1、了解及掌握数系数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。 数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论基础，则是 19 世纪下半期才完成。自然数建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。 基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语 calculate（计算）一词是从希腊文 calculus（石卵）演变来的。中国古代易系辞中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。 集合的基数具有元素“个数”的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数
2、。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）。 为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致 G.皮亚诺 1889 年建立了自然数的序数理论。 皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里“集合”、“含有”、“自然数”、“后继”等是不加定义的。 是自然数。 不是任何其它自然数的后继。 每个自然数都有一个后继（a 的后记为 a/） a/=b/蕴含 a=b 设 S 是自然数的一个集合。如果 S 含有 1，且 S 含有 a 蕴含 S 含有 a/ ，
3、则 S 含有任何自然数。 公理就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为1， 2 ， 3 ，n ，简记为 N。从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。整 数在自然数集 N 之外，再引入新的元素 0，1，2，3，n，。称 N 中的元素为正整数，称 0 为零，称 1，2，3，n，。为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 零不仅表示“无“，它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。印度阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是“空“或“空白
4、“。 中国最早引入了负数。九童算术方程中论述的“正负术”，就是整法的加减法。减法运算可看作求解方程 a+x=b，如果 a，b 是自然数，则方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。 关于整数系的严格理论，可用下述方法建立。在 NN（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系：对于自然有序对（a 1，b 1），（a 2，b 2），如果 a1+b2= a2+b1，就说（a 1，b 1）（a 2，b 2），NN，关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为 Z。有 理 数古埃及人约于公元前 17 世纪已使用分数，中国九童算术中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法
5、运算的需要。除法运算可以看作求解方程 px=q（p0），如果p，q 是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在 Z（Z 0）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p 1，p 2 Z，q 1，q 2 Z 0，如果p1q2=p2q1。则称（p 1，q 2）（p 2，q 1）。Z（Z 0）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为。一切有理数所成之集记为 Q。令整数 p 对应一于 ，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数
6、系。引起数学危机的无理数理数，顾名思义，与有理数相对。那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如 等等。如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的。无论是度量长度，重量，还是计时。第一个被发现的无理数 ，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究 1 和 2 的比例中项时（若 1：X=X：2，那么 X 叫 1 和 2 的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值。后来，他画一边长为 1 的正方形，设对角线为 X，于是 。他想，X 代表对角线长，而 ，那么 X 必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？显然， 2是 1 和 2 之间的数，因而 X 应是 1 和 2 之间的数，因而不是整数。那么 X 会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数 。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。但是，人们很快发现了等更多的无理数 ，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
