1、1课时 2 匀变速直线运动的推论公式速度位移公式和初速度为零的比例式学习目标 1.会推导速度与位移的关系式，并知道关系式中各物理量的含义.2.会用公式vt2 v022 as 进行分析和计算.3.掌握初速度为零的匀变速直线运动的几个典型的比例式.4.会用匀变速运动的公式解决落体运动问题.速度与位移的关系式1.公式： vt2 v022 as.2.推导速度公式 vt v0 at.位移公式 s v0t at2.12由以上两式可得： vt2 v022 as.1.判断下列说法的正误.(1)公式 vt2 v022 as 适用于所有的直线运动.()(2)确定公式 vt2 v022 as 中的四个物理量的数值时
2、，选取的参考系应该是统一的.()(3)因为 vt2 v022 as， vt2 v022 as，所以物体的末速度 vt一定大于初速度 v0.()(4)在公式 vt2 v022 as 中， a 为矢量，与规定的正方向相反时 a 取负值.()2.汽车以 10 m/s 的速度行驶，刹车的加速度大小为 3 m/s2，则它向前滑行 12.5 m 后的瞬时速度为_ m/s.2答案 5一、速度位移公式的应用如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为 a，起飞速度为 v，则跑道的长度至少为多长？答案 v22a解析 飞机起飞所用时间 t ，起飞发生的位移 s at2 a 2 .va 12 12(va) v22a
3、1.适用范围：速度与位移的关系 vt2 v022 as 仅适用于匀变速直线运动.2.公式的矢量性： vt2 v022 as 是矢量式， v0、 vt、 a、 s 都是矢量，解题时一定要先设定正方向，一般取 v0方向为正方向：(1)若加速运动， a 取正值，减速运动， a 取负值.(2)s0，位移的方向与初速度方向相同， s0 则为减速到 0，又反向运动到计时起点另一侧的位移.(3)vt0，速度的方向与初速度方向相同， vt0 则为减速到 0，又反向运动的速度.注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性.3.公式的特点：不涉及时间， v0、 vt、 a、 s 中已知
4、三个量可求第四个量.例 1 美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统.已知“F15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为 5 m/s2，起飞的最小速度是 50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为 30 m/s，则：(航空母舰始终静止)(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？(2)航空母舰的跑道至少应该多长？答案 (1)4 s (2)160 m解析 (1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有t s4 s.vt v0a 50 305则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为 4 s.(2)由 vt2 v022 as 得3s m
5、160 m，即航空母舰的跑道至少为 160 m.v2t v202a 502 30225解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法1.如果题目中无位移 s，也不让求 s，一般选用速度公式 vt v0 at；2.如果题目中无末速度 vt，也不让求 vt，一般选用位移公式 s v0t at2；123.如果题目中无运动时间 t，也不让求 t，一般选用导出公式 vt2 v022 as.例 2 有一长为 L 的列车，正以恒定的加速度过铁路桥，桥长为 2L，现已知列车车头过桥头的速度为 v1，车头过桥尾时的速度为 v2，那么，车尾过桥尾时的速度为( )A.3v1 v2 B.3v2 v1C. D.3v2 v2
6、12 3v21 v22答案 C解析 列车车头过桥头到车头过桥尾有：v22 v122 a2L车头过桥尾到车尾过桥尾有：v32 v222 aL由以上两式可得，v3 .3v2 v212【考点】速度与位移关系的理解与应用【题点】速度与位移关系的应用中间位置的速度与初、末速度的关系：在匀变速直线运动中，某段位移 s 的初、末速度分别是 v0和 vt，加速度为 a，中间位置的速度为 2sv，则 s .(请同学们自己推导)v20 v2t2二、初速度为零的匀加速直线运动的比例式例 3 飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看做初速度为零的匀加速直线运动.若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，求
7、汽车：(1)1 s 末、2 s 末、3 s 末瞬时速度之比；(2)1 s 内、2 s 内、3 s 内的位移之比；(3)第 1 s 内、第 2 s 内、第 3 s 内的位移之比；4(4)经过连续位移，1 m 末、2 m 末、3 m 末的瞬时速度之比；(5)第 1 m 内、第 2 m 内、第 3 m 内所用时间之比.答案 (1)123 (2)149 (3)135 (4)1 (5)1( 1)( )2 3 2 3 2解析 (1)由 v at 知： v1 v2 v3123(2)由 s at2得： s1 s2 s312 23 214912(3)第 1 s 内位移 s a1212第 2 s 内位移 s a2
8、2 a12 a312 12 12第 3 s 内位移 s a32 a22 a512 12 12故 s s s 135(4)由 v22 as 得： v 2as得： v1 v2 v31 .2 3(5)由 s at2得：通过第 1 m 所用时间 tI ，通过第 2 m 所用时间 t t2 t1( 1) 12 2a 22a同理经过第 3 m 所用时间 t t3 t2( ) 3 22a所以有 t t t 1( 1)( ).2 3 2【考点】初速度为零的匀变速直线运动的比例关系【题点】初速度为零的匀变速直线运动的比例关系1.初速度为 0 的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为 T)，则：(1)T
9、末、2 T 末、3 T 末、 nT 末的瞬时速度之比为：v1 v2 v3 vn123 n.(2)T 内、2 T 内、3 T 内、 nT 内的位移之比为：s1 s2 s3 sn1 22 23 2 n2.(3)第一个 T 内、第二个 T 内、第三个 T 内、第 n 个 T 内的位移之比为：s1 s2 s3 sn135(2 n1).2.按位移等分(设相等的位移为 s)的比例式(1)前 s 末、前 2s 末、前 3s 末、前 ns 末的瞬时速度之比为：v1 v2 v3 vn1 .2 3 n(2)通过前 s、前 2s、前 3s、前 ns 的位移所用时间之比为： t1 t2 t3 tn15 .2 3 n(
10、3)通过连续相同的位移所用时间之比为：t1 t2 t3 tn1( 1)( )( ).2 3 2 n n 1例 4 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第 4 s 末的速度为 4 m/s.求：(1)第 6 s 末的速度大小；(2)前 6 s 内的位移大小；(3)第 6 s 内的位移大小.答案 (1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m解析 (1)由于第 4 s 末与第 6 s 末的速度之比 v4 v64623故第 6 s 末的速度 v6 v46 m/s32(2)由 v4 at4得 a 1 m/s 2.v4t4 4 m/s4 s所以第 1 s 内的位移 s1 a12
11、m0.5 m12第 1 s 内与前 6 s 内的位移之比 s1 s61 26 2故前 6 s 内小球的位移 s636 s118 m(3)第 1 s 内与第 6 s 内的位移之比 s s 1(261)111故第 6 s 内的位移 s 11 s 5.5 m.【考点】初速度为零的匀变速直线运动的比例关系【题点】等时间均分的比例式求出第 1 s 末的速度和第 1 s 内的位移，然后灵活应用初速度为零的比例式求解会比较简捷.三、自由落体运动规律的应用例 5 如图 2 所示，悬挂着的一根长为 15 m 的直杆 AB，在直杆正下方 5 m 处有一个无底圆筒 CD.若将悬线剪断，直杆通过圆筒所用的时间为 2
12、s，求无底圆筒的长度.( g10 m/s 2)图 2答案 25 m解析 取杆的下端 B 点为研究对象，6设下降 5 m 时 B 点的速度的大小为 vt，根据 vt22 gs 可得，vt m/s10 m/s，2gs 2105直杆通过圆筒的时间是从 B 点进入圆筒开始，到 A 点离开圆筒时结束，设圆筒的长度为 L，则在 2 s 内杆下降的距离为 L l， l15 m，由位移公式可得， L l vtt gt2，12解得 L25 m.自由落体运动为初速度为 0、加速度为 g 的特殊的匀加速直线运动，故一切匀变速直线运动的规律、推论对于自由落体运动都是适用的.(1)速度公式： vt gt.(2)位移公式
13、： s gt2.12(3)推论公式： vt22 gs.(4)初速度为零的匀变速直线运动的所有比例式.1.(速度位移公式的应用)某航母跑道长 200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为 6 m/s2，起飞需要的最小速度为 50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )A.5 m/s B.10 m/sC.15 m/s D.20 m/s答案 B解析 由 vt2 v022 as 得：v0 m/s10 m/s.v2t 2as 502 262002.(初速度为零的比例式)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第 1 s 内与第 2 s 内的位移之比为 s1 s2，在走完第 1
14、 m 时与走完第 2 m 时的速度之比为 v1 v2.以下说法正确的是( )A.s1 s213， v1 v212B.s1 s213， v1 v21 2C.s1 s214， v1 v212D.s1 s214， v1 v21 2答案 B73.(速度与位移关系的理解与应用)如图 2 所示，质量 m0.5 kg 的物体以 4 m/s 的速度从光滑斜面底端 D 点上滑做匀减速直线运动，途径 A、 B 两点，已知物体在 A 点时的速度是在 B点时速度的 2 倍，由 B 点再经过 0.5 s 物体滑到顶点 C 点时速度恰好为零，已知 AB0.75 m.求：图 2(1)物体在斜面上做匀减速直线运动的加速度大小
15、；(2)物体从底端 D 点滑到 B 点的位移大小.答案 (1)2 m/s 2 (2)3.75 m解析 (1)设沿斜面向上的方向为正方向，根据运动学公式有B C：0 vB atBC，解得 a2 vB A B： vB2(2 vB)22 asAB，解得 1.5a3 vB2 由得： a2 m/s 2，负号表示方向平行于斜面向下(2)把 a 代入得到 vB 1 m/s.a2物体从底端 D 点滑到 B 点的位移大小为 sDB m3.75 m.v2B v2D2a 1 162 2【考点】速度与位移关系的理解与应用【题点】速度与位移关系的应用一、选择题考点一 速度与位移关系的理解与应用1.在交通事故分析中，刹车
16、线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹.在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是 14 m，假设汽车刹车时的速度大小为 14 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为( )A.7 m/s2 B.17 m/s2C.14 m/s2 D.3.5 m/s2答案 A8解析 设汽车开始刹车时速度的方向为正方向，由 02 v022 as 得 a 7 m/s2，A v202s正确.2.如图 1 所示，一辆正以 8 m/s 的速度沿直线行驶的汽车，突然以 1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了 18 m 时的速度为( )图 1A.8 m/s B.12 m/s C.10 m/
17、s D.14 m/s答案 C解析 由 vt2 v022 as 得 vt m/s10 m/s，C 正确.v20 2as 82 2118【考点】速度与位移关系的理解与应用【题点】速度与位移关系的应用93.如图 2 所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由 5 m/s 增加到 10 m/s时位移为 x.则当速度由 10 m/s 增加到 15 m/s 时，它的位移是( )图 2A. x B. x C.2x D.3x52 53答案 B解析 由 vt2 v022 ax得 1025 22 ax,15210 22 ax；两式联立可得 x x，故 B53正确.【考点】速度与位移关系的理解与应用【题点
18、】速度与位移关系的应用4.一滑雪运动员由静止开始沿足够长的斜坡匀加速下滑.当下滑距离为 l 时，速度为 v，那么，当他的速度是 时，下滑的距离是( )v2A. B. C. D.l2 2l2 l4 3l4答案 C解析 由 v2 v022 as 知 v22 al；当速度为 时有( )22 al1，得 l1 ，C 正确.v2 v2 v28a l4【考点】速度与位移关系的理解与应用【题点】速度与位移关系的应用5.如图 3 所示，物体 A 在斜面上由静止匀加速滑下 s1后，又匀减速地在水平平面上滑过 s2后停下，测得 s22 s1，则物体在斜面上的加速度 a1与在水平平面上的加速度 a2的大小关系为(
19、)图 3A.a1 a2 B.a12 a2C.a1 a2 D.a14 a212答案 B解析 设匀加速运动的末速度为 v，对于匀加速直线运动阶段有： v22 a1s1，对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有： v22 a2s2，10联立两式解得 2，即 a12 a2.a1a2 s2s1【考点】速度与位移关系的理解与应用【题点】速度与位移关系的应用考点二 初速度为零的匀变速直线运动的比例式的应用6.质点从静止开始做匀加速直线运动，在第 1 个 2 s、第 2 个 2 s 和第 5 个 2 s 内三段位移之比为( )A.1425 B.287C.139 D.221答案 C解析 质点做初速度为零的匀加速直线运
20、动，在连续相等的时间间隔内位移之比为135(2 n1)，所以质点在第 1 个 2 s、第 2 个 2 s 和第 5 个 2 s 内的三段位移之比为 139，因此选 C.7.(多选)如图 4 所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度 v 射入.若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为( )图 4A.v1 v2 v3321B.v1 v2 v3 13 2C.t1 t2 t31 2 3D.t1 t2 t3( )( 1)13 2 2答案 BD解析 把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动
21、.子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为 1 .则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比2 3v1 v2 v3 1，故 B 正确.子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为 1( 1)3 2 2( ).则子弹实际运动穿过每个木块的时间之比为 t1 t2 t3( )( 1)3 2 3 2 21，故 D 正确.8.(多选)如图 5 所示，一个滑块从斜面顶端 A 由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端 C，已知 AB BC，则下列说法正确的是( )11图 5A.滑块到达 B、 C 两点的速度之比为 12B.滑块到达 B、 C 两点的速度之比为 1 2C.滑块通过 AB、 BC 两段的时间之
22、比为 1 2D.滑块通过 AB、 BC 两段的时间之比为( 1)12答案 BD解析 方法一 根据匀变速直线运动的速度位移公式： vt22 as，解得： vt ，因为经2as过 B、 C 两点的位移比为 12，则通过 B、 C 两点的速度之比为 1 ，故 B 正确，A 错误；2设 AB 段、 BC 段的长度为 L，所经历的时间分别为 t1、 t2，根据匀变速直线运动的位移时间公式： L at12和 2L a(t1 t2)2，联立可得： ，故 D 正确，C 错误.12 12 t1t2 2 11方法二 比例关系初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为 1( 1)( )2 3 2(
23、)，所以滑块通过 AB、 BC 两段的时间之比为 1( 1)( 1)1，Dn n 1 2 2正确，C 错误；前 s 末、前 2s 末、前 3s 末、前 ns 末的瞬时速度之比为1 ，A 错误， B 正确.2 3 n【考点】初速度为零的匀变速直线运动的比例关系【题点】等位移均分的比例式考点三 自由落体运动规律的应用9.一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是 1.2 m，那么它在第三段时间内的位移是( )A.1.2 m B.3.6 mC.6.0 m D.10.8 m答案 C解析 将该自由落体运动的时间分成了相等的三段，由其规
24、律知：第 T 内、第 2T 内、第 3T内的位移之比为 s s s 135，第一段时间内的位移为 1.2 m，则第三段时间内的位移为 s1.25 m6.0 m，故选 C.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动的比例式的应用10.(多选)从不同高度做自由落体运动的甲、乙两物体，质量之比为 21，下落高度之比为12，则( )A.下落时间之比是 1212B.落地速度之比是 11C.落地速度之比是 1 2D.下落过程中的加速度之比是 11答案 CD解析 由自由落体运动的规律知，自由落体运动快慢与物体的质量无关，高度 h gt2，故12t ，故下落时间之比是 1 ，选项 A 错误；由 v 知
25、落地速度之比是 1 ，选2hg 2 2gh 2项 B 错误，C 正确；自由落体运动的加速度与物体的质量无关，与高度无关，选项 D 正确.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用二、非选择题11.(速度位移公式的应用)长 100 m 的列车通过长 1 000 m 的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是 10 m/s，完全出隧道时的速度是 12 m/s，求：(1)列车过隧道时的加速度是多大？(2)通过隧道所用的时间是多少？答案 (1)0.02 m/s 2 (2)100 s解析 (1) s1 000 m100 m1 100 m， v110 m/s，v212 m/s，由
26、vt2 v022 as 得，加速度 a 0.02 m/s 2.v2 v212s(2)由 vt v0 at 得所用时间为 t s100 s.v2 v1a 12 100.0212.(速度位移公式的应用)小汽车在嘉峪关至山丹高速公路上行驶限速为 120 km/h，冬天大雾天气的时候高速公路经常封路，以免发生严重的交通事故.如果某人大雾天开车在此段高速公路上行驶时，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为 50 m，该人的反应时间为 0.5 s，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为 5 m/s2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是多大？答案 20 m/s解析 设汽车行驶的最大速度大小是 v，发现危险
27、目标时，在反应时间内 s1 vt0.5 sv；刹车过程中，由 v 末 2 v 初 22 as，代入数据得 0 v22(5 m/s2)s2，解得 s2.为安全行驶 s1 s250 m，即 0.5 sv 50 m，解得 v20 v210 m/s2 v210 m/s2m/s， v25 m/s(舍去).1313.(自由落体运动规律的应用)跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当速度达到 50 m/s 时打开降落伞，伞张开后运动员就以 5 m/s2的加速度做匀减速运动，到达地面时速度为 5 m/s，求：( g10 m/s 2)(1)运动员做自由落体运动的时间；(2)运动员做匀减速运动的时间；(3)运动员离开飞机时距地面的高度.答案 (1)5 s (2)9 s (3)372.5 m解析 (1)设自由落体运动所用时间是 t1，由自由落体运动规律得：由 v1 gt1解得： t1 s5 sv1g 5010(2)设运动员做匀减速运动的时间为 t2，则t2 s9 s.v2 v1a 5 50 5(3)运动员自由下落的高度 s1 gt1212得 s1125 m.设打开降落伞后下落高度为 s2v22 v122 as2解得： s2 m247.5 m52 502 25总高度 s s1 s2372.5 m.
