1、12017-2018 学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合要求的.1 （5 分）已知集合 A=1，3，4，5，集合 B=xZ|x 24x50，则 AB 的子集个数为（ ）A2 B4 C8 D162 （5 分）计算： =（ ）A2 B2 C2i D2i3 （5 分）在下列区间中，使函数 存在零点的是（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，e） D （3，4）4 （5 分）设随机变量 X 服从正态分布 N（0，1） ，P（X1）=p，则 P（X1）=（ ）Ap B1p C
2、12p D2p5 （5 分）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2mg/ml如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到 0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时 50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车A1 B2 C3 D46 （5 分）如图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：cm 2）等于（ ）A55 B75 C77 D6527 （5 分）某一算法程序框图如图所示，则输出的 S 的值为（ ）A B C D08 （5 分）设不等式
3、组 所表示的区域为 M，函数 y= 的图象与 x 轴所围成的区域为 N，向 M 内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为（ ）A B C D9 （5 分）用数学归纳法证明“1+ + + n（nN *，n1） ”时，由n=k（k1）不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是（ ）A2 k1 B2 k1 C2 k D2 k+110 （5 分）已知函数 f（x）=cos（2x+ ） ，将 y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则 的一个值是（ ）A B C D11 （5 分） “a4”是“方程 x2+
4、ax+a=0 有两个负实数根”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件12 （5 分）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 L，A、B 是抛物线上的两个动点，3且满足AFB= 设线段 AB 的中点 M 在 L 上的投影为 N，则 的最大值是（ ）A B1 C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知两个单位向量 ， 满足| +2 |= ，则 ， 的夹角为14 （5 分）若 dx=a，则（x+ ） 6展开式中的常数项为 15 （5 分）已知 ，则 = 16 （5 分）已知函数 f（x）=（x 2+ax+b）
5、e x，当 b1 时，函数 f（x）在（，2） ，（1，+）上均为增函数，则 的取值范围是 三、解答题：共 70 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17 （12 分）已知等差数列a n满足 a4=6，a 6=10（1）求数列a n的通项公式；（2）设等比数列b n各项均为正数，其前 n 项和 Tn，若 b3=a3，T 2=3，求 Tn18 （12 分）如图，在四棱锥中 PABCD，底面 ABCD 为边长为 的正方形，PABD（1）求证：PB=PD；（2）
6、若 E，F 分别为 PC，AB 的中点，EF平面 PCD，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小19 （12 分）自 2016 年 1 月 1 日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个” “生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随4机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14 周与 16 周，估计
7、某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从 5 种不同安排方案中，随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率；如果用 表示两种方案休假周数和求随机变量 的分布及期望20 （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为F1（2，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y=kx（k0）与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N（）求椭圆 C 的方程；（）在 x 轴上是否存在点 P，使得无论非零实数 k 怎样变化，总有MPN 为直角？若存在，
8、求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x）=ax（lnx1） （a0） （1）求函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）当 a0 时，设函数 g（x）= x3f（x） ，函数 h（x）=g（x） ，若 h（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；证明：ln（123n） 2e1 2+22+32+n2（nN*） （二）选做题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号.如果多做，则按所做第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程（本题满分 10 分）22 （10 分）已知直线 l 的参数方程： （t 为参数） ，曲线 C 的参
9、数方程：（ 为参数） ，且直线交曲线 C 于 A，B 两点（）将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并求 = 时，|AB|的长度；（）已知点 P：（1，0） ，求当直线倾斜角 变化时，|PA|PB|的范围5选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）=log 2（|x1|+|x+2|a） （）当 a=7 时，求函数 f（x）的定义域；（）若关于 x 的不等式 f（x）3 的解集是 R，求实数 a 的取值范围62017-2018 学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，有且仅有一项
10、是符合要求的.1 （5 分）已知集合 A=1，3，4，5，集合 B=xZ|x 24x50，则 AB 的子集个数为（ ）A2 B4 C8 D16【分析】求出集合 B，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：B=xZ|x 24x50=B=xZ|1x5=0，1，2，3，4，则 AB=1，3，4，故 AB 的子集个数为 23=8 个，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据条件求出 AB 是解决本题的关键2 （5 分）计算： =（ ）A2 B2 C2i D2i【分析】先求出（1i） 2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质进行化简【解答
11、】解： = = =2，故选 A【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数3 （5 分）在下列区间中，使函数 存在零点的是（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，e） D （3，4）7【分析】由函数零点的判定定理即可判断出【解答】解：f（1）=ln21lne1=0，f（2）=ln31lne1=0，f（1）f（2）0函数 f（x）在区间（1，2）上存在零点故选 B【点评】熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键4 （5 分）设随机变量 X 服从正态分布 N（0，1） ，P（X1）=p，则 P（X1）=（ ）Ap B1p
12、 C12p D2p【分析】根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于 x=0 对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即 P（X1）=P（X1） ，得到要求的区间的概率【解答】解：随机变量 X 服从正态分布 N（0，1） ，P（X1）=p，P（X1）=p，P（X1）=1P（X1）=1p，故选 B【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线关于 x=0 对称时，对称轴两侧的对称区间上的概率之间的关系，本题的运算量比较小，是一个送分题目5 （5 分）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2mg/ml如果某人喝了
13、少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到 0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时 50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车A1 B2 C3 D4【分析】设 n 个小时后才可以驾车，根据题意可知，每单位时间内酒精下降的量成等比数列，进而可得方程，求得 n【解答】解：设 n 个小时后才可以驾车，由题得方程 0.8（150%） n=0.20.5n= ，n=28即至少要经过 2 小时后才可以驾驶机动车故答案为 2【点评】本题意实际问题为依托，主要考查了等比数列的性质及实际应用考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力6 （5 分）如图中的三个直角三角形是一个体积为 20
14、cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：cm 2）等于（ ）A55 B75 C77 D65【分析】由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥 ABCD；由三棱锥的体积求出 h 的值，把三棱锥还原为长方体，长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径 2R，由此求出外接球的面积【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥 ABCD；由三视图可知 AB平面 BCD，BCBD，BD=5，BC=6，AB=h，三棱锥的体积 V= 56h=20，h=4；把三棱锥还原为长方体，如图所示；则长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径 2R；（2R） 2=42+52+62=77，三棱锥外接球的
15、面积为 S=4R 2=77故选：C9【点评】本题考查了三棱锥的结构特征以及多面体外接球的面积计算问题，是基础题7 （5 分）某一算法程序框图如图所示，则输出的 S 的值为（ ）A B C D0【分析】由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，根据 y=sin 的周期性，即可求出 S 的值【解答】解：由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sin +sin +sin+sin 的值，由于 y=sin 的周期为 6，且同一周期内的 6 个函数值的累加和为 0；又 20166=336，所以 S=sin +sin +sin+sin =sin =sin = 故选：A【点评】本
16、题考查了程序框图的应用问题，是基础题108 （5 分）设不等式组 所表示的区域为 M，函数 y= 的图象与 x 轴所围成的区域为 N，向 M 内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为（ ）A B C D【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率【解答】解：作出图形如图所示：则区域 M 为ABC，区域 N 为单位圆的下半圆，点 O 到直线 x+y= 和直线 xy= 的距离均为 =1，故半圆与 AB，BC 相切向 M 内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为 P= = = 故选 B【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题9 （5 分）用数学归纳法证明“1+ + + n（nN *，n1）
17、”时，由n=k（k1）不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是（ ）A2 k1 B2 k1 C2 k D2 k+111【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加 1，末项为 ，然后判断 n=k+1时增加的项数即可【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加 1，末项为 ；由 n=k，末项为 到 n=k+1，末项为 = ，应增加的项数为 2k故选 C【点评】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键10 （5 分）已知函数 f（x）=cos（2x+ ） ，将 y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变；再把所
18、得的图象向右平移|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则 的一个值是（ ）A B C D【分析】根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，诱导公式，求得 的值【解答】解：已知函数 f（x）=cos（2x+ ） ，将 y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，可得 y=cos（4x+ ）的图象，再把所得的图象向右平移|个单位长度，可得 y=cos（4x4|+ ）的图象根据所得的图象关于原点对称，可得4|+ =k+ ，kZ，令 k=1，可得 的一个值是 ，故选：D【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性
19、，属于基础题11 （5 分） “a4”是“方程 x2+ax+a=0 有两个负实数根”的（ ）12A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】方程 x2+ax+a=0 有两个负实数根，则 ，解出即可判断出结论【解答】解：方程 x2+ax+a=0 有两个负实数根，则 ，解得 a4，“a4”是“方程 x2+ax+a=0 有两个负实数根”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 L，A、B 是抛物线
20、上的两个动点，且满足AFB= 设线段 AB 的中点 M 在 L 上的投影为 N，则 的最大值是（ ）A B1 C D【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF由抛物线定义得 2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b） 23ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos60=a 2+b2ab，配方得，|AB| 2=（a+b） 23
21、ab，又ab（ ） 2，（a+b） 23ab（a+b） 2 （a+b） 2= （a+b） 2得到|AB| （a+b） 1，13即 的最大值为 1故选：B【点评】本题给出抛物线的弦 AB 对焦点 F 所张的角为直角，求 AB 中点 M 到准线的距离与AB 比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知两个单位向量 ， 满足| +2 |= ，则 ， 的夹角为 【分析】利用向量的模的计算公式，求出向量的夹角即可【解答】解：因为| +2 |= ，所以| +2 |2
22、= =（ ） 2，又 ， 是两个单位向量，所以 ， = ，又 ，所以 cos = ， 的夹角为 故答案为 【点评】本题考查向量的数量积的运算，向量的模的应用，考查计算能力1414 （5 分）若 dx=a，则（x+ ） 6展开式中的常数项为 160 【分析】先根据定积分求出 a 的值，再根据二项式定理即可求出展开式中的常数项【解答】解： dx=2lnx| =2（lneln1）=2=a，（x+ ） 6展开式中的常数项为 C6323=160，故答案为：160【点评】本题考查了定积分和二项式定理的应用，属于基础题15 （5 分）已知 ，则 = 【分析】根据三角恒等变换化简 ，得出 sin（+ ）的值，
23、再利用二倍角公式求出 的值【解答】解： ，sin coscos sincos= sin cos=sin（+ ）= ，sin（+ ）= ； =12sin 2（+ ）=12= 故选： 【点评】本题考查了三角恒等变换与二倍角公式的应用问题，是基础题16 （5 分）已知函数 f（x）=（x 2+ax+b）e x，当 b1 时，函数 f（x）在（，2） ，15（1，+）上均为增函数，则 的取值范围是 （3， 【分析】根据求导公式求出函数的导数，在根据二次函数图象求出 a，b 的取值范围，绘制出 a，b 的取值范围，根据线性规划求出其取值范围【解答】解：由 f（x）=x 2+（a+2）x+a+be x函数
24、 f（x）在（，2） ， （1，+）增函数，x 2+（a+2）x+a+b0 恒成立， ， ，画出满足条件的平面区域，如图所示：，由 ，解得 B（1，1） ，由 ，解得 C（1，1） ，结合图象 的几何意义表示过 A（2，2）与平面区域内的点的直线的斜率，而 KAB=3，K AC= ，故 的取值范围是（3， ，故答案为：（3， 【点评】考察学生函数求导、二次函数的性质及线性规划问题，属于中档题三、解答题：共 70 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必16考题：共 60 分.17
25、 （12 分）已知等差数列a n满足 a4=6，a 6=10（1）求数列a n的通项公式；（2）设等比数列b n各项均为正数，其前 n 项和 Tn，若 b3=a3，T 2=3，求 Tn【分析】 （1）利用等差数列的通项公式可把已知条件用 a1，d 表示，解方程可得 a1，d 从而可求 an（2）由（1）可得 an=2n2，把已知可转化为 ，解方程可得 b1，q，代入等比数列的求和公式【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，首项为 a，a 4=6，a 6=10， （3 分）解得 （5 分）数列a n的通项公式 an=a1+（nd）d=2n2 （6 分）（2）设各项均为正数的等比数列b n
26、的公比为 q（q0）a n=2n2，a 3=4，a 3=b3，b 3=4即 （8 分）解得 或 舍（10 分） （12 分）【点评】本小题主要考查等差、等比数列的通项公式以及等比数列的前 n 项和公式，属于对基本定义、基本公式的简单运用的考查，试题难度不大1718 （12 分）如图，在四棱锥中 PABCD，底面 ABCD 为边长为 的正方形，PABD（1）求证：PB=PD；（2）若 E，F 分别为 PC，AB 的中点，EF平面 PCD，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小【分析】 （1）连接 AC，BD 交于点 O，连结 PO，则 ACBD，结合 PABD 得出 BD平面PAC，故而 B
27、DPO，又 O 为 BD 的中点，得出 OP 为 BD 的中垂线，得出结论；（2）设 PD 的中点为 Q，连接 AQ，EQ，证明四边形 AQEF 是平行四边形，于是 AQ平面PCD，通过证明 CD平面 PAD 得出 CDPA，结合 PABD 得出 PA平面 ABCD，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值等于|cos |，从而得出线面角的大小【解答】解：（1）连接 AC，BD 交于点 O，连结 PO底面 ABCD 是正方形，ACBD，OB=OD又 PABD，PA平面 PAC，AC 平面 PAC，PAAC=A，BD平面 PAC，PO平面 PAC，BDPO又
28、 OB=OD，PB=PD（2）设 PD 的中点为 Q，连接 AQ，EQ，则 EQCD，EQ= CD，又 AFCD，AF= = ，EQAF，EQ=AF，四边形 AQEF 为平行四边形，EFAQ，EF平面 PCD，AQ平面 PCD，18AQPD，Q 是 PD 的中点，AP=AD= AQ平面 PCD，AQCD，又 ADCD，AQAD=A，CD平面 PAD，CDPA又 BDPA，BDCD=D，PA平面 ABCD以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B（ ，0，0） ，P（0，0， ） ，A（0，0，0） ，Q（0， ， ） =（0， ， ） ， =（ ，0
29、， ） AQ平面 PCD， 为平面 PCD 的一个法向量cos = = 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ，则 sin=|cos |= 直线 PB 与平面 PCD 所成角为 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题19 （12 分）自 2016 年 1 月 1 日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个” “生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生19育决策上避不开的话题为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安
30、排（单位：周） 14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14 周与 16 周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从 5 种不同安排方案中，随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率；如果用 表示两种方案休假周数和求随机变量 的分布及期望【分析】 （1）由表中信息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率（2）设“两种安排方案休假周数和不低于 32
31、 周”为事件 A，由已知从 5 种不同安排方案中，随机地抽取 2 种方案选法共有 10 种，由此利用列举法能求出其和不低于 32 周的概率由题知随机变量 的可能取值为 29，30，31，32，33，34，35分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E（） 【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 （2 分）（2）设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A，由已知从 5 种不同安排方案中，随机地抽取 2 种方案选 法共有 （种） ，其和不低于 32 周的选法有（14、18） 、 （15、17） 、
32、 （15、18） 、 （16、17） 、 （16、18） 、（17、18） ，共 6 种，由古典概型概率计算公式得 （6 分）由题知随机变量 的可能取值为 29，30，31，32，33，34，35， ，20，因而 的分布列为 29 30 31 32 33 34 35P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1所以 E（）=290.1+300.1+310.2+320.2+330.2+340.1+350.1=32，（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用20 （12 分）已知椭圆
33、 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为F1（2，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y=kx（k0）与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N（）求椭圆 C 的方程；（）在 x 轴上是否存在点 P，使得无论非零实数 k 怎样变化，总有MPN 为直角？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】 （）由题意可设椭圆标准方程为 + =1（ab0） ，结合已知及隐含条件列关于 a，b，c 的方程组，求解方程组得到 a2，b 2的值，则椭圆方程可求；（）设 F（x 0，y 0） ，E（x 0，y 0） ，写出 AE、A
34、F 所在直线方程，求出 M、N 的坐标，得到以 MN 为直径的圆的方程，由圆的方程可知以 MN 为直径的圆经过定点（2，0） ，即可判断存在点 P【解答】解：（）由题意可设椭圆方程为 + =1（ab0） ，则 c=2，a 2b 2=c2， + =1，解得：a 2=8，b 2=4可得椭圆 C 的方程为 + =1；21（）如图，设 F（x 0，y 0） ，E（x 0，y 0） ，则 + =1，A（2 ，0） ，AF 所在直线方程 y= （x+2 ） ，取 x=0，得 y= ，N（0， ） ，AE 所在直线方程为 y= （x+2 ） ，取 x=0，得 y= 则以 MN 为直径的圆的圆心坐标为（0，
35、） ，半径 r= ，圆的方程为 x2+（y ） 2= = ，即 x2+（y+ ） 2= 取 y=0，得 x=2可得以 MN 为直径的圆经过定点（2，0） 可得在 x 轴上存在点 P（2，0） ，使得无论非零实数 k 怎样变化，总有MPN 为直角【点评】本题考查椭圆的方程和简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题2221 （12 分）已知函数 f（x）=ax（lnx1） （a0） （1）求函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）当 a0 时，设函数 g（x）= x3f（x） ，函数 h（x）=g（x） ，若 h（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；证明：ln（12
36、3n） 2e1 2+22+32+n2（nN*） 【分析】 （1）求出函数 f（x）的导数，对 a 讨论，分 a0，a0，由导数大于 0，解得增区间；（2）当 a0 时，求出 g（x）的导数，由题意可得 的最大值，求出右边函数的导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求 a 的范围；由可得 ，xN，可得 2elnnn 2，由累加法和对数的运算性质即可得证【解答】解：（1）函数 f（x）=ax（lnx1）的导数为 f（x）=a（lnx1）+a=alnx，当 a0 时，x1 时，f（x）0，f（x）递增；0x1 时，f（x）0，f（x）递减；当 a0 时，0x1 时，f（x）0，f（x）递增；x1
37、 时，f（x）0，f（x）递减即有 a0，f（x）的递增区间为（1，+） ；a0 时，f（x）的递增区间为（0，1） ；（2）当 a0 时，设函数 g（x）= x3f（x）= x3ax（lnx1） ，函数 h（x）=g（x）= x2alnx，x0，h（x）0 恒成立，即为 的最大值，由 y= 的导数为 ，当 x 时，函数 y 递减；当 0x 时，函数 y 递增，即有 x= 取得最大值 ，则有 ，解得 0ae；23证明：由可得 ，xN，即有 2elnnn 2，可得 2e（ln1+ln2+ln3+lnn）1 2+22+32+n2，则 ln（123n） 2e1 2+22+32+n2（nN *） 【点
38、评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，考查不等式的证明，注意运用已知不等式，考查运算和推理能力，属于中档题（二）选做题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号.如果多做，则按所做第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程（本题满分 10 分）22 （10 分）已知直线 l 的参数方程： （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程：（ 为参数） ，且直线交曲线 C 于 A，B 两点（）将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并求 = 时，|AB|的长度；（）已知点 P：（1，0） ，求当直线倾斜角
39、变化时，|PA|PB|的范围【分析】 （）利用三角函数的平方关系式，将曲线 C 的参数方程化为普通方程，求出直线AB 的方程，代入 ，可得 3x24x=0，即可求出|AB|的长度；（）直线参数方程代入 ，A，B 对应的参数为 t1，t 2，则|PA|PB|=t 1t2，即可求出|PA|PB|的范围【解答】解：（）曲线 C 的参数方程： （ 为参数） ，曲线 C 的普通方程为 当 = 时，直线 AB 的方程为，y=x1，24代入 ，可得 3x24x=0，x=0 或 x=|AB|= = ；（）直线参数方程代入 ，得（cos 2+2sin 2）t 2+2tcos1=0设 A，B 对应的参数为 t1，
40、t 2，|PA|PB|=t 1t2= = ，1【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）=log 2（|x1|+|x+2|a） （）当 a=7 时，求函数 f（x）的定义域；（）若关于 x 的不等式 f（x）3 的解集是 R，求实数 a 的取值范围【分析】 （）当 a=7 时，利用对数函数的真数大于 0，列出不等式，利用绝对值不等式转化为：代数不等式即可求函数 f（x）的定义域；（）利用绝对值的几何意义，转化求解即可【解答】解：（）由题设知：|x1|+|x+2|7，令 x1=0，x+2=0，解得 x=1，x=2，这就是两个分界点把全体实数分成 3 个区间不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或 ，或 （3 分）解得函数 f（x）的定义域为（，4）（3，+） ； （5 分）（）不等式 f（x）3 即：|x1|+|x+2|a+8，xR 时，恒有|x1|+|x+2|（x1）（x+2）|=3，（8 分）不等式|x1|+|x+2|a+8 解集是 R，a+83，a 的取值范围是：（，5（10 分）25【点评】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力
