1、- 1 -4 用向量讨论垂直与平行课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行1空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线 l， m 的方向向量分别为 a( a1， b1， c1)， b( a2， b2， c2)且( a2b2c20)，则l m _ _ _(2)线面平行设直线 l 的方向向量为 a( a1， b1， c1)，平面 的法向量为 u( a2， b2， c2)，则l _ _ _(3)面面平行设平面 ， 的法向量分别为 u( a1， b1， c1)， v( a2， b2， c2)
2、，则 _ _ _2空间中垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线 l 的方向向量为 a( a1， a2， a3)，直线 m 的方向向量为 b( b1， b2， b3)，则l m _ _ _(2)线面垂直设直线 l 的方向向量是 u( a1， b1， c1)，平面 的法向量是 v( a2， b2， c2)，则l _ _ _(3)面面垂直若平面 的法向量 u( a1， b1， c1)，平面 的法向量 v( a2， b2， c2)，则 _ _ _一、选择题1若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0，4)，则( )A l B l C l D l 与 斜交2平面 的一个法向
3、量为(1,2,0)，平面 的一个法向量为(2，1,0)，则平面 与平面 的位置关系是( )A平行 B相交但不垂直C垂直 D不能确定3从点 A(2，1,7)沿向量 a(8,9，12)的方向取线段长 AB34，则 B 点的坐标为( )A(9，7,7) B(18,17，17)C(9,7，7) D(14，19,31)4.- 2 -在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a， M、 N 分别为 A1B、 AC 的中点，则 MN 与平面BB1C1C 的位置关系是( )A相交 B平行C垂直 D不能确定5已知 A(3,0，1)， B(0，2，6)， C(2,4，2)，则 ABC 是( )A等边三角形 B
4、等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形6.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是上底面中心，则 AC1与 CE 的位置关系是( )A平行B相交C相交且垂直D以上都不是题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7已知直线 l 的方向向量为(2， m,1)，平面 的法向量为 ，且 l ，则(1，12， 2)m_.8已知 a(0,1,1)， b(1,1,0)， c(1,0,1)分别是平面 ， ， 的法向量，则 ， ， 三个平面中互相垂直的有_对9.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M、 P、 Q 分别为棱 AB、 CD、 BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相
5、等，则( ) A1M D1P； A1M B1Q； A1M面 DCC1D1； A1M面 D1PQB1.以上结论中正确的是_(填写正确的序号)- 3 -三、解答题10在正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 是 B1D1的中点，求证： B1C平面 ODC1.11在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，在棱 BB1上是否存在点 M，使得 D1M平面 EFB1?能力提升12如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA底面 ABCD， PA AB ，点 E 是棱 PB 的中点证明： AE平面2PBC.- 4 -13.如图所示，在四
6、棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD， PD DC， E 是 PC 的中点，作 EF PB 交 PB 于点 F.(1)证明： PA平面 EDB；(2)证明： PB平面 EFD.1平行关系的常用证法证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明 AB CD 只需证 .证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直AB CD 线在平面外证面面平行可转化证两面的法向量平行2垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量
7、垂直- 5 -4 用向量讨论垂直与平行知识梳理1(1) ab a b (2) au au0 a1a2 b1b2 c1c20 (3) uv a1a2 b1b2 c1c2u kv (a2b2c20)a1a2 b1b2 c1c22(1) ab ab0 a1b1 a2b2 a3b30(2)u v u v (a2b2c20) (3) uv uv0 a1a2 b1b2 c1c20a1a2 b1b2 c1c2作业设计1B n2 a， n a， l .2C (1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面也垂直3B 设 B(x， y， z)， ( x2， y1， z7)AB (8,9，12)， 0.故
8、 x28 ， y19 ， z712 ，又( x2) 2( y1) 2( z7) 234 2，得(17 )234 2， 0， 2. x18， y17， z17，即 B(18,17，17)4B 可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量 和 的关系判断AB MN 5C (3，2，5)， (1,4，1)， (2,6,4)， 0，AB AC BC AB AC AB AC，且| | | |，AB AC BC ABC 为直角三角形6C 可以建立空间直角坐标系，通过 与 的关系判断AC1 CE 78解析 l ， l 的方向向量与 的法向量垂直(2， m,1) 2 m20， m8.(1，12， 2) 1280解
9、析 ab(0,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10. a， b， c 中任意两个都不垂直，即 、 、 中任意两个都不垂直9解析 ，A1M AM AA1 DP DD1 D1P A1M D1P. D1P 面 D1PQB1， A1M面 D1PQB1.- 6 -又 D1P 面 DCC1D1， A1M面 DCC1D1. B1Q 为平面 DCC1D1的斜线， B1Q 与 D1P 不平行， A1M 与 B1Q 不平行10证明 方法一 ， B1 A1D，B1C A1D B1C A1D，又 A1D 平面 ODC1， B1C平面 ODC1.方法二
10、B1C B1C1 B1B .B1O OC1 D1O OD OC1 OD ， ， 共面B1C OC1 OD 又 B1C 平面 ODC1， B1C平面 ODC1.方法三 建系如图，设正方体的棱长为 1，则可得B1(1,1,1)， C(0,1,0)，O ， C1(0,1,1)，(12， 12， 1)(1,0，1)，B1C ，OD ( 12， 12， 1) .OC1 ( 12， 12， 0)设平面 ODC1的法向量为 n( x0， y0， z0)，则Error! 得Error!令 x01，得 y01， z01， n(1,1，1)又 n1101(1)(1)0，B1C n，且 B1C 平面 ODC1，B1
11、C B1C平面 ODC1.11解 - 7 -如图所示，分别以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则DA DC DD1 D1(0,0,1)， B1(1,1,1)， E ， F ，设 M(1,1， m)， ，(1，12， 0) (12， 1， 0) EF ( 12， 12， 0) ， (1,1， m1)B1E (0， 12， 1) D1M 若 D1M平面 EFB1，则 D1M EF 且 D1M B1E.即 0， 0，D1M EF D1M B1E Error!， m ，12即存在点 M 且为 B1B 的中点，使 D1M平面 EFB1.12.证明 如图所示，以 A 为坐标原点，射线
12、 AB、 AD、 AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系设 D(0， a,0)，则 B( ，0,0)， C( ， a,0)，2 2P(0,0， )， E( ，0， )222 22于是 ( ，0， )， (0， a,0)， ( ， a， )，则 0， 0.AE 22 22 BC PC 2 2 AE BC AE PC 所以 AE BC， AE PC.又因为 BC PC C，所以 AE平面 PBC.13.- 8 -证明 (1)以 D 为坐标原点，以 DA、 DC、 DP 所在的直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系连结 AC， BD， AC 交 BD 于 G.连结 EG.设 DC a，依题意得 A(a,0,0)， P(0,0， a)， E ，(0，a2， a2)底面 ABCD 是正方形， G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为 ，(a2， a2， 0) ( a,0， a)， .PA EG (a2， 0， a2) 2 .即 PA EG.PA EG 而 EG 平面 EDB 且 PA 平面 EDB， PA平面 EDB.(2)依题意得 B(a， a,0)， ( a， a， a)PB 又 ，DE (0， a2， a2)故 0 0，PB DE a22 a22 PB DE，由已知 EF PB，且 EF DE E，所以 PB平面 EFD.
