1、12.2.1 椭圆的标准方程学习目标 1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形知识点 椭圆的标准方程思考 在椭圆的标准方程中 abc 一定成立吗？答案 不一定，只需 ab， ac 即可， b， c 的大小关系不确定梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置 标准方程 焦点 焦距焦点在 x 轴上 1( ab0)x2a2 y2b2 F1( c,0)，F2(c,0)2c焦点在 y 轴上 1( ab0)y2a2 x2b2 F1(0， c)，F2(0， c) 2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程 1( ab0)x2a2
2、 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2焦点坐标 F1( c,0)， F2(c,0) F1(0， c)， F2(0， c)a， b， c 的关系 b2 a2 c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和 y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上” 如方程为 1 的椭圆，焦点在 y 轴上，而且可求出焦点坐标y25 x24F1(0，1)， F2(0,1)，焦距 F1F22.21椭圆的标准方程只与 a， b 的大小有关()2椭圆的标准方程中，有三个基本量，即 a， b， c 且 a2 b2 c2.()类型一 求椭圆的标准方程命 题 角
3、度 1 用 待 定 系 数 法 求 椭 圆 的 标 准 方 程例 1 求焦点在坐标轴上，且经过两点 P ， Q 的椭圆的标准方程(13， 13) (0， 12)解 方法一 当椭圆焦点在 x 轴上时，可设椭圆的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!由 ab0 知不合题意，故舍去当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2依题意有Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.y214x215方法二 设椭圆的方程为 mx2 ny21( m0， n0， m n)则Error! 解得Error!所以所求椭圆的方程为
4、 5x24 y21，故椭圆的标准方程为 1.y214x215引申探究求与椭圆 1 有相同焦点，且过点(3， )的椭圆方程x225 y29 15解 据题可设其方程为 1( 9)，x225 y29 又椭圆过点(3， )，将此点代入椭圆方程，得15 11( 21 舍去)，故所求的椭圆方程为 1.x236 y2203反思与感悟 1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为 mx2 ny21( m n， m0， n0)2与椭圆 1( ab0)有公共焦点的椭圆方程为 1( ab0， b2)，x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 与椭圆 1( ab0)有公
5、共焦点的椭圆方程为 1( ab0， b2)y2a2 x2b2 y2a2 x2b2 跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(4,0)， F2(4,0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)解 (1)设其标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2依题意得，2 a10， c4，故 b2 a2 c29，所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)设椭圆的一般方程为 Ax2 By21( A0， B0， A B)，则Error! 解得Error!故所
6、求椭圆的标准方程为 1.x2913y29116(3)设椭圆的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2依题意得Error!解得Error!所求椭圆的标准方程为 y21.x24命 题 角 度 2 用 定 义 法 求 椭 圆 的 标 准 方 程例 2 已知一动圆 M 与圆 C1：( x3) 2 y21 外切，与圆 C2：( x3) 2 y281 内切，试求动圆圆心 M 的轨迹方程解 依题意得 C1(3,0)， r11， C2(3,0)， r29，设 M(x， y)，动圆的半径为 R，则 MC11 R， MC29 R，故 MC1 MC2106 C1C2，据椭圆定义知，点 M 的轨迹是一个以 C1，
7、 C2为焦点的椭圆，且 a5， c3，故b2 a2 c216.故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为 1.x225 y2164反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定 a， b 的值跟踪训练 2 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 和453，过点 P 作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程253解 设椭圆的两个焦点分别为 F1， F2，不妨取 PF1 ， PF2 ，453 253由椭圆的定义，知 2a PF1 PF22 .5即 a .5由 PF1PF2
8、知， PF2垂直于焦点所在的坐标轴在 Rt PF2F1中，4 c2 PF PF ，21 2609 c2 ，53 b2 a2 c2 .103又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y 轴上，故所求的椭圆方程为 1 或 1.x25 3y210 3x210 y25类型二 椭圆中焦点三角形问题例 3 已知 P 是椭圆 1 上的一点， F1， F2是椭圆的两个焦点，且 F1PF230，求y25 x24 F1PF2的面积解 由椭圆的标准方程，知 a ， b2，5 c 1， F1F22.a2 b2又由椭圆的定义，知 PF1 PF22 a2 .5在 F1PF2中，由余弦定理得 F1F PF PF 2 P
9、F1PF2cos F1PF2，2 21 2即 4( PF1 PF2)22 PF1PF22 PF1PF2cos30，即 420(2 )PF1PF2，3 PF1PF216(2 )3 12FPSA PF1PF2sin F1PF212 16(2 ) 84 .12 3 12 3反思与感悟 1.在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆5的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数2在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义 MF1 MF22 a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面
10、积公式等)来求解跟踪训练 3 在椭圆 C： 1( ab0)的焦点三角形 PF1F2中， F1PF2 ，点 P 的坐x2a2 y2b2标为( x0， y0)，求证： PF1F2的面积 12PFSA b2tan . 2证明 在 PF1F2中，根据椭圆定义，得 PF1 PF22 a.两边平方，得 PF PF 2 PF1PF24 a2.21 2根据余弦定理，得 PF PF 2 PF1PF2cos 4 c2.21 2，得(1cos )PF1PF22 b2，所以 PF1PF2 .2b21 cos根据三角形的面积公式，得 12PFSA PF1PF2sin sin b2 .12 12 2b21 cos sin
11、1 cos又因为 tan ，sin1 cos2sin 2cos 22cos2 2sin 2cos 2 2所以 12PFSA b2tan . 2类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例 4 已知 B， C 是两个定点， BC8，且 ABC 的周长等于 18.求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程解 以 BC 的中点 O 为坐标原点，过 B， C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，如图所示由 BC8 可知点 B(4,0)， C(4,0)由 AB AC BC18 得 AB AC108 BC，因此，点 A 的轨迹是以 B， C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦
12、点的距离之和2a10，但点 A 不在 x 轴上由 a5， c4，6得 b2 a2 c225169.所以点 A 的轨迹方程为 1( y0)x225 y29反思与感悟 求动点的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程跟踪训练 4 如图，设定点 A(6,2)， P 是椭圆 1 上的动点，求线段 AP 中点 M 的轨x225 y29迹方程考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的
13、标准方程解 设 M(x， y)， P(x1， y1) M 为线段 AP 的中点，Error!又 1，x2125 y219点 M 的轨迹方程为 .x 3225 y 129 141椭圆 8x23 y224 的焦点坐标为_答案 (0， )，(0， )5 5解析 椭圆方程可化为 1，它的焦点位于 y 轴上，且 c ，y28 x23 5故两焦点坐标分别为(0， )，(0， )5 52已知椭圆 1 的焦距为 6，则 k 的值为_x220 y2k答案 11 或 29解析 当焦点在 x 轴上时，20 k3 2，解得 k11；当焦点在 y 轴上时，解得7k203 2，即 k29.3设 P 是椭圆 1 上一点，
14、P 到两焦点 F1， F2的距离之差为 2，则 PF1F2是x216 y212_三角形答案 直角解析 根据椭圆的定义知 PF1 PF28.又 PF1 PF22，所以 PF15， PF23.而 F1F24，所以 F1F PF PF ，2 2 21所以 PF1F2是直角三角形4 “mn0”是“方程 mx2 ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的_条件答案 充要解析 方程可化为 1.x21my21n若 mn0，则 0 0，可得 mn0.1n1m5已知椭圆 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1， F2的连线夹角为直角，则x249 y224PF1PF2_.答案 48解析 依题意知， a7， b2 ， c
15、 5，6 49 24F1F22 c10.由于 PF1 PF2，所以由勾股定理得 PF PF F1F ，21 2 2即 PF PF 100.21 2又由椭圆定义知 PF1 PF22 a14，( PF1 PF2)22 PF1PF2100，即 1962 PF1PF2100.解得 PF1PF248.1椭圆的定义式： PF1 PF22 a(2aF1F2)在解题过程中将 PF1 PF2看成一个整体，可简化运算2椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点” 、 “距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决83凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭
16、圆的定义 MF1 MF22 a(M 为椭圆上的点， F1， F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标 M(x0， y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算一、填空题1椭圆 1 的焦距等于 2，则 m 的值为_x2m y215答案 16 或 14解析 由 m151 得 m16 或 14.2已知椭圆 5x2 ky25 的一个焦点坐标是(0,2)，那么 k 的值为_答案 1解析 原方程可化简为 x2 1，因为 c2 14，得 k1.y25k 5k3已知椭圆 1 的一个焦点为(2,0)，则椭圆的标准方程为_x2a2 y22答案 1x26 y22解析 由题意知 a224， a26，所求
17、椭圆的方程为 1.x26 y224设 ，方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 的取值范围为(0， 2) x2sin y2cos_答案 (0， 4)解析 由题意知，cos sin 0，tan b0)的左，右两个焦点，若椭圆 C 上的点 Ax2a2 y2b2到 F1， F2两点的距离之和为 4，则椭圆 C 的方程是_(1，32)答案 1x24 y23解析 由 AF1 AF22 a4 得 a2，原方程化为 1，将 A 代入方程得 b23，x24 y2b2 (1， 32)椭圆 C 的方程为 1.x24 y238已知椭圆经过点( ，0)且与椭圆 1 的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为3x24 y29
18、_答案 1y28 x23解析 椭圆 1 的焦点在 y 轴上，且 c ，x24 y29 9 4 5故所求椭圆的焦点在 y 轴上又它过点( ，0)， b ， a2 b2 c28.3 3故这个椭圆的标准方程为 1.y28 x239 “1b0)x2a2 y2b2设焦点 F1( c,0)， F2(c,0)(c0) F1A F2A, 0，F1A F2A 11而 (4 c,3)， (4 c,3)，F1A F2A (4 c)(4 c)3 20， c225，即 c5. F1(5,0)， F2(5,0)2 a AF1 AF2 4 52 32 4 52 32 4 .10 90 10 a2 ， b2 a2 c2(2
19、)25 215.10 10所求椭圆的标准方程为 1.x240 y215三、探究与拓展14已知 F1， F2为椭圆 1 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A， B 两点若x225 y29F2A F2B12，则 AB_.答案 8解析 由题意，知( AF1 AF2)( BF1 BF2) AB AF2 BF22 a2 a，又由 a5，可得AB( BF2 AF2)20，即 AB8.15已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程解 以两个焦点连线的中点为坐标原点，两焦点 F1， F2所在直线为 x 轴， F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2依题意得，2 a3,2 c2.4，故 a1.5， c1.2，所以 b2 a2 c20.81.所以这个椭圆的标准方程为 1.x22.25 y20.81
