资源描述
二次插值法亦是用于一元函数 /在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲
线拟合方法的范畴。
一、基本原理
在求解一元函数 /（"）的极小点时，常常利用一个低次插值多项式 尸（色）来逼近原目标函数，
然后求该多项式的极小点（低次多项式的极小点比较容易计算 ），并以此作为目标函数 /（口）
的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时， 可以反复使用此法，逐次拟合，
直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式 尸为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我 们主要介绍二次插值法的计算公式。
假定目标函数在初始搜索区间口用中有三点则）、比⑵和十卜二阴c生④3』,
其函数值分别为 工、石和人 （图1},且满足 ' '」口，，3 ,即满足函数值为两头大
中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数 「（a）为一个二次多项
(1)
式中“口、"1、%为待定系数。
图1
根据插值条件，插值函数 尸（"）与原函数,值）在插值结点6、舄、月处函数值相等，得
声（々山）=佝+口巡3+町酒，
«户b。'）="十勺曰⑶+叼®'" = J2
的+4必㈤+与口电了 =力
L' ^ ' ⑵
为求插值多项式户（口）的极小点式声，可令其一阶导数为零，即
p㈤三的*2的色三口（3）
* 3 ]
% =--
解式⑶即求得插值函数的极小点 （4）
式（4）中要确定的系数:可在方程组（2）中利用相邻两个方程消去 。口而得:
一 ，十卜的 - 1gt炉 % + 4M—才 疗'
(5)
覆L- .一二排金超＞一空0%Q⑴，研））一
卜⑵—厚-十一乂十p./⑵及
…一^"那匚即1*3）3-冽-（6）
Q：
将式（5）、（6）代入式（4）便得插值函数极小值点 声的计算公式：
* 一2.‘ u+（以0（ 一 「依y — 一、y k
把◎『取作区间⑵1内的另一个计算点，比较 色』与""两点函数值的大小，在保持
两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方
法进行三点二次插值运算， 直到满足规定的精度要求为止， 把得到的最后的 / 作为了（◎'）的
近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。
为便于计算，可将式（7）改写为
M + 户--
p 2 C
I “（8）
式中：
产获B⑼
_ --工）/梦'-典』
，= （10）
二、迭代过程及算法框图
（1）确定初始插值结点
通常取初始搜索区间口刀的两端点及中点为值⑴"1㈤了⑵=o一5az⑵）。 计算函数值 /] ^*（、）,，口，（ ■）,弓（ ⑶）,构成三个初始插值结点月、月、
玛
（2）计算二次插值函数极小点 按式（8）计算、，并将4记作点/"，计算异=」（伐叼。若本步骤为对初始搜索区间的 第一次插值或0⑵点仍为初始给定点时，则进行下一步 （3）;否则转步骤（4） （3）缩短搜索区间 缩短搜索区间的原则是：比较函数值 为、£ ,取其小者所对应的点作为新的 山⑵点，并以 此点左右两邻点分别取作新的 "0）和修㈤，构成缩短后的新搜索区间1丘°），比㈤）。其具体方 法则如图2所示，根据原区间中力⑷和B⑵的相对位置以及函数值 E和其之比较有a、b、 c、d四种情况，图中阴影线部分表示丢去的区间。 在对新区间三个新点的代号作依次 加⑴、 盘■制、厦⑤的一般化处理后，计算其函数值，并令工
）, 返回步骤（2）。
图 2 (a)
图 2 (b)
图 2 (c)
图 2 (d)
(4)判断迭代终止条件
在一般情况下，因任⑵是前一次插值函数的极小值点， 是本次插值函数的极小值点， 若
(4) (2) 次㈤一d⑶|国日 ⑷ ⑵
区’和的距离足够小时，即满足 । 一 ，或餐’和日 两者原函数值已很接
近，即满足上.囚”，则停止迭代，这时，若K〈人，输出极小值点, 极小值久=/卜)；否则，即人之人时，输出极小值点1"今次'，极小值工卜)。
如不满足上述迭代终止条件， 则返回步骤(3),再次缩短搜索区间，直至最后满足终止条件。
按上述步骤设计的二次插值法算法框图见图
3。
图3
算法框图中有几点需作些说明。
［判别框& ? ?若成立，按式（9）和式（10）则有
f「八 _ _ 八一 £
说明三个插值结点舄鸿㈤、6（那工）在一条直线上
2 .判别框(△')一 一，')＞。？若不成立，说明落在区间之外。
上述两种情况只是在区间已缩得很小， 由于三个插值结点已十分接近， 计算机的舍入误差才
可能使其发生。此时取 口⑵和九 作为最优解应是合理的。
3 .在初始搜索区间第一次插值或 声’仍为初始给定点时，蜃⑵和/“并不代表前后二次插值
函数极小点，因而判别式। । 并不能确切地反映该不该终止迭代，这时应进行
步骤(3)缩短搜索区间，直至初始点 色 ■1第一次由"’代替，使用判别式 I 一 ？
⑵
进行终止判别才具意义。为此，算法框图中设置开关 k=0和K=1分别表示初始点a 第一次 由""代替前和后的状态。
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