1、章末专题整合,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题一二次函数的图象与性质 例1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,给出以下结论: 因为a0,所以函数y有最大值; 该函数的图象关于直线x=-1对称; 当x=-2时,函数y的值等于0; 当x=-3或x=1时,函数y的值都等于0. 其中正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,解析:由图象知:函数有最小值,错误;该函数的图象关于直线x=-1对称,正确;当x=-2时,函数y的值小于0,错误;当x=-3或x=1时,函数y的值都等于0,正确. 故正确的有两个,选C. 答案:
2、C,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,解答这类问题,要注意数形结合,其中正确解读图象中“特殊点”(与坐标轴的交点、顶点等)的意义是解答的关键.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题二确定二次函数的解析式 例2 已知抛物线经过点(3,14),(1,4),(2,7),求抛物线解析式. 分析:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把三个点的坐标分别代入得到关于a,b,c的方程组,然后解方程组求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式. 解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,在利用待定系数法求二次函数解析式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设
3、出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题三二次函数与一元二次方程 例3 关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-1的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),且 (1)求这个二次函数的解析式; (2)求抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标,并指出抛物线在该直线下方时x的取值范围.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,分析:(1)利用抛物线与
4、x轴的交点得到x1,x2为方程x2-(2m-1)x+m2-1=0的两根,先利用根的判别式大于0可得到m ,再根据根与系数的关系得到x1+x2=2m-1,x1x2=m2-1,由于 ,则(x1+x2)2-2x1x2=3,所以(2m-1)2-2(m2-1)=3,然后解方程,再利用m的范围可确定m的值,从而得到抛物线解析式; (2)先通过解方程x2+x-1=-3x-4可得到抛物线与直线的交点的横坐标,再求出抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为(-1,-1),(-3,5),然后利用图象可判断抛物线在该直线下方时x的取值范围.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,解:(1)关于x的二次函数y=x2-
5、(2m-1)x+m2-1的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0), x1,x2为方程x2-(2m-1)x+m2-1=0的两根,(x1+x2)2-2x1x2=3,(2m-1)2-2(m2-1)=3, 整理得m2-2m=0,解得m1=0,m2=2, m ,m=0,抛物线解析式为y=x2+x-1. (2)解方程x2+x-1=-3x-4得x1=-1,x2=-3, 抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为(-1,-1),(-3,5),抛物线在该直线下方时x的取值范围为-3x-1.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,解答这类问题的本质是:已知y=ax2+bx+c(a0)的函数值t求自变量的
6、值,就是求一元二次方程ax2+bx+c=t的解,而已知自变量的值求函数值,就是求代数式的值.而抛物线在直线的下方时,取相同的自变量的值,所对应的二次函数的函数值小于一次函数的函数值.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题四二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 例4,如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0).则下面的四个结论:2a+b=0;8a+c0;当y2;对任意实数m,m(am+b)a+b.其中正确的结论有( )个. A.2 B.3 C.4 D.5,专题一,专题二,专题三,专
7、题四,专题五,解析:根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定a,b,c的符号,根据函数图象确定y0和y0,与y轴交于正半轴,c0,abc3时,y0,错误;当x=1时,函数有最大值, am2+bm+ca+b+c,m(am+b)a+b,正确. 答案:B,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,解答这类问题,注意在理解和掌握二次函数的图象和性质的基础上,数形结合,深入分析,逐一判断每个说法的真假.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题五二次函数的应用 例5 把一张边长为40 cm的正方形硬纸板,进行适当的裁剪,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计). (1)如图,若在正方形硬纸板
8、的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子. 要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少? 折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,分析:(1)设剪掉的正方形
9、的边长为x cm,根据题意得出(40-2x)2=484,求出即可; 设剪掉的正方形的边长为a cm,盒子的侧面积为y cm2,则y与a的函数关系为y=4(40-2a)a,利用二次函数最值求出即可. (2)设长方体盒子的高为x cm,利用折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,得出方程求出即可.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,解:(1)设剪掉的正方形的边长为x cm, 则(40-2x)2=484,即40-2x=22, 解得x1=31(不合题意,舍去),x2=9. 答:剪掉的正方形的边长为9 cm. 侧面积有最大值,设剪掉的小正方形的边长为a cm,盒子的侧面积为y cm2, 则y
10、与a的函数关系为y=4(40-2a)a, 即y=-8a2+160a=-8(a-10)2+800, -80,y有最大值,即当a=10时,y最大=800, 即当剪掉的正方形的边长为10 cm时,长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,(2)设长方体盒子的高为x cm,则长为40-2x,宽为20-x, 表面积为2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550, 解得x1=-35(不合题意,舍去),x2=15, 即长方体盒子的高为15 cm, 则长为40-2x=40-215=10(cm), 宽为20-x=20-15=5(cm), 此时长方体盒子的长为10 cm,宽为5 cm,高为15 cm.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,解答这类问题,弄清题中的等量关系建立二次函数模型,综合运用二次函数及其相关知识进行解答.,
