1、- 1 -2 空间向量的运算课时目标 1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，能用向量的数量积判断向量共线与垂直1空间向量的加法设 a 和 b 是空间两个向量，如图，过点 O 作 a， b，则平行四边形的对角线 OCOA OB 对应的_就是 a 与 b 的和，记作_2空间向量的减法a 与 b 的差定义为_，记作_，其中 b 是 b 的相反向量3空间向量加减法的运算律(1)结合律：( a b) c_.(2)交换律： a b_.4数乘的定义空间向量
2、a 与实数 的乘积是一个_，记作_(1)| a|_.(2)当_时， a 与 a 方向相同；当_时， a 与 a 方向相反；当_时， a0.(3)交换律： a_( R)(4)分配律： (a b)_.( )a_( R， R)(5)结合律：( )a_( R， R)5空间两个向量 a 与 b (b0)共线的充分必要条件是存在实数 ，使得_6空间向量的数量积：空间两个向量 a 和 b 的数量积是_，等于_，记作_7空间向量的数量积的运算律(1)交换律： ab_；(2)分配律： a(b c)_；(3) (ab)_ ( R)8利用空间向量的数量积得到的结论(1)|a|_；(2)ab _；(3)cos a，
3、b_ ( a0， b0)- 2 -一、选择题1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量表达式 化简后的结果是( )DD1 AB BC A. B. C. D.BD1 D1B B1D DB1 2四面体 ABCD 中，设 M 是 CD 的中点，则 ( )化简的结果是( )AB 12BD BC A. B. C. D.AM BM CM DM 3已知 O 是 ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点且 2 0，则 等于( )OA OB OC AO A. B. C. D2OB OC OD OD 4若 a， b 均为非零向量，则 ab| a|b|是 a 与 b 共线的( )A充分不必要条件 B必要不充
4、分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中， E， F 分别是 BC， AD 的中点，则 等于( )AE CF A0 B. C D12 34 126.如图，已知 PA平面 ABC， ABC120， PA AB BC6，则 PC 等于( )A6 B62C12 D144题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7在正四面体 OABC 中， a， b， c， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则OA OB OC _(用 a， b， c 表示)OE 8若向量 a， b 满足| a|1，| b|2，且 a 与 b 的夹角为 ，则| a b|_. 39
5、在 ABC 中，有下列命题： ；AB AC BC 0；AB BC CA 若( )( )0，则 ABC 为等腰三角形；AB AC AB AC - 3 -若 0，则 ABC 为锐角三角形AC AB 其中正确的是_(填写正确的序号)三、解答题10.如图，已知在空间四边形 OABC 中，| | |，| | |.求证： .OB OC AB AC OA BC 11.如图所示，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且 C1CB C1CD BCD.求证： .C1C BD - 4 -能力提升12平面上 O， A， B 三点不共线，设 a， b，则 OAB 的面积等于( )OA OB
6、A. |a|2|b|2 ab2B. |a|2|b|2 ab2C.12|a|2|b|2 ab2D.12|a|2|b|2 ab213.已知在平行六面体 ABCDA B C D中， AB4， AD3， AA5， BAD90， BAA DAA60.(1)求 AC的长(如图所示)；(2)求 与 的夹角的余弦值AC AC - 5 -1空间向量的加减法运算及加减法的几何意义和平面向量的是相同的2空间两个向量 a， b 的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：ab| a|b|cos a， b ，这里 a， b表示空间两向量所组成的角(0 a， b)空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质应用数量积可
7、以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题即(1)利用ab ab0 证线线垂直( a， b 为非零向量)(2)利用 ab| a|b|cos a， b ，cos ，求两直线的夹角(3)利用| a|2 aa，求解有关线段的长度问题ab|a|b|2 空间向量的运算知识梳理1向量 a bOC 2 a( b) a b3(1) a( b c) (2) b a4向量 a (1)| |a| (2) 0 0 0 (3) a (4) a b a a (5) ( a)5 a b6一个数 | a|b|cos a， b ab7(1) ba (2) ab ac (3)( a)b8(1) (2) ab0
8、 (3)aaab|a|b|作业设计1A如图所示， ， DD1 AA1 DD1 AB ，AA1 AB BA1 ，BA1 BC BD1 .DD1 AB BC BD1 - 6 -2A如图所示，因 ( ) ，12BD BC BM 所以 ( )AB 12BD BC .AB BM AM 3C D 为 BC 边中点， 2 ，OB OC OD 0， .OA OD AO OD 4A ab| a|b|cos a， b| a|b|cos a， b1 a， b0，当 a 与b 反向时，不能成立5D ( )AE CF 12AB AC (12AD AC ) | |214AB AD 14AC AD 12AB AC 12AC
9、 cos 60 cos 60 cos 60 .14 14 12 12 126C ，PC PA AB BC | |2( )2PC PA AB BC 2 2 22 2 2 108266 144，PA AB BC PA AB PA BC AB BC 12| |12.PC 7. a b c12 14 14解析 如图， ( )OE 12OA OD - 7 - ( )12OA 12 12OB OC a b c.12 14 148. 7解析 | a b| a2 2ab b2 .1 2212 4 79解析 错， ；正确；正确，| | |；错， ABC 不一定是锐角AB AC CB AB AC 三角形10证明
10、| | |，| | |，OB OC AB AC | | |， OAC OAB.OA OA AOC AOB. ( )OA BC OA OC OB OA OC OA OB | | |cos AOC| | |cos AOB0，OA OC OA OB .OA BC 11证明 设 a， b，CD CB c，CC1 依题意，| a| b|，又设 ， ， 中两两所成夹角为 ，CD CB CC1 于是 a b，BD CD CB c(a b) ca cbCC1 BD | c|a|cos | c|b|cos 0，所以 .C1C BD 12.- 8 -C 如图所示，S OAB |a|b|sin a， b12 |a|
11、b|12 1 cos a， b 2 |a|b| 12 1 ab|a|b|2 |a|b| 12 |a|2|b|2 ab2|a|2|b|2 .12|a|2|b|2 ab213解 (1) ，AC AB AD AA | |2( )2AC AB AD AA | |2| |2| |22( )AB AD AA AB AD AB AA AD AA 4 23 25 22(0107.5)85.| | .AC 85(2)设 与 的夹角为 ，AC AC ABCD 是矩形，| | 5.AC 32 42由余弦定理可得cos |AC |2 |AC |2 |CC |22|AC |AC | .85 25 252855 8510
