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斐波那契数列与行列式斐波那 契 数 列 Fibonacci sequence这个数列有着十分明显的特点， 那是：1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，数列中的每一个数都被称为 斐波 那契数。1 2 12=1 =1 = , 3.nn na a aa a n+ ， ，前面相邻两项之和，构成了后一 项 。（Fibonacci.L, 11751250 ）兔子问题假 定一对刚出 生的小 兔 一个 月后就 能长成大 兔, 再过 一个月 便能生 下一对 小兔,并 且 以后每 个月都 生一对 小兔 。 一年内 没有 发 生死亡 。 那么, 由一对刚 出生的 兔子开始,12 个月 后会有 多少对 兔子呢?1 月 1 对1 月 1 对2 月 1 对1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对6 月 8 对1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对6 月 8 对7 月13 对解答 ： 可以将结 果以列表形式给出：1 月 2 月 3 月 5 月 4 月 6 月7 月 8 月 9 月 11 月 10 月 12 月1 1 2 3 5 813 21 34 55 89 144 因此，斐波那契问题的答案是144 对 。 以 上数列 ， 即“斐波那契 数 列”白色马蹄莲（1 ）虎刺梅（2 ）大 多 数植 物的花 ，其花 瓣数都 恰是斐 波那契 数铁兰（3 ）紫露 草（3 ）洋紫荊（5 ） 黃 蝉 （5 ） 蝴蝶 兰 （5 ）雏 菊（13 ） 雏 菊（13 ）兰花132苹 果 花15324格桑花12534687雏菊1 23456789101112133 5 813 21 3413853211向日葵花盘内，种子是按螺线排列 的，有 顺时针 转和逆时针转的两组螺线。两组螺线的条数 往往成 相继的 两个斐波那契数，一般是34 和55 ，大向 日葵是89 和144 ，它们都是相继的两个斐波那契数。向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数条；反向再数就变成了 条 Aidan Dwye 在观察树枝分叉时发现它的分布模式类似斐波那契数列，这是大自然演化的一种结果，可能有助于树叶进行光合作用。因此，Dwye 猜想为什么不按照斐波那契数列排列太阳能电池？他设计了太阳能电池树，发现它的输出电力提高了20% ，每天接受光照的时间延长了2.5小时刀具的比例符合斐波那契数列 分布曲线服从斐波那契数列分布12 12( 3), 1, 2nn nFF Fn F F=+=（1）证明：斐波那契数列的通项 可由下述行列式来表示nF1 1 0 0 00 011 10 0 000 1 1 1 00 00 000 1 1100 0 0 0 11nF=（2）求斐波那契数列的通项公式 。解： （1 ） 将行列式按照第一行展 开有1+21212( 1)( 1)= + ( 3)nn nnnFF FFFn= + 上述行列式的1阶行列式的值为1,2阶 行列 式的值 为2， 因此斐 波那 契数列的通项公式 的确可以由上述行列式表示。nF1 1 0 0 00 011 10 0 000 1 1 1 00 00 000 1 1100 0 0 0 11nF=（2）设 ，那么 是方程的两个根，1, 1 a b ab += = , ab210 xx =1+ 5 1 5= ,=22ab从而进一步我们得到0 0 00 01 0 00 00 1 00 0000 0 1000 0 0 1na b aba b aba b abFa b abab+=+ 注意到行列式（考虑一下 如何计 算的？ ）110 0 00 01 0 00 00 1 00 0= ()000 0 1000 0 0 1nna b aba b aba b ababababa b abab+ 故1111115 15=225nnnnnabFab+
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