1、- 1 -3.2.2 复数代数形式的乘除运算明目标、知重点1掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念 1复数的乘法法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则 z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i.2复数乘法的运算律对任意复数 z1、 z2、 z3C，有交换律 z1z2 z2z1结合律(z1z2)z3 z1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2 z3) z1z2 z1z33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数， z 的共轭复
2、数用 表示即 z a bi，则 a bi.z z4复数的除法法则设 z1 a bi， z2 c di(c di0)，则 i.z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2情境导学我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律么？探究点一 复数乘除法的运算思考 1 怎样进行复数的乘法？答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可思考 2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？- 2 -答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1.例 1 计算：(1)(
3、12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i) 2.解 (1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)3 2(4i) 29(16)25；(3)(1i) 212ii 22i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等跟踪训练 1 计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i) 2.解 (1)(2i)(2i)4i 24(1)5；(2)(12i) 214i(2i) 214i4i 234i；思考 3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，
4、再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)例 2 计算：(1) ；(2)(12i) 2；4 3i4 3i 4 3i4 3i(2)( )6 .1 i1 i 2 3i3 2i解 (1)原式 ；4 3i24 3i4 3i 4 3i24 3i4 3i 16 9 24i42 32 16 9 24i42 32 7 24i25 7 24i25 1425(2)方法一 原式 61 i22 2 3i3 2i32 22i 6 1 i.6 2i 3i 65方法二 (技巧解法)原式 61 i22 2 3ii3 2iii 6 1i.2 3ii2 3i反思与感悟 复数的除法
5、是分子、分母同乘以分母的共轭复数跟踪训练 2 计算：(1) ；(2)7 i3 4i 1 i2 i i- 3 -解 (1) 1i.7 i3 4i 7 i3 4i3 4i3 4i 25 25i25(2) 13i. 1 i2 i i 3 i i 3 ii ii探究点二 共轭复数及其应用思考 1 像 34i 和 34i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数 z 的共轭复数为 .虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数z思考 2 复数 a bi 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是
6、虚数？答 复数 a bi 的共轭复数可表示为 a bi，由于 (a bi)(a bi) a2 b2 ，所以两个共轭复数之积为实数思考 3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即 z zR，利用这个性质可证明一个复数为实数z(3)若 z0 且 z 0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数z思考 4 z 与| z|2和| |2有什么关系？z z答 z | z|2| |2.z z例 3 已知复数 z 满足| z|1，且(34i) z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z解 设 z a bi(a，
7、bR)，则 a bi 且| z| 1，即 a2 b21.z a2 b2因为(34i) z(34i)( a bi)(3 a4 b)(3 b4 a)i，而(34i) z 是纯虚数，所以 3a4 b0，且 3b4 a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i，或 i.z45 35 z 45 35反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪训练 3 已知复数 z 满足： z 2i z86i，求复数 z 的实部与虚部的和z解 设 z a bi(a， bR)，则 z a2 b2，z a2 b22i( a bi)86i，即 a2 b22 b2 ai86i，Error
8、!，解得Error! ， a b4，复数 z 的实部与虚部的和是 4.- 4 -1设复数 z 满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( )Ai Bi C1 D1答案 A解析 z i.1i2已知集合 M1,2， zi，i 为虚数单位， N3,4， M N4，则复数 z 等于( )A2i B2i C4i D4i答案 C解析 由 M N4得 zi4， z 4i.4i3复数 等于( )i 21 2iAi BiC i D i45 35 45 35答案 A4复数 z (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )2 i2 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 D解析 因为 z
9、 ，故复数 z 对应的点在第四象限，选 D.2 i2 i 2 i25 3 4i5呈重点、现规律1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z a bi(a， bR)，利用复数相等的充要条件转化.- 5 -一、基础过关1复数i 等于( )1iA2i B. i C0
10、 D2i12答案 A解析 i i 2i，选 A.1i i2i2i 为虚数单位， 等于( )1i 1i3 1i5 1i7A0 B2i C2i D4i答案 A解析 i， i， i， i，1i 1i3 1i5 1i7 0.1i 1i3 1i5 1i73若 a， bR，i 为虚数单位，且( ai)i bi，则( )A a1， b1 B a1， b1C a1， b1 D a1， b1答案 D解析 ( ai)i1 ai bi，Error!.4在复平面内，复数 (1 i)2对应的点位于( )i1 i 3A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 (1 i)2 i(22 i)i1 i 3 12
11、12 3 (2 )i，32 3 12对应点( ，2 )在第二象限32 3 125设复数 z 的共轭复数是 ，若复数 z134i， z2 ti，且 z1 是实数，则实数 t 等z z2于( )- 6 -A. B.34 43C D43 34答案 A解析 z2 ti， ti.z2z1 (34i)( ti)3 t4(4 t3)i，z2又 z1 R，4 t30， t .z2346若 z ，则复数 等于( )1 2ii zA2i B2iC2i D2i答案 D解析 z 2i， 2i.1 2ii z7计算：(1) ( )2 010；2 2i1 i2 21 i(2)(4i 5)(62i 7)(7i 11)(43
12、i)解 (1) ( )2 010 ( ) 1 0052 2i1 i2 21 i 2 2i 2i 22ii(1i)( )1 0051i(i) 1 0051i1ii1.(2)原式(4i)(62i)(7i)(43i)2214i2525i4739i.二、能力提升8设复数 z 满足(1i) z2i，则 z 等于( )A1i B1iC1i D1i答案 A解析 由已知得 z 1i.2i1 i 2i1 i1 i1 i9复数 z 满足( z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 为( )zA2i B2i C5i D5i答案 D- 7 -解析 由( z3)(2i)5 得， z3 2i，52 i z5
13、i， 5i.z10设复数 i 满足 i(z1)32i(i 为虚数单位)，则 z 的实部是_答案 1解析 由 i(z1)32i 得到 z 123i113i. 3 2ii11已知复数 z 满足(12i) z43i，求 z 及 .zz解 因为(12i) z43i，所以 z 2i，故 2i.4 3i1 2i 4 3i1 2i5 z所以 i.zz 2 i2 i 2 i25 3 4i5 35 4512已知复数 z 的共轭复数为 ，且 z 3i z ，求 z.z z101 3i解 z a bi(a， bR)，则 a bi.z又 z 3i z ，z101 3i a2 b23i( a bi) ，101 3i10 a2 b23 b3 ai13i，Error!Error!或Error! . z1，或 z13i.三、探究与拓展13已知 1i 是方程 x2 bx c0 的一个根( b、 c 为实数)(1)求 b， c 的值；(2)试说明 1i 也是方程的根吗？解 (1)因为 1i 是方程 x2 bx c0 的根，(1i) 2 b(1i) c0，即( b c)(2 b)i0.Error!，得Error!. b、 c 的值为 b2， c2.(2)方程为 x22 x20.把 1i 代入方程左边得(1i) 22(1i)20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根
