资源描述
第 1 章 静力学基础
思考题
1-1 说明下面两个式子的意义。
（ 1） F1=F2 （2） F1=F2
解：
（1）式中F表示力矢量；因此F 1=F2表示力F1和F2的大小相等，方向相 同。
（2）式中F表示力的大小；因此 F1=F2表示力F1和F2的大小相等。
1-2 能否说合力一定比分力大，为什么？
解：
不一定。
例如，大小相等、方向相反，且作用在同一直线上的两个力的合力为零。
1-3 二力平衡原理与作用和反作用定律有何异同？
解：
二力平衡原理是指：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件
是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。
作用和反作用定律是指：任何两个物体间的作用，总是大小相等、方向相
反、沿同一作用线分别作用在两个物体上。
可以看出，二力平衡原理描述的是，两个不同的力作用在同一个物体上的
情况；作用和反作用定律描述的是两个不同物体之间相互作用的情况。但它们
有一个相同点，即上述两种情况下的一对力均满足大小相等、方向相反。
1-4 约束反力的方向和主动力的方向有无关系？
解：
约束反力的方向总是与约束限制物体位移的方向相反。
对于有些约束类型，如具有光滑接触表面的约束，其约束反力必然作用在
接触点处，作用线沿着接触面的公法线方向，且指向被约束物体。又如绳索类
柔性约束，其约束反力只能是沿柔性体的轴线而背离被约束物体的拉力。
而对于圆柱铰链约束等， 其约束反力的作用点位置 （即接触点位置） 、 方向
和大小由构件所受主动力确定。因此，约束反力的方向是否和主动力的方向有
关，取决于约束类型。
1-5什么叫二力构件？分析二力构件受力时与构件的形状有无关系？
解：
所谓二力构件，是指只有两点受力而处于平衡状态的构件，如下图所示。
1-18 (c)
二力构件受力时, 与构件的形状无关。
二力大小相等、方向相反，且都沿两作用点的连线方向;
1-6图1-18所示物体的受力图是否正确？如有错误如何改正?
(a) (b)
图 1-18
解：
图1-18 (b)所示受力图错误，正确的受力图所图 1-18 (c)所示。
练习题
题1-1画出图1-19中各物体的受力图。假定所有接触均为光滑接触，且 除有特殊说明外物体的重力忽略不计。
鱼
(a) 口
(c)
(e)
(g)
3
(b)
(d) a,
⑴
(h)
图 1-19
解:
(a)
(b)
(f)
(h)
图 1-19
题1-2改正图1-20各受力图中的错误。
(c)
第2章平面基本力系
思考题
2-15 所
2-1已知F 1、F2、F3、F4的作用线汇交于一点，其力多边形如图 示，试问这两种力多边形的意义有何不同？
(a)
图 2-15
解：
图2-15 (a)中，力多边形自行闭合，合力为零。
图2-15 (b)所示的力多边形中， F1、F 2、F 3的合力F 4；因此该力多边形
中，F1、F2、F3、F4 的合力为 2F4。
2-2用解析法求平面汇交力系的合力时， 若取不同的直角坐标轴， 所求得
的合力是否相同？
解：
用解析法求平面汇交力系的合力时，选取不同的直角坐标轴，只会影响各 力在两坐标轴上的投影，不会影响最终计算结果，即所求得的合力是相同的。
2-3
说明之。
力的分力与投影这两个概念之间有什么区别和联系？试结合图
2-16
(a)
60"
(b)
图 2-16
解:
2-16 (a)
分力仍然是一个力，是矢量；力在某轴上的投影是标量。如图 所示，力F沿x、y轴的分力分别为
3 i
F x = - F i, F y =二 F j
2 2
力F在x、y轴上的投影分别为
F = —3 F F = 1 F
x ， y
2 2
图2-16 (b)中，力F沿x、y轴的分力分别为
F x =Fi,F y =F j
力F在x、y轴上的投影分别为
1 1
Fx =7 F, Fy =- F
2 2
因此，力在两正交轴上的分力的大小，分别等于力在对应轴上的投影。
2-4 比较力矩和力偶矩的异同。
解：
力矩是力使物体产生转动效应的度量，其大小与矩心位置有关；而力偶矩 是力偶使物体产生转动效应的度量，其大小与矩心位置无关。
力矩和力偶矩都是代数量，其符号“土”表示转向，力(或力偶)使物体 绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负；力矩和力偶矩的单位都是 N?m或
KN?m。
练习题
题2-1如图2-17 (a)所示，等边三角形的边长为 1,现在其三顶点沿三
边作用大小相等的三个力 F ,试求此力系向B点简化的结果。
c
(a)
(b)
图 2-17
解：
(1)建立直角坐标系 xBy
(2)分别求出A、B、C各点处受力在x、y轴上的分力
l Ill 3
Fax 二 一一 F , FAy = — 一
2 2
Fbx = F,FBy = 0
i .3
Fcx = - -F,Fcy - F
2 2
(3)求出各分力在 B点处的合力和合力偶
1 1
' Fx =Fax Fbx Fcx = F F F = 0
2 2
' Fy = FAy • FBy %y =
'、Mb =FByL =3l
y 2
因此，该力系的简化结果为一个力偶矩
M =J3Fl/2,逆时针方向。
B点作用有水平力F,钢架重力忽
题2-2 如图2-18 (a)所示，在钢架的 略不计。试求支座 A、D的约束反力。
B
C
a
(a) (b)
图 2-18
解：
(1)以钢架为研究对象。
(2)分析钢架受力情况。 钢架受到力F以及约束反力F Ax、F Ay和F D的作 用而处于平衡状态。 由力偶系平衡条件知， 约束反力FAx与力F构成一个力偶，
Fax=F,且由此可以确定的方向 F Ax为水平向左；约束反力 F Ay与FD构成一个
力偶，FAy=FD,假设方向如图2-18 (b)所示。上述2个力偶应满足力偶系平衡 条件。
(3)根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量
、M -0,-aF 2aFD -0
可解得FAy=FD=F/2。求得结果为正，说明 FAy和FD的方向与假设方向相同。
题2-3如图2-19 (a)所示，水平梁上作用有两个力偶， Mi=60kN?m,
M2=40kN?m,已知AB=3.5m,试求 A、B两处支座的约束反力。
3.5jn
(a)
(b) 图 2-19 解：
(1)以梁AB为研究对象。
(2)分析梁AB受力情况。梁 AB受到两个力偶 Mi和M2,以及两个约束 反力F a和Fb的作用而处于平衡状态。由力偶系平衡条件知，支座 A和B对梁 AB的约束反力F a和F b应构成一个力偶，且与原合力偶平衡，又因为 F b的方
位垂直于滚动支座支承面，指向假设如图 2-15 (b)所示，从而可以确定 Fa的
方向。即有Fa=Fb,且满足力偶系平衡条件。
(3)根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量
% M =0,-M1 M2 -lABFA =0
将题中条件代入后，可解得
FA = FB = -iQkN
求得结果为负，说明 FA和FB的方向与假设方向相反。
A、B两
题2-4 如图2-2Q (a)所示，已知 M=2Fl ,其余尺寸如图，试求
处支座的约束反力。
(a)
图 2-2Q
解：
(1)
以图示支架ACB为研究对象。
(2)分析支架受力情况。
支架受到力F、力偶M,以及3个约束反力F ax、
F与F ax应构成一
F Ay和F B的作用而处于平衡状态。由力偶系平衡条件可知,
个力偶Mi, F ax的方向水平向右；F Ay和F B应构成另一个力偶 M2,假设F Ay和 F b的方向如下图2-20 (b)所示。上述力偶系应满足力偶系平衡条件。
(3)根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量
Fax =F
、M =0,旦-M FbI =0
2
可解得
3
FAy = FB = F F
结果为正，说明F Ay和F B的实际方向与假设方向相同，如图 2-20 (b)所示。
第3章平面任意力系
思考题
3-1什么叫力系的主矢？它与合力有什么区别和联系？它与简化中心的 位置有没有关系？
解：
平面任意力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢；主矢与简化中心 的位置无关。
平面任意力系的合成结果为一个主矢和一个主矩；当主矩为零时，平面任 意力系的主矢就是合力。
3-2什么叫力系的主矩？它是否就是力偶系的合力偶矩？它与简化中心 的位置有没有关系？
解：
平面任意力系中所有各力对任选简化中心之矩的代数和，称为该力系的主 矩。主矩一般与简化中心有关。
合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。在平面力偶系中，各分力偶的合力偶 矩等于该力系的主矩。
3-3已知一平面任意力系可以简化为一个合力， 问能否通过选择适当的简
化中心，把力系简化为一个合力偶？反之，如果已知力系可以简化为一个合力
偶，问能否通过选择适当的简化中心，把力系简化为一个合力？为什么？
解：
当平面任意力系的简化结果为一个合力时，无法进一步把力系简化为一个
合力偶；反之亦然。因为，合力和合力偶都是平面任意力系简化的最简结果。
3-4 什么叫静不定问题？如何判断问题是静定还是静不定？如图 3-8所示
(a)、(b)、(c)三图中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？
(a) (b) (c)
图3-8
解：
当整个物体系平衡时，物体系内各个刚体也处于平衡状态。因此对每个受 平面任意力系作用的刚体，都可以列出 3个独立的平衡方程。那么对由 n个刚
体组成的物体系来说，独立平衡方程的数目为 3n。如果物体系中未知量的总数
等于或小于独立平衡方程的数目时，则所有的未知量都可以由平衡方程求出， 这样的问题称为静定问题。如果物体系中未知量的总数大于独立平衡方程的数 目时，则未知量不能全部由平衡方程求出，而只能求出其中的一部分未知量， 这样的问题称为静不定问题。
图3-8 (a)中刚体的数目为 1个，可列出3个独立的平衡方程，而 A、B 点处共有4个约束反力，无法完全求解，属于静不定问题。
图3-8 (b)中刚体的数目为 2个，可列出6个独立的平衡方程，而 A、B 及中间校接点处共有 6个约束反力，可以完全求解，属于静定问题。
图3-8 (a)中刚体的数目为 2个，可列出6个独立的平衡方程，而 A、B 点处共有7个约束反力，无法完全求解，属于静不定问题。
练习题
题3-1如图3-9所示，半径为r的圆盘上，以。为中心，边长为r的正方 形的四个顶点上分别作用着力 F1、F 2、F 3、F 4。已知Fi=F2=F3=F4=F,该力系
对。点的主矩为Mo=2rF。问该力系对 O'点的主矩Mo为何彳I? Mo与Mo间有 何关系？为什么是这种关系？
图3-9
解：
该力系的主矢为
F'r =Fi F2 F3 F4 =0
因为主矢为零，力系简化为一个合力偶。这种情况下，力系的主矩与简化 中心的位置无关，因此
MO' =MO =2rF
题3-2 如图3-10 (a)所示，已知F1、F2、F3分别作用在点C、0、B点 上，OABC是一个正方形，边长为a (单位为mm), Fi=2kN , F2=4kN , F3=10kN , 方向如图所示。求力系的最终简化结果。
(a) (b)
图 3-10
解：
(1)建立直角坐标系 Oxy如图3-10 (b)所示
(2)将题述力系向 O点简化
F'rx =" Fx =3F3 -Fl =4kN
5
_ 一_ 4 _ _
F'Ry = ' Fy =—F3 — F2 =4kN
5
F'r 二 J(F'Rx)2+(F'Ry)2 =4V2kN , tan8=FRy=1= 9= 45s
F Rx
MO = F1a - F3xa F3ya =4akN|_mm
由于该力系的主矢、主矩都不等于零，即力系简化的结果为一个力和一个 力偶，根据力的平行定理的逆定理可知，主矢和主矩可合成为一个合力。该合 力Fr矢量等于主矢F'r,作用线在O点右下方过O'点的直线，且简化中心到合 力作用线的距离为
d人旦
F'r 2
题3-3如图3-11 (a)所示，平面任意力系中F〔=40 J2 N, F2=80N ,F3=40N ,
F4=110N, M=2000N ?mm ,各力作用线位置如图所示(图中单位为 mm)。求力
系向O点简化的结果。
(a) (b)
图 3-11
解：
(1)力系向O点简化的主矢
FRx = ' Fx = ~~ F1 - F2 - F4 - -150N
2
FRy uFy =~~F1 - F3 =0
2
Fr =\(Frx)2 (FRy)2 =150N
主矢Fr方向沿x轴负方向。
(2)力系向O点简化的主矩
MO =30F2 50F3 -30F4 -M = -900N[mm ,顺时针方向
力系向O点简化的结果如图3-11 (b)所示。
题3-4无重水平梁的支承和载荷如图 3-12 (a)所示，已知力F、力偶矩
M和强度为q的均匀载荷。求支座 A和B处的约束反力。
(a)
(b)
图 3-12
解：
(1)以梁为研究对象，受力情况如图 3-12 (b)所示
(2)建立直角坐标系，列出平面任意力系的平衡方程，并求解未知量
'、Fx =0,Fax =0
V Fy =0,*Ay Fb -F =0
'、. Ma( F )=0,-M FB12a-F_3a =0
可解得
Fax =0
1
FAy (aF M)
2a 1
FB = —(3aF M )
2a
题3-5如图3-13 (a)所示，起重机重 P1=10kN,可绕铅直轴 AB转动，起 重机的吊钩上挂一重为 P2=40kN的重物，起重机的重心 C到转动轴的距离为
1.5m,其他尺寸如图所示。试求在止推轴承 A和轴承B处的约束反力。
(a)
(b)
图 3-13
解：
(1)以起重机为研究对象，受力情况如图 3-13 (b)所示
(2)建立直角坐标系，列出平面任意力系的平衡方程，并求解未知量
▼ Fx =0,Fax Fb =0
"Fy =0,FAy —R -P2 =0
'、. M a(F) =0,—FB^m — P」.5m _ P2_3.5m=0 可解得
Fax =31kN, FAy =50kN, Fb =-31kN
Fb为负，说明假设方向与实际方向相反，即应水平向左。
第4章摩擦
思考题
4-1什么是静滑动摩擦力？其方向和大小是如何确定的？有人说摩擦力 的方向永远与物体的运动方向相反，对吗？试举例说明。
解：
两个表面粗糙且相互接触的物体之间，有相对滑动的趋势时，在接触面上 产生与相对滑动趋势相反的阻力，这种阻力称为静摩擦阻力。摩擦力的方向与 物体的相对运动或相对运动趋势方向相反，而不是与物体的运动方向相反。
下图所示为一个传送机构，在图(a)所示上料过程中，物块的运动方向与 静摩擦力的方向均向上，二者方向相同；而在图( b)所示的下料过程中，物块 的运动方向沿传送带向下， 静摩擦力方向沿传送带向上， 二者方向相反。因此, 静摩擦力的方向一定与相对运动趋势方向相反，但不一定与运动方向相反。
(a) (b)
4-2什么是最大静滑动摩擦力？它与静滑动摩擦力有什么区别和联系？
解：
最大静滑动摩擦力是静滑动摩擦力的一个临界值。超越该临界值后，物体 将发生相对滑动，此时静滑动摩擦力就被动滑动摩擦力所取代。
4-3 如图4-6所示，已知 P=100N, F=500N,摩擦系数fs=0.3,求此时物 体所受的摩擦力。
图4-6
解：
由题意，可首先计算出墙面能够提供给物块的最大静摩擦力，
Fmax = fsFN =0.3 500N =150N
由于
P -100N :二 Fmax -150N
因此，物体将处于静止状态，此时物体所受的摩擦力为铅直向上的静摩擦 力，且有
Fs = P =100N
4-4如图4-7所示，重为P的物体置于斜面上，已知摩擦系数为 fs,且有 tanKfs,问此物体能否下滑？如果增加物体的重量或在物体上再加一重量为 P1
的物体，问能否达到下滑的目的？为什么？
「上
(a) (b)
图4-7
解：
如图4-7所示，假设物体不下滑，则物体受到沿斜面向上的静摩擦力 F s ,
由静力平衡方程可知，
Fs = Psin 工
而斜面能够提供给物体的最大静摩擦力 Fmax的大小为
Fmax = Nfs = Pcos： fs Pcos： tan： = Psin ：
max s s
由于斜面能够提供给物体的最大静摩擦力大于维持物体不下滑所需要的摩 擦力，因此物体不下滑。
同理可证，增加物体的重量或在物体上再加一重量为 P 1的物体，不能达到
下滑的目的。
4-5何谓自锁现象？试举例说明。
解：
定义全约束反力与接触线法线的夹角为 也其达到最大值 M称为摩擦角。 如果作用在物体上的全部主动力的合力的作用线在摩擦角 水之内，则无论这个
力多么大，物体必然保持平衡，这种现象称为自锁现象。其中， garctanfs。
在工程中，自锁现象有广泛的应用。例如，机床夹具、固定或锁紧螺丝、 压榨机、千斤顶等等，自锁现象可以使它们始终保持在平衡状态下工作。
4-6如图4-8所示，重为P的物体置于水平面上，力F作用在摩擦角之外， 已知0=25°,摩擦角 后20° , F=P。问物体能否被推动？为什么？
图4-8
解:
若要推动物体，力 F在水平方向上的分力 Fx必须克服地面提供给物体的
最大静摩擦力Fmax。
而本题中
Fx=Fsin 二-F sin25 '=0.4226F
Fmax =Nfs u(Fcos25 P)Ltan20
由于F = P
Fmax=F(cos25 1)Ltan20 =0.6939F
因此FxFmax,物体运动，Fmax =NN = NW =0.28U00N = 28N
题4-2 判断图4-10中的物体能否静止？并求这两个物体所受摩擦力的大 小和方向。已知
(1)图(a)中，物体重 W=1000N,拉力 P=200N, fs=0.3,尸0.28;
(2)图(b)中，物体重 W=200N,压力 P=500N, fs=0.3,尸0.28。
(a)
(b)
图 4-10
解：
(1)图 4-10 (a)中，
Fmax = fsN -fSW -0.3b000N = 300N
P=200N Fmax,物体运动，Fd = NN =叩=0.28 M 500 N =140 N ,动摩
擦力方向铅直向上。
题4-3如图4-11 (a)所示，物块与传送带之间的静摩擦系数 fs=0.5。试
问传送带的最大倾角 。为多大？
(a)
(b)
图 4-11
解：
以物体为研究对象，受力情况如图 4-11 (b)所示，由平面汇交力系的平 衡方程，可知
Fs = Psin1
N = Pcos?
由临界状态下的补充方程，可知
Fmax = Nfs
从而
- F Psini -
fs= — tan【= —arctan fs = arctan0.5 = 26.565
N P cos1
题4-4 如图4-12 (a)所示，圆柱重 W=500N ,直径d=24cm ,圆柱与 V
型槽间的摩擦系数fs=0,2o试求转动圆柱的最小力偶矩。
图 4-12
解：
(1)以圆柱为研究对象，并考虑临界状态，受力情况如图 4-12 (b)所示
(2)建立图示直角坐标系， 列出平面任意力系的平衡方程， 及临界状态下
的补充方程
“ Fx =0,F1 FN2 -Wcos45 =0
“ Fy -0,-F2 Fni —Wsin45' -0
'、, MO(F) =0,F1r F2r -M =0
Fi = fFNi
F2 = fFN2
可解得
— 1 f
Fni 2W cos45 = 408N
1 f2
— 1 -■ f
FN2 =——^Wcos45 -272N 1 f2
M =(F1 F2)r = f (FN1 FN2)r =1632N|_m
题4-5 如图4-13 (a)所示，两根相同的均质杆 AB和BC,在端点B用光 滑钱链连接，A、C端放在不光滑的水平面上，当 ABC成等边三角形时，系统
在铅直面内处于临界平衡状态。求杆端与水平面间的摩擦系数。
(a)
(b) (c)
图 4-13
解：
(1)先以AB、BC杆整体为研究对象，设杆重均为 P,杆长均为1,受力
图如图4-13 (b。所示。由对称性原理及平面任意力系的平衡条件可知，
Na =Nc =P
FA - FC
(2)以AB为研究对象，受力图如图 4-13 (c)所示。由平面任意力系的 平衡条件，对于B点，有
"MB(F…其目
1 P上-Na_- =0
. 2
将Na=P, FA=fNA代入上式，可解得
f 二
6
第5章空间力系
思考题
5-1用矢量积「aMF计算力F对。点之矩，当力沿其作用线移动，改变
了力作用点的坐标 x、v、z,其计算结果是否变化？
解：
如下图所示，力 F的作用线沿 AB, O点为矩心，则力对该点之矩，称为 力矩矢，用MO (F)表示。力矩矢 MO (F)的模(即大小)等于力 F与力臂d 的乘积，方位垂直于力 F与矩心O所决定的平面，指向可用右手法则来确定。 即有
M0(F |=匕阡| = Fd =2Aoab
当力沿其作用线移动时， AOAB的面积Aoab保持不变，力矩矢的大小和
方位保持不变，因此计算结果没有变化。
5-2力对轴之矩的意义是什么？如何计算？如何确定其正负号？哪些情 况下力对轴之矩等于零？
解：
力对轴之矩用于度量力对刚体绕定轴的转动效应。如果将力 F对z轴之矩
用Mz (F)表示，则有
Mz(F ) = M0( F ) = -FLd
其中，正负号用于表示转向。 从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动, 取正号；反之，取负号。或用右手螺旋法则来确定：即以右手四指表示力使物
体绕z轴转动的方向，若拇指的指向与 z轴的正向相同，取正号；反之取负号。
当力与转轴平行时，此力在垂直于该轴平面上的分力为零，此时力对 该轴之矩为零。此外，当力与转轴相交时，力对该轴之矩也为零。
5-3试根据空间任意力系的平衡方程，推导出各种特殊力系的平衡方程。
解：
空间任意力系简化的结果是一个主失和一个主矩，因此空间力系平衡的充 要条件为：各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零，且各力对此三轴之 矩的代数和分别等于零。即
'、Fx =0「Fy =0「Fz =0
、、Mx( F ) =0「My( F ) =0「Mz( F )=0
根据空间任意力系的平衡方程，可以推导出前面几章中的各种特殊力系的 平衡方程。
例如，对于平面汇交力系，由于各力在z轴上的投影都等于零， 故有 丁=0; 而各力对三个坐标轴之矩也都等于零，故有 2M乂 F )=0、2My( F )=0、2Mz( F)=0。 因此，平面汇交力系的平衡方程可以简化为
“ Fx =。
x
' Fy =0
5-4对任意物体，如果它具有对称面，则该物体的重心是否一定在对称面 上？为什么？
解：
对于均质物体来说，如果它具有对称面，则该物体的重心一定在对称面上。 而对于非均质物体，则不一定。
5-5均质等截面直杆的重心在哪里？若把它弯成半圆形， 重心位置如何变
化？
解：
均质等截面直杆的重心位于杆的中心处。若把它弯成半圆形，重心位置变 为Xc=2r/jt,如下图所示。
题5-1
轴之矩。
解：
首先求出力
图 5-20
F 2在X、y轴上的分力，分别为
Fx2 =F2
200
2F2
2002 3002 13
= 166.41N ,方向沿x轴负方向;
5-6 计算同一物体的重心， 如选两个不同的坐标系， 则对于这两个坐标系 计算出来的重心坐标是否相同？如果不相同，这是否意味着物体的重心相对位 置随坐标系的选择不同而变化呢？
解：
计算同一物体的重心，如选两个不同的坐标系，则对于这两个坐标系计算 出来的重心坐标会有所不同，这说明物体重心的坐标随坐标系的选择不同而变 化，但物体的重心相对位置是不变的。物体重心所在的位置，与该物体在空间 的位置无关。
练习题
如图5-20所示空间力系，已知 Fi=100N, F2=300N,求力系对y
Fy2 = F2 i 300 = 3^2 =249.62N ,方向沿 y轴正方向。
..2002 3002 13
由合力矩定理可得到力 F对y轴之矩
My(F ) = —Fl [200mm —FzxL100mm = -36.64N_m ,沿 y 轴负向看为顺 时针方向。
题5-2 求图5-21所示力F=1000N对于z轴的力矩Mz。
图 5-21
解：
首先求出力F在x、y轴上的分力，分别为
102 302 10 F
Fx=F 169N
102 302 502.102 302 35
;102 302 30 3F
Fy =F = 一 二507N
,102 302 502 .102 302 35
由合力矩定理可得到力 F对z轴之矩
Mz(F )二一Fxk100 50)mm - FyJ50mm = -101.4N|_m
顺时针转向。
题5-3如图5-22所示，水平圆盘的半径为 r,外缘C处作用力F。力F 位于铅垂面内，且与 C处圆盘切线夹角为 60。，其他尺寸如图所示。求力 F对 x、v、z轴之矩。
图 5-22
解：
力F在三个轴上的分力分别为
Fx = F cos60 cos30 = -3 F
x 4
_ _ 1 _
Fy = F cos60 sin 30 F
y 4
Fz =Fsin60 =-^F
2
由合力矩定理可得到力 F对x、v、z轴之矩
Mx(F) =hFy-rFzcos30 上(h-3r)
v 4
3F
My(F ) =hFx rFzsin30 =-F(h r)
v 4
1
Mz(F ) = -rF cos60 = — Fr 2
题5-4如图5-23 (a)所示，力F作用在长方体上，力的作用线位置如图 所示。试计算：
(1) F在y轴上的投影;
(2) F在z轴上的投影
(3) F对AB轴之矩。
(a)
(b)
图 5-23
解：
(1)设F与水平面的夹角为 以力在水平面上的投影为 F
夹角为&如图5-23 (b)所示，由二次投影定理
Fyz与y轴的
Fy - -F cos - cos :
zaF
「a2、2,2
(2)力F在z轴上的投影;
Fz
=-F cos s sin
-bF
.a2 b2 c2
(3)力F对AB轴之矩
M ab = Fylc =——a" ,逆时针转向。
y 2 2 2
.a b c
题5-5 如图5-24所示，已知像刀杆刀头上受切削力 Fz=500N,径向力
Fx=150N,轴向力Fy=75N ,刀尖位于 Oxy平面内，其坐标为x=75mm , y=200mm。
试求被切削工件左端 O处的约束反力。
图 5-24
解：
由空间任意力系的平衡方程
Fx =0, -Fx Fox = -150N F0x = 0
、Fy =0,-Fy Foy = -75N Foy =0
v Fz =0, -Fz Foz = -500N Foz =0
、Mx(F ) =0,Mx -Fzb00mm = Mx -500NN00mm = 0
、My(F ) =0,My Fz[75mm = My 500NJ75mm = 0
M 式F )=0,Mz FxL200mm - Fy_75mm
=Mx 150N 1200mm -75NJ5mm = 0
可解得
Fox =150N,Foy =75N, F0z =500N;
Mx =100N[m,My - -37.5N_m,Mz - -24.375N_m
20mm,试求
题5-6如图5-25 (a)所示，平面图形内每一方格的边长为 图示面积重心的位置。
(a)
图 5-25
解：
本题可采用负面积法求解。
图示平面可看成是大矩形 ABCD去除2个小矩形以及1个圆后剩余的部分,
各部分的面积和重心坐标分别为
2
§ =22400mm , x1 = 80mm, y1 = 70mm;
2
S2 = -2400mm , x2 = 140mm, y2 = 110mm;
2
S3 - -1600mm , x3 =40mm,y3 = 130mm;
2
S4 - 400二 mm ,x4 = 40mm, y4 = 60mm;
剩余部分的重心为
£ 6 区 £ sTy
xC = =78.26mm,yC = - = 59.63mm
C '、Si 、S
题5-7 求图5-26所示工字钢截面的重心，尺寸如图所示。
-200mm- 您,
7ES
lEEOSTTnl
图 5-26
解：
本题可采用分割法求解。
图示工字钢截面可看成是由 3个小矩形组合而成的，各部分的面积和重心
坐标分别为
2
S1 =4000mm ,x1 = -10mm, y1 =0;
2
S2 =4000mm ,x2 = 100mm, y2 =0;
2
S3 =3000mm , x3 = 210mm, y3 =0;
因此，截面重心为
'、S&
xC =一、 =90mm, yC =0
第6章 点的运动学和刚体基本运动
思考题
6-1什么叫点的运动方程？什么叫点的轨迹方程？二者有什么区别和联 系？能否由点的轨迹方程确定点的运动方程？
解：
点的运动方程，是描述动点坐标随时间变化的方程；点的轨迹方程，是描 述动点运动轨迹的空间曲线方程。
在点的运动方程中，消去参变量时间 t,则可以得到点的轨迹方程；但无
法由点的轨迹方程确定点的运动方程。
a dv和% dr和dr有何异同？
dt dt dt dt
解：
业用于描述点的速度矢量随时间的变化，即为点的加速度，它是一个矢
dt
量；而dv则用于描述点的速度大小随时间的变化，即点的切向加速度大小，
dt
它是一■个标量。
dr
dr是指点的速度
dt
dr
”用于描述点的速度，包含大小和方向，是一个矢量;
dt
大小，是一个标量。
6-3若动点在某瞬时的加速度为零， 是否此时动点的速度也一定为零？反
之，若动点在某瞬时的速度为零，是否此时动点的加速度也一定为零？
解：
动点在某瞬时的加速度为零，说明在该瞬时动点的速度变化为零，但此时 动点的速度不一定为零；反之，若动点在某瞬时的速度为零，但其速度变化不 一定为零，即此时动点的加速度也不一定为零。
6-4如图6-14所示，点作曲线运动，点的加速度 a为恒矢量。问这种情
况下点是否作匀变速运动？
——工
图 6-14
解：
匀变速运动的特征是动点的角加速度 a为常数，在图示中虽然点的加速度
a为恒矢量，但其角加速度却 a非常数，因此这种情况下点并不作匀变速运动。
6-5点作曲线运动，判断下列说法是否正确？
(1)若切向加速度为正，则点作加速运动；
(2)若切向加速度和速度符号相同，则点作加速运动；
(3)若切向加速度为零，则速度为常矢量。
解：(1)错误；(2)正确；(3)错误。
6-6 "各点都作圆周运动的刚体一定是定轴转动” 。这种说法是否正确？
解：
上述说法不正确。
6-7刚体绕定轴转动时，刚体上各点的运动轨迹一定是圆周吗？
解：
不一定。若转轴位于刚体内，则刚体中位于转轴上的各点位置始终不变。
6-8 手表的时针、分针和秒针的角速度各是多少？
解：
时针、分针和秒针的角速度分别为 2化go rad/s、彳mrad/s和 rad/s。
练习题
题6-1已知M点的运动方程
x =0.2-0.1t2(m)
y = 0.2t(m)
试求：点M的轨迹方程、速度及加速度。
解：
点的轨迹为
2
x =0.2 -2.5y2
点的速度为
dx dy
v =Vxi Vyj =王i 端 j = -0.2(ti - j)(m /s)
点的加速度为
a =ax i ay j =匿 i
d-y j =-0.2i(m /s2) dt2
点的轨迹、速度和加速度如下图所示。
题 6-2 如图 6-15 (a)所本机构，已知 OiA = O2B = AM = r = 0.2m, O1O2
= AB, O1轮按规律(f)= 15 71t运动。试求t= 0.5s时，M点的速度和加速度。
图 6-15
解：
由题意，O1O2BA是平行四边形，AB作半径为r的圆周运动，AB杆作平动, 根据平动特性，杆上各点的速度、加速度都相同，因此求出了 A点的速度和加
速度，也就求出了 M点的速度和加速度。
首先确定 AB杆的位置。t=0.5s时，中=15兀父0.5 = 7.5nrad。该瞬时杆
AB位于最下方，如图 6-15 (b)所示。
轮Oi作定轴转动，其角速度为
d :
=——=15二 rad / s dt
故A点的速度为
vA = r =15二 0.2 =9.42m /s
由于角速度为常量，因此 A点的切向加速度为零，只有法向加速度，即
2 2 2
:2 A = r = 15二 0.2 = 444m/s
进而可以求出AB杆上M点的速度和加速度分别为
vM =vA = 9.42m/s,方向水平向右；
2
mm =0-a = 444m / s ,方向竖直向上。
题6-3如图6-16 (a)所示机构，其中刚体的速度和角加速度分别为 ④和
以试求A、M点的速度、切向及法向加速度的大小和方向。
(a)
图 6-16
解：
刚体作定轴转动，其上所有点均作以 O为圆心的圆周运动
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