1、3.2 函数模型及其应用 几类不同增长的函数模型5分钟训练 (预习类训练,可用于课前)1.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c(其中,a、b、c为常数).已知四月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由.思路解析:此题想判断哪个函数最好,可以先通过前三个月给出的条件,确定两种模拟函数中参量的值,再由4月份的产量判断谁更接近1.37万件,则哪个函数就更合理.求参数的方法可以
2、采用待定系数法.解:设x表示月份,则根据已知代入1、2、3月的产量,得2x+1.4,利用计算器或计算机将x=4代入上述函数计算,得f(4)=1.3,g(4)=1.35.x+1.4更合适.2.试说明函数f(x)=(1+x)3在区间0,0.1上各点的函数值,可以近似地用一次函数g(x)=1+3x在相应区间上各点的函数值来表示,其绝对误差小于0.1.思路解析:要理解绝对误差的概念:差的绝对值.解:|f(x)-g(x)|=|(1+x)3-(1+3x)|=|1+3x+3x2+x3-1-3x|=|3x2+x3|=x2|x+3|.x0,0.1,|f(x)-g(x)|3.10.1.在区间0,0.1上,列出上述
3、两个函数的近似值,如下表所示:x01(1+x)311.2601+3x1从上表可以看出,在区间0,0.1上,用函数g(x)=1+3x的函数值去近似地表示f(x)=(1+x)3的函数值,其误差小于0.1.10分钟训练 (强化类训练,可用于课中)1.商店某种货物的进价下降了8,但销售价没变,于是这种货物的销售利润由原来的r增加到(r10),那么r的值等于( )A.12 B.15 C思路解析:销售利润=100.设销售价为y,进价为x,则解之,得r=15.答案:B200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如右图所示),则围成的矩形最大面积为_
4、m2(围墙厚度不计).思路解析:设矩形宽为x m,则矩形长为(200-4x) m,则矩形面积为S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500(0x50,x=25时,S有最大值2 500 m2.答案:2 5003.某列火车从北京西站开往石家庄,全程277 km,火车出发10 min开出13 km后,以120 km/h匀速行驶,试写出火车行驶路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的关系式,并求火车离开北京2 h内行驶的路程.思路解析:这里不仅要明确匀速运动的路程=速度时间,更要明确出发10 min后作匀速运动,还要明确t是匀速运动的时间,出发10 min末,开始计时,即t=0,也即t=
5、0时,s=13.解:火车匀速运动的时间为(227-13)120= (h),0t.火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t,火车行驶的路程s与t的关系是s=120t(0t).2 h内火车行驶的路程s=13+120(2-)=233(km).4.某旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租金.如果每间客房每日增加2元,客房出租就会减少10间,若不考虑其他因素,公司将房间租金提高多少时,每天客房的租金总收入最高?思路解析:由题意可知每天客房总的房租y元是x个2元的函数,为帮助同学们理解这道应用题,我们先用列表法求解,然后再用函数求解.解法一:xy030020=6
6、0001(300-101)(20+21)=6 3802(300-102)(20+22)=6 7203(300-103)(20+23)=7 0204(300-104)(20+24)=7 2805(300-105)(20+25)=7 5006(300-106)(20+26)=7 6807(300-107)(20+27)=7 8208(300-108)(20+28)=7 9209(300-109)(20+29)=7 98010(300-1010)(20+210)=8 00011(300-1011)(20+211)=7 98012(300-1012)(20+212)=7 92013(300-1013)
7、(20+213)=7 820由上表容易得到,当x=10,即每天租金为40元时,能租出客房200间,此时每天总租金最高,为8 000元,再提高租金,总收入就要小于8 000元.解法二:设客房租金每间提高x个2元,则将有10x间客房空出,客房租金总收入为y=(20+2x)(300-10x),xN,这个二次函数图象的对称轴为x=10,20+2x=40.当x=10时,y有最大值为(20+20)(300-100)=8 000.答:将客房租金提高到40元/间时,客房租金总收入最高,每天为8 000元.快乐时光 狗 名 妻子:“我想给小狗起个名字叫拜伦,母亲说这样会侮辱了这位诗人;后来我想把你的名字改给它,
8、母亲又说不好.” 丈夫:“你的母亲真好.” 妻子:“她说这样会侮辱了小狗.”30分钟训练 (巩固类训练,可用于课后)1.如右图所示,点在边长为1的正方形的边上运动,设M是CD边的中点,则当点沿着ABCM运动时,以点经过的路程x为自变量,APM的面积函数的图象形状大致是( )思路解析:本题主要考查求分段函数的解析式,如题图所示,当0x1时,y=x1=x;当1x2时,y=1-(x-1)-(2-x)-=-x+;当2x2.5时,y=(-x)1=-x.故y=图形为A.答案:A2.按复利计算利率的储蓄,银行整存一年,年息8,零存每月利息2,现把2万元存入银行3年半,取出后本利和应为人民币( )A.2(18
9、)万元B.2(18)3(12)6万元C.2(18)3225万元D.2(18)32(18)3(12)6万元思路解析:3年半本利和的计算问题,应转为3年按年息8计算,而半年按6个月(月息2)计算,又由于是复利问题,故只有选B.答案:B3.将进货单价为8元的商品按10元一个销售,每天可卖出100个.若每个销售涨价一元,则日销售量减少10个.为获得最大利润,则此商品当日销售价应定为每个_元.思路解析:设每个涨价x元,则实际销售价为(10+x)元,销售的个数为(100-10x),则利润为y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(0x10).因此x=4,即售价定
10、为每个14元时,利润最大.答案:144.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的结果的误差,使得几次测量分别得到a1,a2,an,共n个数据,我们规定所测量的物理量“最佳近似值”a是这样一个量,与其他近似值比较,a与各个数据的差的平方和最小,依此规定,以a1,a2,an推出的a=_.思路解析:设a与各数据的差的平方和为y,则y=(a-a1)2+(a-a2)2+(a-an)2=na2-2a(a1+a2+an)+(a12+an2+an2),因此a=时,y取得最小值.答案:5.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部
11、卖掉,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨价格为40元,求实数a、b的值.思路解析:利润=销售收入-生产费用(即成本).解:设利润为y元,则y=Qx-P=ax+-1 000-5x-x2=( -)x2+(a-5)x-1 000.依题意得化简得解得6.国内投寄信函,邮资按下列规定计算:(1)信函质量不超过100克时,每20克付邮资80分,即信函质量不超过20克付邮资80分,信函质量超过20克但不超过40克,付邮资160分,依次类推;(2)信函质量超过100克但不超过200克时,每100克付邮资200分,即信函质量超过100克但不超过200克,付邮资(A+200)分,A为质量为100克的信函的邮资
12、,信函质量超过200克但不超过300克,付邮资(A+400)分,依次类推;设一封x克(0x200)的信函应付邮资y分,试写出y与x之间的函数关系式,并画出这个函数的图象.思路解析:投寄信函所付邮资是按信函质量分别为(0,20,(20,40,(40,60,(100,200,(200,300,分段付费的,这是一个分段函数.解:这个函数的定义域为x|0x200,函数解析式为y=它的图象是6条线段(不包括左端点),都平行于x轴,如图所示.7.一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游,有两个旅行社同时发出邀请,且有各自的优惠政策.甲旅行社承诺,如果父亲买一张全票,则其家庭成员均可享受半价,乙旅行社承诺,家庭
13、旅行算团体票,按原价的计算,这两家旅行社的原价是一样的,若家庭中孩子数不同,试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的以孩子个数为变量的收费表达式,比较选择哪家更优惠?解:设两家旅行社的原价为a(a0),家庭孩子个数为x(xN *),甲、乙两家旅行社收费分别为f(x)和g(x),则f(x)=a+(x+1)=x+a(xN *),g(x)=(x+2) =x+(x xN *),g(x)f(x),得x+x+,x1.因此,当家庭只有1个孩子时,两家随便选择,当孩子数多于1个时,应选择甲旅行社.8.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是1,空气的温度是0,t min后物体的温度可由公式=0(1-0)e-kt62的物体,放在15的空气中冷却,1 min后物体的温度是52.求常数k的值并计算开始冷却后多长时间物体的温度是42?(精确到小数点后一位有效数字)解:由题意知52=15+(62-15)e-k,e-k= =0.787 2.两边取对数,得-klge=lg0.787 2,k=0.103 9=0.239 3.又-0=(1-0)e-kt,则lg(-0)=lg(1-0)-ktlge,则t=.将1=62,2=15代入上式得t=,若=42,则t2.3 min.