 2x249 y236 x29 y2418.(12 分)已知直线 y x4 被抛物线 y22 mx(m0)截得的弦长为 6 ，求抛物线的标准2方程.解 设直线与抛物线的交点为( x1， y1)，( x2， y2).由Error!得 x22(4 m)x160，所以 x1 x22(4 m)， x1x216，所以弦长为 2 .1 k2x1 x22 244 m2 416 2m2 8m由 2 6 ，解得 m1 或 m9.2m2 8m 2经检验， m1 或 m9 均符合题意.所以所求抛物线的标准方程为 y22
9、x 或 y218 x.19.(12 分)已知椭圆 C 的左，右焦点坐标分别是( ，0)，( ，0)，离心率是 ，直线2 263y t 与椭圆 C 交于不同的两点 M， N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标.解 (1)因为 ，且 c ，ca 63 2所以 a ， b 1，3 a2 c27所以椭圆 C 的方程为 y21.x23(2)由题意知 P(0， t)(1b0).x2a2 y2b2离心率 e ， .223 ca 223又 a2 b2 c2， a3 b.又椭圆经过点 P(3，0)， 1， a29， b21.9a
10、2 0b2椭圆的标准方程为 y21.x29(2)当焦点在 y 轴上时，设其方程为 1( ab0).y2a2 x2b2同理可得 a3 b.又椭圆经过点 P(3，0)， 1，0a2 9b2 b29， b3， a9.椭圆的标准方程为 1.y281 x2921.(12 分)从椭圆 1( ab0)上一点 M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1，x2a2 y2b2且它的长轴的一个端点 A，短轴的一个端点 B 的连线 AB 平行于 OM.(1)求椭圆的离心率；(2)设 Q 是椭圆上任一点， F2是椭圆的右焦点，求 F1QF2的取值范围.解 (1)依题意知 F1点坐标为( c，0)，8设 M 点坐标
11、为( c， y).若 A 点坐标为( a，0)，则 B 点坐标为(0， b)，则直线 AB 的斜率 k .(A 点坐标为( a， 0)， B 点坐标为(0， b)时，同样有 k ) ba ba则有 ， y . y c ba bca又点 M 在椭圆 1 上， 1. x2a2 y2b2 c2a2 y2b2由得 ， ，c2a2 12 ca 22即椭圆的离心率为 .22(2)设| QF1| m，| QF2| n， F1QF2 ，则 m n2 a，| F1F2|2 c.在 F1QF2中，cos 1 10.m2 n2 4c22mn m n2 2mn 2a22mn a2mn a2m n2 2当且仅当 m n
12、 时，等号成立，0cos 1， 0， . 2即 F1QF2的取值范围是0， . 222.(12 分)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好32在抛物线 x28 y 的准线上.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，点 P(2， )， Q(2， )在椭圆上， A， B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点，当3 3A， B 运动时，满足 APQ BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由.解 (1)设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x28 y 的准线 y2 上， b2，又 ， a2 b2 c2，
13、ca 329 a4， c2 ，3椭圆 C 的标准方程为 1.x216 y24(2)斜率为定值.理由如下：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， APQ BPQ，直线 PA， PB 的斜率互为相反数，可设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为 k，直线 PA 的方程为 y k(x2)，3联立Error!消去 y，得(14 k2)x28 k( 2 k)x4( 2 k)2160，3 3 x12 ，8k2k 31 4k2同理可得 x22 ， 8k 2k 31 4k2 8k2k 31 4k2 x1 x2 ， x1 x2 ，16k2 41 4k2 163k1 4k2 kAB ，y1 y2x1 x2 kx1 x2 4kx1 x2 36即直线 AB 的斜率为定值 .36
