1、对两圆的幂相等的点的轨迹的探究?40?中学教研 (数学)2003 年第 a 期于是我们依据上述定理可得:推论函数 y=,()与其反函数 Y=f()的图象有公共点甘!2,总有解总槲根据此结论,我们给出本文开头问题的正确解法如下:解法 1.,()=ra(a),.f() 0,即 f()的定义域为0,+oo),从而可知:()与 f 叫() 图象公共点的坐标,Y 非负.由上面的充要条件有:+d=/=,(0)(+口)=a,以 a 为主元,整理可得 :a+(2x+1)a+一=0,A=(2x+1)4(4 一)=4x+4x+1=(2x+1)0,当0,+oo)时 ,函数 a()=一 +1=一(一号)+1 百 1,
2、即 n号,又由 a=一 37 一 371 得:a+: 一一 10(0),这与 n+X2= O 矛盾!故舍去.从而所求 n 的范围是(一 0o,丢.tr?一解法 2 由推论知:二二 总有解 L,/Ya?.1y2=一 4,l=Y 一口 ,一得(.27 一 Y)(z+Y+1)=0,o.oO,O,即+Y+10,.此时 Y=,()与 Y:f()有交点的充要条件是;t), 总有解.1v=J.以下解法与本文开头相同有兴趣的读者可解下题:函数 j,2x(-1,+co)的图等与其反函数图象的交点坐标为.(2002 年天津,山西,江西卷高考试题)(答案为:(0,0)(1,1).韧等数学研究?韧等数学研究 ?韧等数
3、学研究-?韧等数学研究一初等数学研究一韧等数学研究?初等数学研究 ?初等数学研究一初等数学研究 ?初等数学 lf 兜害嚣塞器对两圆的幂相等的点的轨迹的探究郑日锋(浙江杭州学军中学 310012)害荟塞备初辱教学研究初辱散学研究一初等数学研究? 初辱数学研究 初等数学研究?韧肆鼓学研究?初等数学研究 ?初肆数学研究?初等数学研究?初等数学研究1 问题的提出很多的解析几何教学用书上都有下面的结论:已知两圆 C1:工+Y+D1+E1Y+F1=0,C2:+Y 十 D2+E2Y+F2=0 与直线 Z:(D1 一D2)x+(ElE2)y+(F1 一 F2)=o.(1)若圆 C1 与圆 C2 相切,则直线
4、z 是过公切点的公切线;(2)若圆 C1 与圆 C2 相交,则直线 z 是两圆的公共弦所在的直线;(3)若圆 C1 与圆 C2 内含或相离,则直线 z 是两圆的等幂轴.(即 z 上的点到两圆的切线长相等 )在(3)中,把到两圆的切线长相等的点日 LI 做对两圆的幂相等的点,那么什么是圆的幂呢?圆心为 0,半径为 R 的圆,P 为圆所在的平面上任一点,称 lPO 一 Rl 为点 P 对圆的幂.在(1),(2)中,z 上的点对两圆的幂相等,所以 Z也是两圆的等幂轴.?我们自然会提出问题:(为行文方便.圆 C1D,r)表示圆心为 0,半径为 r 的圆,圆上及其圆的内部称为圆的内侧,圆上及其圆的外部称
5、为圆韵外侧.)对两圆(01,r1)与(02,r2)的幂相等的点的轨迹是否就是直线呢? 换言之,有无直线 z 外的轨迹上的点?若有,直线 z 外的轨迹上的点的集合(曲线) 与圆(ol,r1)与圆(o2,r2)的位置关系如何?笔者对此2003 年第 3 期中学教研(数学)?4l?作了如下探究.2 问题的解决建立直角坐标系,使 z 轴经过 01,D2,原点与0102 的中点重合.(一)若 01,02 不重合设 P(x,)对两圆(01,r1)与(02,r2)的幂相等 ,则IPO112 一 r:I2I一 r;(当 P 均在两圆内侧或外侧时),J,D2,一0/,_,图 1或 IP01I 一 ri=一(IP
6、Q2I 一 ri)(当 P 在一圆内侧,在另一圆外侧时)设 10102I=2a,贝01(一口,O),02(口,0),由得(z+口)+一 r2:(z 一口)+一 r;,4ax=,-ir;,z=,(1)由得(z+口)2+2+(z 一口)2+Y2=,-+,-;,+:血车型,(2)容易验证,直线 z=互上的任意点均在两圆的内侧或均在两圆的外侧.所以直线 z=4 二a堕(即文首直线 1)上的点都是轨迹上的点.下面研究方程(2)的曲线与两圆的位置关系如何?方程(2)的曲线上的点是否是轨迹上的点?(1)当两圆(O1,1)与(02,r2)内含,即 2aIr1一 r2I 时,不妨设 rlr2,则 r1 一 r2
7、2a.2互,.1,方程(2) 的曲线是圆(记作圆(0,ro).圆(0,rO)与圆(01,r1)的圆心距为 n,半径差为,._4+r2-2a2.生车型一(一 1CA.):,=r2-r2+4arI-4a2=0,.?.即圆(0,ro)与圆(01,r1)内含,且圆(Q,r0)在回(01,r1)内.同理圆(0,ro)与圆(02,r2) 内含,且圆(02,r2)在圆(0,ro)内.所以圆(0,r0)上曲煮都是轨迹上的点.(2)当两圆(01,r1) 与(02,r2)内切,即 2a=lrlr2l,不妨设 rl2,rl=2+2a2a,2/掣,-1,易验证圆(0,r0)与圈 (01,r1),圆(02,r2)都内切
8、 .所以圆 (0,r0)上的点都是轨迹上的点.(3)当两圆(O1,r1) 与(O2,r2)相交(设交点是A,B),即 l,-1 一,-2I2 口,-1+,-2 时.222坐:.(2)表圆.容易验证,圆(0,r0)与圆(01,ri)及圈(02,r2)均相交,且交点也是 A,B.所以圆(O,r0)上的点都是轨迹上的点.(4)当两圆(01,1)与(02,r2)外切,即 2 口=l+r2 时,若 rl=r2=口,方程(2)表示一个点(原点)在方程(1)的直线上 .若 rl r2,方程(2)表示圈,不妨设 rlr2,圆(0,ro)与圆 (01,r1)内切,圈(0,ro)与圆(02,r2) 外切.所以圆
9、(0,to)上的点都是轨迹上的点.(5)当两圆(p1,1)与(02,r2)相离,即 2 口1+2 时,若量嘻二:0,则,.1r2 方程(2)表示一个点(原点 )是轨迹上的点 ;若量嘻二0,则,.1r2 方程(2)表示圆,不妨设 rlr2,圆(O,r0)与圆(01,1)内含,且圆(0,r0)在圆(01,r1)内,圆(0,r0)与 N(02,r2)相离,所以圆(0,ro)上的点都是轨迹上的点.若二二0,方程(2) 不表示任何图形.(二)若 01,02 重合对两圆的幂相等的点的轨迹是圆 z+=.7t.=(注:此时文首的直线 z 不存在).综上所述,当两圆是同心圆时对两圆的幂相等?42?中学教研(数学
10、)2003 年第 3 期的点的轨迹是圆 zz+z=量互;当圆不相离且不是同心圆时,对两圆的幂相等的点的轨迹是直线=云及圆 X2+j,2=量(外切且 r.=r2:口时,圆 m2+=互视为点圆);当两圆相离时,若=0,对两圆的幂相等的点的轨迹是直线工:譬及原点;若量-二.,对两圆的幂相等的点的轨迹是直线=2 云 2 及x2+y2-Tr+r-2a2;若o 对两圆的幂相等的点的轨迹是直线=22.致学 t 辏.散擘建模.散擘蠢曩.敦擘蠹曩.赣学垂曩 .敦掌垂曩? 鼓掌垂曩一赣学t 曩?散学 t 攥?教学 t 攥? 数学麒一辨麒? 教掌煎一辨麒一个数学模型及其应用举例王怀平田志承(浙江上虞华雏外国语学校
11、312300)辨触一辨套模?教学建模 ?教掌烈.辨童模?教学建模-一教掌盎模?辨建模-?教学建模教掌麒一致学麒 辨煎教掌 l 蠛一辨 l 蠛在高中代数.F 册中,有这样一遁习越 :“已知效列口|的项满足Ial+=b,can+d,a1cad其中 c.,c1,1+二-证明这个数列通项公式是 a=扛(I).“(证略) 对于该数列同时有以下 4 个简单结论:结论 1 当 0c1 且 n1(n,)时,则 nn+?(nan+l)且 n=.结论 2 当一 1C0,且(n!)时,则 nn+,(n+-)且 n=.结论 3 当 c 0,c1 且 a1=时,则 n=1 一 c结论 4 当 c1 或 c一 1 时,若
12、 n1则羌界;若 n1=则口 d.证明结论 1:不妨以 0cIBn1为例.当=1 时 ,一方面 nz=,+dc 十 d:一方面,由于 nt,又由于 1 一 c0,故(1 一 c)a1d,两边同加上 ca1 得:a1caI+d=a2,所以:口 1a2.假设=时成立,即 akak+1,则当=正+1 时,一方面+2=cak+1+df+d=,另一方面由于+1又由于 1 一 f0,故(1 一 f)ak+1d,两边同加上Caa+1 得 ak+1oak+1 十 dak+2,故 ak+1a/+2,综上得:口an+1,又由于口|二,故当 0f1 时,两边取极限得:lim.口=.结论 2,结论 3,结论 4 的证
13、明留 1给读者,本文不再赘述.这个递推数列模型在社会生活中有着广泛的应用,就在 2002 年的高考试题中也有体现.现举例如下,供学习参考.1“生态环境“ 问题例 1 某城市 2001 年末汽车保有量为 3o 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 6o 万量,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?(2o02 年全国高考试题)分析设 2001 年末汽车保有量为 bl 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 62 万辆,63 万辆,每年新增汽车为万辆,则由题意知:土 ft 爵.土 I.t 爵.土 ft 拜.土 I.t 爵.dhh口
