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20.(1 2分）如图1,在边长为2的菱形ABCD中，L DA B=60,点M,N分别是边BC,CD上的点，且MNII BD,AcnMN=G.沿MN将6.CMN翻折到6.PMN的位置，连接PA,PB,P D,得到如图2所示的五棱锥P ABMND.P(C)(1)在 翻折过程中是否总有BD1-平面PAG?证明你的结论；、MN(2)若平面PMN上平面 ABMND,记 入，入E(0,1),试探究：随着A值的变化，二面BD 角B-PM-N的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角B-PM-N的余弦值2 1.(1 2分）已知 椭圆C:+L=1(a b 0)的右焦点为 F,上 顶点为Bl下顶 点为B2,L.B1FB2 矿 b2为等腰直角三角形，且直线FBI与圆x2+y2=1 相切(1)求椭圆C的方程；(2)过P(0,2)的直线l交椭 圆C千D,E两点（异千点B i,B 2),直线B 1E,B心相交千点Q,证明：点Q 在一条平行千x轴的直线上22.(1 2分）已知函数f(x)=-(a+l)x+Inx,cp(x)=旦x2+x+!_,(a ER).2 2(1)求函数f(x)的单凋区间；1 1(2)当a4时，若方程f(x)+cp(x)=0在(0,1)内存在唯一实根 Xo求证：X。E(曰数学试题卷第4页（共4页）数学参考答案 第 1 页（共 8 页）A 佳 教育 2022 年 12 月高三月考测试卷 数 学 参考 答案 一、选择题：本题共 8 小 题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四 个选 项中，只有一项是符 合题 目 要求的 1 D【解 析】2|1,1 1,A x y x，|3,1 0 3xB y y x，所以 1,3 AB，故选：D 2 C【解 析】2 3i(2 3i)ii i i z3 2i3 2i,3 2i1 z,3 2i z，13 z，故选：C 3 B【解 析】由 A，B，C 三 点共 线的 充要 条件 是AB mBC 且R m，所以1mm，故1.故选：B.4 B【解 析】圆台 的体 积 22114 5 2 5 2 523T，圆锥 的体 积2215 6 503T，总 体积 为312102 cm T T T，故 选：B.5 A【解析】因 为对任 意x R，都有 31 f x f x 所 以函 数()fx的图象 关 于直 线x=2 对称.又 函数 1 fx 的图象 关于 点 1,0 对称，则 函 数()fx的图 象关 于点(0,0)对 称，即函 数()fx为奇函数，所 以(4)()()f x f x f x，所以(8)(4)()f x f x f x，所以 8 是函 数()fx的一个周 期，61 f 8 8 3 f 3 3 1 3 f f f，故选：A.6 D【解析】根据“数 字 黑洞”的 定义，任 取数字 2023，经 过一 步之 后为 314，经过 第二 步之 后为 123，再变 为 123，再 变为 123，所以数 字黑 洞 为 123，即 a=123，123cos cos44a 3cos4 2 2 1sin cos2 2 3 sin cos23，平方 得：21 2sin cos 1 sin 29 7sin 29，故选：D.7 C【解 析】根据 题意 知：52ca，221ba，故 2 a，1 b，双 曲线 方程 为2214xy，则A(-2,0)，B(2,0)，设 P(x0，y0)，则22 0014xy，00 x，00 y，0 0 0 0 0201020 022 2 2 4y y x y xx x y xkk，根 据渐近线 方程 知：00102yx，故012012xkky.故选：C.8 A【解析】解：因为sin()tancosxf x xx，所 以2222cos sin()1 tancosxxf x xx，因 为 1nnf a f a，所以21tan 1 tannnaa，即221tan tan 1nnaa，所以 2tanna 是以 1 为 首项，以 1 为公 差的 等差数学参考答案 第 2 页（共 8 页）数 列，所 以2tannan，则 tannan，所 以 11tan tannnnnbaa 1111nnnnnn，则2 1 2 3 2 mmT b b b b 2 1 3 2 4 3 2 1 2 mm 2 1 1 10 m，60 m，故 选：A.二、选择题：本题共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题给出 的四个选 项中，有多项符 合题目要 求。全部选对的得 5 分，有选 错的得 0 分，部分选对的 得 2 分 9 AB【解 析】对于 A.最 高温 37 出现 4 次，所以 最高温 的众 数 为 37，A 正确。对 于 B.1(38 37 37 3910 x 38 39 38 37 39 37)37.9 C，所以 B 正确；对于 C.第 9 天的温 差为 8，而第 2 和 8 天的 温差 为 7，所 以 C 不 正确；对于 D.最 高温 的波 动比 最低 温 小，所 以最 高温 的方 差小于最低 温的 方差，所 以 D 不正确。故 选：AB.10 ACD【解 析】对于 A，点 30 A，点 04 B，过点B 作圆O 的切 线，则 切线 长为2223 OB r，A 正确；对于 B，以 AB 为 直径的 圆与 圆224 O x y：相交，有 两 个交点，即满 足0 PA PB 的点P 有2 个，B 不正 确；对于 C，点 04 B，则圆 心到 直线l 的距 离221212543d，所 以点P 到 该直 线距离的最 大值 为 maxd12 22255 C 正确；对于 D，AB 的中点M3,22，2 PA PB PM,因为min51222PM OM r，PA PB 的最 小值 是 1，D 正确；故选：ACD 11 BC【解析】由函 数 sin6f x x(0)，令,62x k k z，则 31,3kx k z，函数()fx在区 间0,上有且 仅有 4 条 对称轴，即 3103k 有 4 个 整数k 符合，由 3103k，得 310 1 0 3 1 33kk，则k=0,1,2,3，即1 3 3 3 1 3 4，10 1333，故 C 正确；对于 A，0,x，,6 6 6x，79,6 2 2，当76 6 2，时，()fx在区 间(0,)上有且 仅 有 3 个 不同 的零 点；当9,6 6 2 时，()fx在区 间(0,)上有且 仅有 4 个不 同的零点；故 A 错 误；对 于 B，周期2T，由10 1333，则3 1 313 10，6313 5T，又63,2 13 5，所 以()fx的最小 正周 期可 能是2，故 B 正 确；对于 D，0,12x，,6 6 12 6x，又10 1333，4 19,6 9 36 又1936 2，所以()fx在区间 0,12x 上不 一定 单调 递增，故 D 错误 故选：BC 数学参考答案 第 3 页（共 8 页）12 BCD【解 析】由62a，63b，得66log 2,log 3 ab，所以6 6 6log 2 log 3 log 6 1 ab，对于 A，由基本 不等 式222 x y xy 得222()2xyxy，222 x y x y，,ab 11 ab 2 a 1 1 6 b，所 以 A 不正 确；对于 B，因为66log 2 0,log 3 0 ab，所以2()4abab266(log 2 log 3)144，因 为a b，所以 等号 不 成立，所以14ab，1 1 14aba b ab ab，所 以 B正确，对 于 C，因 为222 a b ab，所 以222()122baab，因 为ab，所以 等号 不成 立，所 以2212ab，所 以 C 正确，对 于 D，因为ln 2 ln 3,ln 6 ln 6ab，所以1 1 ln 6 ln3 ln 63 ln 2 ln 6 3ln3bab，由于ln 6 ln 42ln 2 ln 2，且ln 3 ln 6 ln 3 ln 6 122ln 6 3ln 3 ln 6 3ln 3 3，因 为ln 3 ln 6ln 6 3ln 3，所以 等号 不成立，所 以ln 3 ln 6 12ln 6 3ln 3 3，所 以1 1 ln 6 ln 3 ln 6 12 2 23 ln 2 ln 6 3ln 3 3bab，所 以1123bab，所 以 D 正确，故 选：BCD 三、填空题：本题共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分 13 280【解 析】二 项式72axx的 展开式 中所 有项 的系 数和 为 1，1 a，二项 式72axx展开式 的通项为7171(2)rT C xx37727(1)2 Cx，令37 1 42rr，x 项的系 数为4 4 37(1)2 C=280 故 答案 为：280 14 7【解 析】由 22 yx 在(0,)e上递 增，3 yx 在,e 上递增，所 以，由 5 f a f a，得0555aeaeae，故2 3 3 aa a=3 或 7，a=3 舍去，故答案 为：7 15 4 10【解析】因 为底 面ABCD 是边长为46 的正 方形，所 以该 正方形 外接圆半 径3 41 r，所以 球心O 到底 面ABCD 的距 离 227 4 3 1 d，又顶点P 到底 面ABCD 的距离 为 4，所以点P 在与 底面ABCD 平行 的截 面圆的圆周 上，由球 心O 在四棱 锥P ABCD 内，可得 截面 圆的 半径 2227 4 1 r 2 10，故 顶点P 的轨 迹长 度为 4 10.故 答案为：4 10.16 32【解 析】F 为AC 的 中点，且|3 AF，|3 CF,所以，FMN 中，|MN m MF,即MNmMF，过点 作准线 的垂 线，垂足为，则 可得|1|sinMN MNMF MD MND，若|MNMF取到 最232p M D数学参考答案 第 4 页（共 8 页）大值即 MND 最小，此时 直线MN 与 抛物 线C 相切23 xy，即23xy，则23yx，设200,3xMx，则切线 斜率023kx，切 线方 程为 2000233xy x x x，切 线过30,4N，代 入得22002 34 3 3xx，解得032x，即33,24M，则33|,|22MD ND，即4MMD，则|1|sinMN MNMF MD MND的最大 值为 m 的最 大值 为，故答案 为：23,四、解答题：本题共 6 小 题，共 70 分解答应写出 文字说明、证明过程 或演 算步骤 17（10 分）【答案】（1）21nan 3nnb（2）存在k=1,2，使得 对 任意的*n N，都有nknkaabb【解析】（1）点 1,nnP a a在直 线 上，所以12nnaa 又35 a，11 a，则数 列 是首项 为 1，公差 为 2 的等 差数 列.1 分 21nan 2 分 又当 时，112 3 3 Sb 得13 b，当，由 2 3 3nnSb，得112 3 3nnSb 由 整 理得：，4 分 130 b，数列 是首 项 为 3，公比 为 3 的 等比 数列，故 3nnb 5 分（2）设213nnnna ncb，6 分 由112 1 2 133nnnnnncc 112 1 6 3 4 433nnn n n 7 分 当 1 n 时，12cc，当 2 n 时，1nncc，8 分 所以当 1 n 或 2 时，nc 取得 最大 值，即nnab取得 最大 值 9 分 所以存 在k=1,2，使得对 任 意的*n N，都有nknkaabb 10 分 18（12 分）【答案】（1）3A（2）1sin sin2BC【解析】（1）解 法一：因 为 2 2 cos c b a C，由 正弦 定理 得：sin 2sin 2sin cos C B A C 1 分 2 2 220 xy na1 n 2 n 13nnbb10nb13nnbb nb数学参考答案 第 5 页（共 8 页）所以 sin 2sin()2sin cos C A C A C 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin A C A C A C A C 3 分 因为sin 0 C，所以12cos 1,cos2AA 5 分 因为0 A，所以3A 6 分 解法二：因 为 2 2 cos c b a C，由余 弦定 理得：2 2 2222a b cc b aab 1 分 整理得2 2 2bc b c a，即2 2 2a b c bc 3 分 又由余 弦定 理得2 2 22 cos a b c bc A，所以12cos 1,cos2AA 5 分 因为0 A，所以3A 6 分（2）ABC 的面 积332S，故11 33sin sin2 2 3 2bc A bc，7 分 所以 6 bc 8 分 由于 3 c，所以 23 b 9 分 利用余 弦定 理：2 2 22 cos a b c bc A 12 3 6 9，故 3 a 10 分 则 2 2 3sinaRA，利 用2(2)sin sin 6 R C B，解得1sin sin2BC 12 分 19（12 分）【答案】见解析。【解析】（1）由 题 意X 的 取值可 能为-1，0，1，则 2 3 1113 5 5PX,1 分 2 3 2 3 80 1 13 5 3 5 15PX,2 分 2 3 4113 5 15PX 3 分 那么 X 的分 布列 为：X-1 0 1 P 15 815 415 4 分 1 8 4 11 0 15 15 15 15EX 6 分（2）第 3 轮比 赛后，甲 单 位累 计得 分低 于乙 单位的 3 轮 计分 有四 种情 况（不按 先 后顺 序）：1,1,1；1,1,0；1,1,1；1,0,0 9 分 所以3 2 2 22223331 1 8 1 4 8 1 1035 5 15 5 15 15 5 375P C C C 1 2 分 20（12 分）【答案】（1）见解析。数学参考答案 第 6 页（共 8 页）（2）二面 角B PM N 的大小 不变，其余弦 值为55【解析】（1）在 翻折 过程 中总有 BD平面PAG。1 分 证明如 下：点M，N 分别是 边BC，CD 的点，且/MN BD 又 60 DAB，且 PMN 是等 边三 角形，G 是MN 的中点，MN PG，2 分 菱形ABCD 的对 角线 互相 垂直，BD AC，MN AC，3 分 AC PG G，AC 平面PAG，PG 平面PAG，MN 平面PAG，4 分 BD 平面PAG，5 分（2）以G 为坐 标原 点，GA，GM，GP 所在直 线分 别为x轴、y轴、z 轴，建 立如 图所 示空间 直 角坐标系，边长 为 2 的菱 形ABCD 中，60 DAB，2 BC,又 MN,0,1BD 0,0,0,0,MN 0,0,3,3 1,1,0 PB 3 1,1,0,0,3 MB MP 7 分 平面BMP 的一个 法向 量为,n x y z，则 3 1 1 030nMB x ynMP y z 取 1 x，则 1,3,1 n 9 分 又平面PMN 的一 个法 向量 为 1,0,0 m，所以5cos,5mnmnmn，10 分 设二面 角B PM N 的平面 角为，且 由图可 知，为钝 角，则5cos5 11 分 即随着值的 变化，二 面角B PM N 的大小 不变，其 余弦 值为55.12 分（其他 建系 方法 可计 分）21【答案】（1）（2）见解析。【解析】（1）解：由 题可 知，F(c,0)、10,Bb，12BFB 为等腰 直角 三角形，则 c b，1 分 又直 线FB1与圆221 xy 相切 所 以原点 到直 线FB1的距 离 为 1，2 分 直线FB1的方 程为1xycb，即0 bx cy bc，所以221bcbc，22142xyO数学参考答案 第 7 页（共 8 页）解 得2 bc，3 分 又2 2 24 a b c，所 以椭 圆C 的 标准 方 程为22142xy 4 分（2）由过(0,2)P 的直线 l 不过1(0,2)B，2(0,2)B，可设 其直 线方 程为 2 y kx，把 2 y kx 代入22142xy，得 222 1 8 4 0 k x kx，0，即212k，5 分 设 1 1 2 2,E x y D x y,则1 2 1 22284,2 1 2 1kx x x xkk,6 分 直线B1E 的方 程为1122yyxx，7 分 直线B2D 的方 程为2222yyxx 8 分 设直 线B1E 和B2D 的 交点 为(,)Q x y，则 121 2 11 2 2212(2 2)22(2 2)2xykx x x yy kx x xxy，9 分 把122821kxxk及122421xxk代入上 式，得 22224(3 2 2)(2 2)2 12(3 2 2)2 4(2 2)2 1k k xyy k k x，整理 得1 y，11 分 故点 Q 在一 条平 行于x 轴 的直 线y=1 上，得 证.12 分 22（12 分）【答案】见解析。【解析】（1）函数()fx的定义 域为 0,则：1111axf x axx 1 分 当 10 a 即 1 a 时，0 x 时，()0 fx 恒成立，所 以()fx单调 递增；2 分 当 10 a 即 1 a-时，令()0 fx，解 得101xa，所以()fx在10,1 a上单 调递 增，1,1 a上单 调递减；4 分 综上所 述：当 1 a 时，()fx的单调 递增区 间为 0,，无 单调 递减 区间；当 1 a-时，()fx的单 调递 增区 间为10,1 a，单调 递减 区间 为1,1 a 5 分（2）当 4 a 时，若 方程 0 f x x 在(0，1)内存 在唯 一实 根x0 当 4 a 时，方程2ln 022aax ax x 在(0，1)内 存在 唯一 根x0，令 2ln22aag x x ax x，则 211 ax axg x ax axx，0,x 6 分 数学参考答案 第 8 页（共 8 页）当 4 a 时，240 aa，则210 ax ax 有两 个不 相等 的实数 根x1，x2，又121 xx+，1210 xxa，故 12,0,1 xx 7 分 设121012xx，令 0 gx，则10 xx，或2xx 则当1(0,)xx 时，g(x)单调 递增，当12(,)x x x 时，g(x)单调 递减，当 2,1 xx 时，g(x)单 调递 增，又 10 g，且 g(x)在(0，1)内 存在 唯一零 点x0，则 10 gx，即01xx，8 分 所以200001()0ax axgxx，且20 0 0 0()ln 022aag x x ax x，由 得：2001axx，代入 得0011ln 022xx 9 分 令 1 1 1ln 0,2 2 2h x x xx，则 221 1 2 122xhxx x x，当10,2x时，0 hx h(x)在(0，12)上单调 递减，10 分 又1 1 e 1 e 3ln 0e e 2 2 2 2h，1 1 1 3ln 2 2ln 2 04 4 2 2h h(x)在 区间11,e4有且 仅有 一个 零点，即011,4ex 1 2 分
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