1、2023届江苏省扬州市宝应区曹甸高级中学高三上学期期中数学试题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】C【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.【详解】由题意可得：又故选：C【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.2从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（）ABCD【答案】A【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有，共15种取法，其中抽到的2张卡片上
2、的数字之积是3的倍数有，共9种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率；故选：3某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为（）ABCD【答案】A【分析】设小锥体的底面半径为，大锥体的底面半径为，小锥体的高为，大锥体的高为为，通过表示大圆锥和小圆锥体积，作差可得圆台体积.【详解】设小锥体的底面半径为，大锥体的底面半径为，小锥体的高为，大锥体的高为为，则大圆锥的体积即为，整理得，即小圆锥的体积为所以该圆台体积为故选：A.4已知平面和平面不重合，直线m和n不重合，则的一个充分条件是（）.A且B且C且D且【答案】D【分析】根
3、据空间中直线、平面的平行关系进行逐项判断即可.【详解】A若且，此时和可以相交或平行，故错误；B若且，此时和可以相交或平行，故错误；C若且，此时和可以相交或平行，故错误；D若且，则有，两个不同平面和同一直线垂直，则两平面平行，所以，故正确；故选：D.5已知函数的定义域是，则的定义域是（）ABCD【答案】D【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以所以函数的定义域为，要使有意义，则需要，解得，所以的定义域是.故选：D.6在三棱锥中，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为 （）ABCD【答案】A【分析】取AC中点Q
4、，连接PQ、BQ，根据线面垂直的判定定理，可证平面BPQ，即可得，结合题意，根据线面垂直的判定及性质定理，可证，同理，将补成一个正方体，根据条件，求得正方体边长，根据正方体体对角线为外接球直径，即可求得外接球半径r，即可得答案.【详解】取AC中点Q，连接PQ、BQ，如图所示 因为PA=PC，Q为AC中点，所以，又是正三角形，所以，又，平面BPQ，所以平面BPQ，又平面BPQ，所以，因为，分别是，的中点所以为中位线，所以又因为，所以，且，平面所以平面，所以，同理，则，两两垂直如图将补成一个正方体，如图所示， 由题意得：，则，又正方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球半径，所以，故选：A.【点睛
5、】解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定、性质定理，并灵活应用，对于侧棱两两垂直的三棱锥，外接球即为所在正方体的外接球，考查空间想象能力，属中档题.7在中,为的平分线,则（）ABCD【答案】C【分析】利用,得到和大小关系,即可得到结果.【详解】,且,为的平分线,即,(*),(*)式可化为:,即.故选:C.8设，则（）ABCD【答案】A【详解】因为，所以设，则，令，则当时，所以，所以当时，所以在上单调递增，从而，因此，即综上可得故选：A【点睛】比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，可以作差进行比较大小，而的大小比较，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较出大小，有难度
6、，属于难题.二、多选题9将函数图象向右平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，则下列四个结论中正确的是（）AB函数的图象关于点中心对称C函数在区间上为增函数D函数在上的值域为【答案】AB【分析】根据图象平移规律得到，计算的值可判断A；计算是否得0可判断B；求出的单调递增区间可判断C；根据的范围求出函数在上的值域可判断D.【详解】将函数图象向右平移个单位长度，得到的图象，然后所得函数纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，所以，对于A， ，故正确；对于B，函数，故正确；对于C，由得，即，所以的单调递增区间为，因为，故错误；对于D，因为，所以，所以函数在上的值域为，故错
7、误.故选：AB.10已知函数，则下列说法正确的是（）A的值域为RB是偶函数C的图象关于直线对称D【答案】BCD【分析】求得的值域判断选项A；求得的奇偶性判断选项B；求得的对称轴判断选项C；求得的大小关系判断选项D.【详解】，因为，所以的值域为.A错；的定义域是R，且，则是偶函数.B对；的图象可看成的图象向左平移一个单位长度，又的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称.C对；令，则，当时，单调递增，且又为上增函数，所以在上单调递增，因为，所以，又是偶函数，则，则.D对.故选：BCD.11函数的图象如图所示，则（）ABC对任意的都有D在区间上的零点之和为【答案】AB【分析】利用图象求得函数的解析式
8、，可判断AB选项的正误；计算的值，可判断C选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D选项的正误.【详解】由题图可知函数的最小正周期为，则，所以，把代入得，则，得，则AB选项均正确；，当时，不满足对任意的都有，C错误；，则共有个零点，不妨设为、，且，则，两式相加，整理得，故的所有零点之和为，D错误，故选：AB.12已知定义域为的函数的图象连续不断，且，当时，若，则实数的取值可以为（）A1BCD1【答案】BCD【分析】利用已知条件得到，构造函数，利用已知条件得到函数为奇函数且函数在上单调递减，可得函数在上单调递减，所给的不等式转化为，利用单调性求解即可.【详解】依题意可得：，故，令，则，所以函数为
9、奇函数，因为当时，即当时，故在上单调递减，由为奇函数可知，在上单调递减，因为，故，即，故，故，故实数的取值范围为.由选项可知：BCD正确；故选：BCD.三、填空题13已知定义在R上的函数为奇函数，且满足，当时，则_.【答案】【分析】利用周期性和奇偶性可把转化到已知范围上，代入表达式可求.【详解】由，所以2为的周期，所以.故答案为：.14已知（a，），则的最小值为_【答案】9【分析】根据，利用“1”的代换，将转化为，利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号.所以的最小值为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15袋子
10、中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为_.【答案】【分析】利用古典概率模型根据条件概率公式求解.【详解】设第一次摸到红球为事件,第二次摸到红球为事件,则,所以.故答案为:.16若角的终边经过点，且，则实数_.【答案】【分析】由题意可得角是第一象限的角，且，根据诱导公式可得，不妨取，代入中利用两角和的正切变形公式化简可求出的值【详解】因为角的终边经过点，所以因为，所以角是第一象限的角，所以，不妨取，则，所以，所以，所以，所以，故答案为：四、解答题17已知集合，中.(1)若，求m的值；(2)已知命题，命题，若p是q的
11、必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，结合交集的结果并讨论、求参数值，最后验证结果即可；（2）由题设有，列不等式组求参数范围即可.【详解】（1）由题设，又，当时，此时，则，显然不符题设；当时，此时，则，满足题设；所以.（2）由题设，当，可得；当，可得；所以.18设.(1)求f（x）的单调增区间及对称中心；(2)当时，求cos2x的值.【答案】(1)单调递增区间是；对称中心(2)【分析】（1）先利用二倍角公式及诱导公式化简得到，整体法求解函数的单调递增区间及对称中心；（2）先求出，结合得到，从而求出，利用余弦差角公式进行求解.【详解】
12、（1）由题意得：，由，可得；所以的单调递增区间是；令，解得：，此时函数值为-1，所以对称中心为（2），当时，19设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)若，求面积的最大值；(2)若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，且四边形的面积为.求的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式得到，从而求出，再由余弦定理和基本不等式求出，利用三角形面积公式求出答案；（2）利用三角形面积公式得到，结合第一问得到，从而求出四边形的面积，列出方程，求出.【详解】（1）由，得，即，由得，因为，所以，因为，所以，故，在中，由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立，（2）设，则，在中，由
13、（1）知为正三角形，故，故四边形的面积，故，所以，因为，所以，即.20如图，三棱锥中，平面平面，.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在中由勾股定理逆定理可得，再由已知面面垂直可得平面，则得，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论，（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】（1）证明：在中，因为，所以，所以，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，（2）以为坐标原点，为轴正方向
14、，为轴正方向，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，由题意得，所以， 设点坐标为，则所以， 所以点坐标为，所以因为直线与直线所成的角为，解得. 所以点坐标为，则.设平面的法向量为则，取，可得.-再设平面的法向量为，则，取，可得.所以所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.投入x（千万元）578101113收益y（千万元）111516222531(1)若与之间线性相关，求关于的线性回归方程.并估计若投入千万元，收益大约为多少千万元？（精确到）(2)现家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人
15、只抛掷一次，掷出正面向上的点数为的去甲城市，掷出正面向上的点数为的去乙城市.求：公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率.（用最简分数作答）参考数据及公式：，【答案】(1)；35.12亿元(2)；【分析】（1）根据公式分别求出，即可求出关于的线性回归方程，将当代入即可得出答案.（2）由古典概率的计算公式代入即可得出答案；6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数，则去甲城市的人数为0，1，2，分别求出其概率，即可得出答案.【详解】（1）（1），则 当，则所以当投入15千万元，收益大约为35.12亿元.（2） 设“某位代表去甲城市参加活动”为事件，
16、则，所以公司派出的代表去甲城市参加活动的概率为， 设“6位代表中去甲城市参加活动的人数少于去乙城市参加活动的人数”为事件，.22已知 ，函数，.(1)当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；(2)若，求证：.【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）分别对，求导，讨论和，得出和的单调性，即可求出，的极小值，即可得出答案.（2）令，由可得，要证 ，不妨设，所以只要证，令，对求导，得出的单调性，即可证明.【详解】（1），定义域均为，当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；当时，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；又，当时：，在单调递减，无极值，与题不符；当时：令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；由题：，解得：.（2）令，因为，所以，由可得：，（1）-（2）得：，所以，要证： ，只要证： ，只要证： 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只要证：，令， ， 所以在上单调递增， 即有成立，所以成立.第 18 页 共 18 页
