1、13.2.2 空间线面关系的判定(二)垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系知识点一 向量法判断线线垂直设直线 l 的方向向量为 a( a1， a2， a3)，直线 m 的方向向量为 b( b1， b2， b3)，则l mab0 a1b1 a2b2 a3b30.知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线 l 的方向向量为 1 ，平面 的法向量为 2 ，则直(2，43， 1) (3， 2， 32)线 l 与平面 的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为 1 2，所以
2、1 2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所23以直线 l 与平面 垂直判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线 l 的方向向量与平面 的法向量共线 l .(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直直线与平面平行或直线在平面内(3)直线 l 的方向向量与平面 内的两相交直线的方向向量垂直 l .梳理 设直线 l 的方向向量 a( a1， b1， c1)，平面 的法向量 ( a2， b2， c2)，则l a a k (kR)知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面 ， 的法向量分别为 1( x1， y1， z1)， 2( x2， y2， z2)，用向量坐标法表示两平面 ， 垂直的关系式是什么？答案
3、 x1x2 y1y2 z1z20.梳理 若平面 的法向量为 ( a1， b1， c1)，平面 的法向量为 ( a2， b2， c2)，则 0 a1a2 b1b2 c1c20.2已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 (2，1，4)， (4,2,0)，AB AD (1,2，1)AP 判断下面结论的对错：1 AP AB；()2 AP AD.()3. 是平面 ABCD 的法向量()AP 4. .()AP BD 类型一 证明线线垂直例 1 如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长都为 1， M 是底面上 BC 边的中点， N 是侧棱 CC1上的点，且 CN CC1.求证：
4、AB1 MN.14证明 设 AB 的中点为 O，连结 OC，作 OO1 AA1.以 O 为坐标原点， OB 所在直线为 x 轴， OC所在直线为 y 轴， OO1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得 A ，(12， 0， 0)B ， C ，(12， 0， 0) (0， 32， 0)N ， B1 ，(0，32， 14) (12， 0， 1)3 M 为 BC 的中点， M .(14， 34， 0) ， (1,0,1)，MN ( 14， 34， 14) AB1 0 0.MN AB1 14 14 ， AB1 MN.MN AB1 反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系
5、写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直跟踪训练 1 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC3， BC4， AB5， AA14，求证：AC BC1.证明 直三棱柱 ABC A1B1C1底面三边长AC3， BC4， AB5， AC BC， AC， BC， C1C 两两垂直如图，以 C 为坐标原点， CA， CB， CC1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系则 C(0,0,0)， A(3,0,0)， C1(0,0,4)， B(0,4,0)， (3,0,0)，AC (0，4,4)，BC1 0， AC BC1.AC BC1 4类型二 证明线面垂直例 2
6、如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E， F 分别是 BB1， D1B1的中点求证： EF平面 B1AC.证明 方法一 设正方体的棱长为 2，以 D 为坐标原点， ， ， 的方向为 x 轴， y 轴，DA DC DD1 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)， C(0,2,0)， B1(2,2,2)，E(2,2,1)， F(1,1,2) (1,1,2)(2,2,1)EF (1，1，1)(2,2,2)(2,0,0)AB1 (0,2,2)，(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)AC 而 EF AB1 (1，1,1)(0,2,2)(1)0(1)2120.
7、 (1，1,1)(2,2,0)2200，EF AC EF AB1， EF AC.又 AB1 AC A， AB1平面 B1AC， AC平面 B1AC， EF平面 B1AC.5方法二 设 a， c， b，AB AD AA1 则 ( ) ( ) ( ) ( a b c)，EF EB1 B1F 12BB1 B1D1 12AA1 BD 12AA1 AD AB 12 a b，AB1 AB AA1 ( a b c)(a b)EF AB1 12 (b2 a2 ca cb)12 (|b|2| a|200)0.12 ，即 EF AB1，EF AB1 同理， EF B1C.又 AB1 B1C B1，AB1平面 B1
8、AC， B1C平面 B1AC， EF平面 B1AC.反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)基向量法：设出基向量，然后表示直线的方向向量；找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示；利用数量积计算(2)坐标法：建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示；求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行跟踪训练 2 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD1， AA12，点 P 为 DD1的中点求证：直线 PB1平面 PAC.6证明 如图，以 D 为坐标原点， ， ， 的方向为 x 轴， y
9、轴， z 轴正方向，建立如图所DC DA DD1 示的空间直角坐标系，则 C(1,0,0)，A(0,1,0)， P(0,0,1)， B1(1,1,2)， (1,0，1)， (0,1，1)， (1,1,1)，PC PA PB1 (0，1，2)，B1C (1,0，2)B1A (1,1,1)(1,0，1)0，PB1 PC 所以 ，即 PB1 PC.PB1 PC 又 (1,1,1)(0,1，1)0，PB1 PA 所以 ，即 PB1 PA.PB1 PA 又 PA PC P， PA， PC平面 PAC，所以 PB1平面 PAC.类型三 证明面面垂直例 3 在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1平面 A
10、BC， AB BC， AB BC2， AA11， E 为 BB1的中点，求证：平面 AEC1平面 AA1C1C.证明 由题意知直线 AB， BC， B1B 两两垂直，以点 B 为坐标原点，分别以 BA， BC， BB1所在直线为 x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)， A1(2,0,1)， C(0,2,0)， C1(0,2,1)，7E ，(0， 0，12)故 (0,0,1)， (2,2,0)， (2,2,1)， .AA1 AC AC1 AE ( 2， 0， 12)设平面 AA1C1C 的法向量为 n1( x， y， z)，则Error! 即Error!令 x1
11、，得 y1，故 n1(1,1,0)设平面 AEC1的法向量为 n2( a， b， c)，则Error! 即Error!令 c4，得 a1， b1，故 n2(1，1,4)因为 n1n2111(1)040，所以 n1 n2.所以平面 AEC1平面 AA1C1C.反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练 3 如图，底面 ABCD 是正方形， AS平面 ABCD，且 AS AB， E 是 SC 的中点求证：平面 BDE平面 ABCD.证明 设 AB BC CD DA AS1，以 A 为坐标原点
12、， ， ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴AB AD AS 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，则 B(1,0,0)， D(0,1,0)， A(0,0,0)， S(0,0,1)， E ，连结 AC，设 AC 与 BD 相交于(12， 12， 12)点 O，连结 OE，则点 O 的坐标为 .(12， 12， 0)8因为 (0,0,1)， ，AS OE (0， 0， 12)所以 ，所以 .OE 12AS OE AS 又因为 AS平面 ABCD，所以 OE平面 ABCD，又 OE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD.1若直线 l1的方向向量为 a(2，4,4)， l2的方
13、向向量为 b(4,6,4)，则 l1与 l2的位置关系是_(填“平行” “垂直”)答案 垂直解析 因为 ab24(4)6440，所以 l1 l2.2若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 (2,0，4)，则 l 与 的位置关系是_(填“平行” “垂直”)答案 垂直解析 a ， l .3平面 的一个法向量为 m(1,2,0)，平面 的一个法向量为 n(2，1,0)，则平面 与平面 的位置关系是_(填“平行” “垂直”)答案 垂直解析 (1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直4已知平面 与平面 垂直，若平面 与平面 的法向量分别为 (1,0,5)， ( t
14、,5,1)，则 t 的值为_答案 5解析 平面 与平面 垂直，平面 的法向量 与平面 的法向量 垂直， 0，即(1) t05510，解得 t5.5在菱形 ABCD 中，若 是平面 ABCD 的法向量，则下列等式中可能不成立的是PA 9_(填序号) ； ； ； .PA AB PA CD PC BD PC AB 答案 解析 由题意知 PA平面 ABCD，所以 PA 与平面上的线 AB， CD 都垂直，正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线 BD平面 PAC，故 PC BD，正确证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量
15、运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可一、填空题1设直线 l1， l2的方向向量分别为 a(2,2,1)， b(3，2， m)，若 l1 l2，则m_.答案 10解析 因为 a b，故 ab0，即232(2) m0，解得 m10.2若平面 ， 的法向量分别为 a(1,2,4)， b( x，1，
16、2)，并且 ，则 x的值为_答案 10解析 因为 ，则它们的法向量也互相垂直，所以 ab(1,2,4)( x，1，2)0，10解得 x10.3已知直线 l 的方向向量为 e(1,1,2)，平面 的法向量为n ( R)若 l ，则实数 的值为_(12， ， 1)答案 12解析 l ， e n， ， . 112 1 2 1 124已知点 A(0,1,0)， B(1,0，1)， C(2,1,1)， P(x,0， z)，若 PA平面 ABC，则点 P的坐标为_答案 (1,0,2)解析 由题意知 (1，1，1)， (2,0,1)， ( x，1， z)，又 PA平面AB AC AP ABC，所以有 (1，
17、1，1)( x，1， z)0，得 x1 z0，AB AP (2,0,1)( x，1， z)0，得 2x z0，AC AP 联立得 x1， z2，故点 P 的坐标为(1,0,2)5在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则下列结论成立的是_(填序号) CE BD； A1C1 BD； AD BC1； CD BE.答案 解析 以 D 点为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0，1,0)， D(0,0,0)，A1(1,0，1)，C1(0
18、,1,1)， E ，(12， 12， 1) ， (1,1,0)，CE (12， 12， 1) AC (1，1,0)， (1,0，1)，BD A1D 11(0,0，1)，A1A (1) (1) 010，CE BD 12 ( 12) CE BD.显然 A1C1 BD，故只有正确6已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，若 (2，1，4)， (4,2,0)，AB AD (1,2，1)，则给出下列结论： AP AB； AP AD； 是平面 ABCD 的一个法向AP AP 量； .AP BD 其中正确的结论是_(填序号)答案 解析 因为 2(1)(1)2(4)(1)2240，AB AP 则
19、，即 AP AB；AB AP (1)42200，AP AD 则 ，即 AP AD，AP AD 又 AB AD A， AP平面 ABCD，故 是平面 ABCD 的一个法向量AP (4,2,0)(2，1，4)(2,3,4)，BD AD AB 所以 与 不平行AP BD 7.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2， AA1 ， AD2 ， P 为 C1D1的中点， M 为3 2BC 的中点则 AM 与 PM 的位置关系为_答案 垂直解析 以 D 点为坐标原点，分别以 DA， DC， DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所12示的空间直角坐标系 D xyz，依题意可得
20、 D(0,0,0)， P(0,1， )， C(0,2,0)， A(2 ，0,0)，3 2M( ，2,0)2 ( ，2,0)(0,1， )( ，1， )，PM 2 3 2 3( ，2,0)(2 ，0,0)( ，2,0)，AM 2 2 2 ( ，1， )( ，2,0)0，PM AM 2 3 2即 ， AM PM.PM AM 8在空间直角坐标系 O xyz 中，已知点 P(2cosx1，2cos2 x2,0)和点 Q(cosx，1,3)，其中 x0，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为_答案 或 2 3解析 由题意得 ，OP OQ cos x(2cosx1)(2cos2 x2)0.2co
21、s 2xcos x0，cos x0 或 cosx .12又 x0， x 或 x . 2 39在 ABC 中， A(1，2，1)， B(0，3,1)， C(2，2,1)若向量 n 与平面 ABC 垂直，且| n| ，则 n 的坐标为_21答案 (2,4,1)或(2，4，1)解析 据题意，得 (1，1,2)， (1,0,2)AB AC 设 n( x， y， z)， n 与平面 ABC 垂直，Error! 即Error!解得Error!13| n| ， ，21 x2 y2 z2 21解得 z1 或 z1.当 z1 时， y4， x2；当 z1 时， y4， x2， n(2,4,1)或 n(2，4，1
22、)10已知 (1,5，2)， (3,1， z)，若 ， ( x1， y，3)，且 BP平面AB BC AB BC BP ABC，则( x， y， z)_.答案 (407， 157， 4)解析 352 z0，故 z4. x15 y60，且 3( x1)AB BC BP AB BP BC y120，得 x ， y .所以( x， y， z) .407 157 (407， 157， 4)二、解答题11.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是 B1B， DC 的中点，求证： AE平面A1D1F.证明 设正方体的棱长为 1，如图所示，以 D 为坐标原点， ， ， 的方向为
23、x 轴， y 轴，DA DC DD1 z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)， E ，(1， 1，12)A1(1,0,1)， D1(0,0,1)，F .(0，12， 0) ， (1,0,0)， ，AE (0， 1， 12) A1D1 D1F (0， 12， 1) 0(1)10 00，AE A1D1 1214 0，AE D1F 12 12 ， ，AE A1D1 AE D1F 即 AE A1D1， AE D1F，又 A1D1 D1F D1，A1D1， D1F平面 A1D1F， AE平面 A1D1F.12.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，用向量法证明：(1)平面 A1B
24、D平面 CB1D1；(2)AC1平面 A1BD.证明 以 D 为坐标原点， ， ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立空间直角坐标，DA DC DD1 设正方体的棱长为 1.则 D(0,0,0)， A1(1,0,1)， B(1,1,0)， D1(0,0,1)， B1(1,1,1)， C(0,1,0)， A(1,0,0)，C1(0,1,1)(1) (1,0，1)，A1D (0,1，1)，A1B (1,1,0)，D1B1 (0,1，1)，D1C 设平面 A1BD 的一个法向量为 n1( x1， y1， z1)，则Error! 即Error!令 z11，得 x11， y11.平面 A1
25、BD 的一个法向量为 n1(1,1,1)15设平面 CB1D1的一个法向量为 n2( x2， y2， z2)，则Error! 即Error!令 y21，得 x21， z21， n2(1,1,1)， n1 n2，即 n1 n2.平面 A1BD平面 CB1D1.(2)又 (1,1,1)， n1.AC1 AC1 是平面 A1BD 的法向量，AC1 AC1平面 A1BD.13.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面ABCD， PA AB1， AD ，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动求证：无论点 E 在3BC 边的何处，都有 PE AF.证明 以 A 为
26、坐标原点， ， ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间AD AB AP 直角坐标系，则 A(0,0,0)， P(0,0,1)， B(0,1,0)， F ， D ，(0，12， 12) (3， 0， 0)设 BE x(0 x )，3则 E(x,1,0)， ( x,1，1) 0，即 .PE AF (0， 12， 12) PE AF 所以当 x0， 时都有 PE AF，即无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PE AF.3三、探究与拓展14已知直线 l1的方向向量 a(2,4， x)，直线 l2的方向向量 b(2， y,2)，若| a|6，16且 ab ，则 x y 的值
27、是_答案 3 或 1解析 | a| 6， x4，22 42 x2又 ab ， ab224 y2 x0， y1 x，当 x4 时， y3，12当 x4 时， y1， x y1 或3.15已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E 为棱 CC1上的动点(1)求证： A1E BD；(2)若平面 A1BD平面 EBD，试确定 E 点的位置(1)证明 以 D 为坐标原点，以 DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系设正方体棱长为 a，则 A(a,0,0)， B(a， a,0)， C(0， a,0)， A1(a,0， a)，C1(0， a， a)设 E(0，
28、a， e)(0 e a)，( a， a， e a)，A1E ( a， a，0)，BD a2 a2( e a)00，A1E BD ，即 A1E BD.A1E BD (2)解 设平面 A1BD，平面 EBD 的法向量分别为 n1( x1， y1， z1)， n2( x2， y2， z2) ( a， a,0)， ( a,0， a)， (0， a， e)，DB DA1 DE Error! Error!取 x1 x21，得 n1(1，1，1)， n2 ，(1， 1，ae)由平面 A1BD平面 EBD，得 n1 n2，172 0，即 e .ae a2当 E 为 CC1的中点时，平面 A1BD平面 EBD.
