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2017年北京市高考文科数学试卷逐题解析
数学(文)(北京卷)
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将本试卷的答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题
1 .已知全集2—R,集合|A {x|x ?或俨2}|,则|Cu A
A. | 2,2 | B. | , 2 U 2,一
C. | 2,2 | D. | , 2 U 2,一
【答案】回
【解析】Q A x|x 2|或|x 2 = ,2 U 2,,
GA一药，故选C.
则实数回的
2.若复数|1 i a i |在复平面内对应的点在第二象限, 取值范围是
A. ,1 B. , 1
C. 1,+ D. 1,+
【答案】同
［解析］Q(1 i)(a i) a 1 (1 a)i 在第二象限.
a 1 0 .
1 a 0得口.故选叵
k_3不成立，输出卜,.故选C
x 3
4 .若亘满足x y 减y (1)x在网上单调递增.
,则|x 2yl的最大值为
y x
B.h.
D.回
a. E
c.[5
【答案】Ld]
【解析】设|z x 2y|,则y gx ：,当该直线过I 3,3卜寸,且最 大.□当|x 3,y 3|时，W取得最大值回，故选叵.
一、…,1.x
5 .已知函数 f (x) 【解析】f( x) 3x (1) x (1)x 3x f(x)且定义域为目.
[ 3 3 |
f(x)|为奇函数.Qy 3x|在网上单调递增,|y (gj在网上单调递
7 . I 1 一
*
V 1 V I 1 .. — — I 1
f(x) 3 (1)在回上单调递增，故选间. 3
6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A. 60_
B.血
(-) ,贝U f (x)
3
A.是偶函数，且在[R上是增函数
B.是奇函数，且在回上是增函数
C.是偶函数，且在反上是减函数
D.是奇函数，且在瓦上是减函数
« (左)视图
【答案】旦
僧榄图
C. 20_
D. 10_
【答案】回
【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下:
S ABC Vs abc
3 5 4 10 ,故选[D.
口 r ।
7 .设m,n为非零向量，则“存在负数
ir r
m n 0
”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】因存在负数口，使得
ir
m
n,且船为非零向量.
~fm与n方向相反.匚（
ir—r ir r ir r—
m n | m| | n | cos |m | |n | 0
□ “存在负数口，使得
tr r
m n
rtr-^
是 “ |m n 0
”的充分条件.
—tr r
若|m n 0 ,贝ij m n |m| |n| cos 0 ,则|cos
(2, ]
匚tm与n不一定反向.
口不一定存在负数口，使
ir
m
n.故选仄
8 .根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 回约为菖，而可观测
宇宙中普通物质的原子总数
M约为这.则下列各数中与
最接近的
（参考数据： 或 0.48）
A. 1033
C. 1073
B.^053
D.至
【解析】M 3361
N 1080
M 3361
N 1080
,两边取对数
sin
【解析】根据题意得
M 3361
lg N lg〔080 lg3361 lg1080 361 lg3 80 93
M “93
10
N
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9 .在平面直角坐标系 画中，角□与角口均以画为始边，它们的终
2k ,k Z
1
sin sin
3
所以
2
10.若双曲线
x2 y
m
1的离心率为
【解析】根据题意得
【解析】Qx 0,y 0,x y 1
,则
m 2
y2的取值范围是
□当
y2取得最小值为：2
x 0或|x 1时,
取得最大值为1
2 2
x y
y2的取值范围为I -
【答案】回
2 2
a 1,b m
x 0,1
2
2 2 2 2_2_ _ 1 1
x2 y2 x2 (1 x)2 2x2 2x 1 2 x
2 2
12 .已知点向在圆x2 y2 1上,点冈的坐标为2,0 ,⑹为原点，则
AO AP的最大值为
【答案】6
【解析】四点回在圆
设点回坐标
xo,yo
2 2 .
x0 y0 1
uuur
AO 2,0
uuu
AP x0 2,y0
uur uuu
AO AP 2 x0 2 2x0 4
Q 1 x0 1
uuur uuu
2 AO AP 6
uuur uuu 一 ,
AO AP的最大值为6
13 .能够说明“设BE©是任意实数.若|a b c|,则
的一组整数|a,b,c|的值依次为
1, 2, 3
［解析】取W分别为1, 2, 3不满足
c,故此命题为假命题
(此题答案不唯一)
14 .某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件:
(i ) 男学生人数多于女学生人数；
(ii ) 女学生人数多于教师人数；
(111) 教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为国，则女学生人数的最大值为 ;
②该小组人数的最小值为.
【答案】速
【解析】 ①若教师人数为国人，则男生人数小于回人，则男生人数最 多为国人，女生最多为回人。
②若教师人数为m人，则男生人数少于⑵人，与已知矛盾
若教师人数为国人，则男生人数少于己人，与已知矛盾
若教师人数为回人，则男生人数少于回人，则男生为国人, 女生同人。
所以小组人数最小值为13 4 5 12|人
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤 或证明过程。
15 .（本小题13分）
已知等差数列 ■和等比数列3n满足口"bT^, |a2 a4 10,
b2b4 a5.
（北）求和：b3 b5 L b2ni.
【解析I （ I ）设亘公差为回，回公比为回.
贝U a2 a4 2a3 10 ,即 a3 5 .
故 ％ a, 2d 5 1 4|, gp[d2 *
an 1 2 n 1 2n 1 (n N ).
（H）由（I）知 忖5 9|,即|b2b4 9|,则回色 9，|q2 3
Q bn |为公比为回的等比数列.
bnh b5L ,b2nj构成首项为乩 公比为|q2 3的等比数列.
(nN).
1 1 3n 3nl
b1 b3 b5 L b2n1
1 3 2
16 .（本小题13分）
【解析】
f x 1
2
已知函数 f x 用cos 2x — 2sin xcosx 3
f x 3cos 2x - 2sin xcosx
3
1 3
3 cos2x sin2x —— sin2x
2 2
3 1
——cos2x sin2x
sin 2x 3
所以最小正周期T
（n）证明：
由(I )知 f x sin 2x -
Q x —,一
4 4
5
2x — —,一
3 6 6
当2x
,即
2.
f x 2得证.
18.(本小题13分)
某大学艺术专业晅名学生参加某次测评，根据男女学生人数比 例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 画名学生，记录他们的分 数，将数据分成□组：| 20,30 | 30,40 …，| 80,90 并整理得到如
下频率分布直方图：
(I)从总体的 地名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 区的概
率；
(II)已知样本中分数小于 园的学生有因人，试估计总体中分数在区 间］40,50 1内的人数;
(III)已知样本中有一半男生的分数不小于 园，且样本中分数不小
于田的男女生人数相等 试估计总体中男生和女生人数的比例.
【解析】
(I)由频率分布直方图得：
分数大于等于 定的频率为分数在| 70,80年口画9司的频率之和,
即|0.4 0.2 0且,由频率估计概率
□分数小于回的概率为1 0.6 0.4
(II)设样本中分数在区间40,50内的人数为凶，则由频率和为用得
x 5 0.1 0.2 0.4 0.2 1
100 100
解之得x 5
20 （人）
□总体中分数在区间140,50 |内的人数为4002 - 100
(III)设样本中男生人数为 回，女生人数为回
Q样本中分数不小于西的人数共有0.4 0.2 100 60 (人)
□分数不小于困的人中男生，女生各占 画人
□样本中男生人数为
a 30 30 60 （人）
女生人数为|b 100 60 40 (人)
□总体中男生和女生的比例为
19.（本小题14分）
如图，在三棱锥 |P ABC — , [ PA AB|, |PA BC|, | AB BC
PA AB BC -2、回为线段FAC的中点，E为线段网上一点.
P
B
(I)求证：|pa bd|：
(II)求证：平面求DE 1平面|PAC|;
(III)当|PA//平面IBDE |时，求三棱锥|E BCD的体积.
【解析】
(I) |QPA AB|, |PA BC|? I ABI BC B"
又|AB I平面 |ABC |, |BC 1y面|ABC
I PA I平面 I ABC |
-IBD 序面I ABC
PA BD
(II)在| ABC |中，回为[ZC中点
3Z|AB BC
BD AC
由(I)知[PA BD ],而 | AC I PA”, [PA, | AC I 平面 I PAC
I BD |平面 | PAC |
又Q BD |平面| PAC |且|BD I平面IbdeI
口平面|BDE |平面［PACq
(III)由题知|pa//|平面［BDE
Q PA |平面 | PAC I,平面 |PAC|平面| BDE DE PA//DE
Q PA |平面［ABC］ DE 平面| ABC
又QD为［AC中点l~~E1为［PCI中点
一 1 1 」. 一 zzi
DE 2 PA 1 , | AC、AB2 BC2 2Q2
1 1 1 p 1 J-
在| ABC|中，DC -AC 22
1 1
VE BCD 八 S BCD DE -
3 3
19.（本小题14分）
已知椭圆©的两个顶点分别为|A 2,0 |B 2,0 J,焦点在冈轴上, 离心率为立.
2
（D求椭圆C的方程；
（II）点同为区轴上一点，过同作区轴的垂线交椭圆国于不同的两 点画］,同，过回作国的垂线交 同于点回 求证：| bdE与「BDN|的 面积之比为匹5.
【解析】（I） Q焦点在团由上且顶点为| 2,0
I a 2|
Qe -- a 2
c 石
Q a2 b2 c2
-Z2 2 2 ~
b a c 1
2
□椭圆的方程为：—y2 1
4
（n）设 D xo,0 且2 xo 2, yM yo，则
2 Xo
y。
口直线［DE： y
2 Xo , (X Xo) yo
Q 脸 Xo" 2’
口直线bn : y
2 Xo
4
Xo" 2 X 2
4
E - Xo
5
Q S BDE
S BDN
S BDE
S BDN
口得证
2 Xo
yo
yo
x 2
(X Xo)
(X 2)
2 4
二，二 yo
5 5
1
产出|
2
1
2BD际
2BD 限|
1 BD
2
4
5y°
yN
yo
20.(本小题13分)
已知函数f(x) ex cosx x.
(I)求曲线|y 囱在点近画处的切线方程;
(II)求函数|f(x)在区间卜，,卜的最大值和最小值
【解析】
(1) f(x) excosx x
f'(x) excosx exsinx 1
□ f '(0) e0 cos0 eosin0 1 0
又 Q f (0) e0 cos0 0=1
口 y囱在点叵画处的切线方程为E3
(II)令 g(x) f '(x) excosx exsinx 1 , x 0,—
・,、 x x, ,x x・、 -x・
g (x) e cosx e sin x (e cosx e sin x) 2e sinx
g(x)庭区间0,-上单调递减 g(x) g(0) 0 |f'(x) 0
回在区间0，2上单调递减
f(x)府最小值f (一) e2 cos—
—— 2 2 2 2
当|x 0|时，f (x)有最大值 f (0) e0 cos0 0 1
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