1、12.4.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数 p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题知识点一 抛物线的定义(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为 M；一个定点 F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比等于 11)知识点二 抛物线的标准方程思考 抛物线的标准
2、方程有何特点？答案 (1)是关于 x， y 的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围(2) p 的几何意义是焦点到准线的距离梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22 px(p0)， y22 px(p0)， x22 py(p0)， x22 py(p0)现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：标准方程y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)图形焦点坐标 (p2， 0) ( p2， 0) (0， p2) (0， p2)准线方程 x p2 x p2 y
3、p2 y p2p 的几何意义 焦点到准线的距离2(1)抛物线的方程都是二次函数()(2)抛物线的焦点到准线的距离是 p.()(3)抛物线的开口方向由一次项确定()类型一 抛物线的定义及应用例 1 (1)已知抛物线 C： y2 x 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C 上一点，| AF| x0，则 x0等于54( )A1B2C4D8考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用答案 A解析 由题意，知抛物线的准线为 x .14因为| AF| x0，根据抛物线的定义，得54x0 | AF| x0，所以 x01，故选 A.14 54(2)若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小
4、 1，则 P 点的轨迹方程是( )A y216 x B y232 xC y216 x D y232考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用答案 C解析 点 P 到点(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1，将直线 x50 右移 1 个单位，得直线 x40，即 x4，易知点 P 到直线 x4 的距离等于它到点(4,0)的距离根据抛物线的定义，可知 P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线 x4 为准线的抛物线设抛物线方程为 y22 px(p0)，可得 4，得 2p16，p2抛物线的标准方程为 y216 x，3即 P 点的轨迹方程为 y216 x，故选 C.反思与感悟 依据抛物线定义可以
5、实现点线距离与线线距离的转化跟踪训练 1 (1)抛物线 x24 y 上的点 P 到焦点的距离是 10，则 P 点的坐标为_考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用答案 (6,9)或(6,9)解析 设点 P(x0， y0)，由抛物线方程 x24 y，知焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y1，由抛物线的定义，得| PF| y0110，所以 y09，代入抛物线方程得 x06.(2)已知抛物线 C： y28 x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 M，点 P 在抛物线上，且|PM| |PF|，则 PMF 的面积为( )2A4B8C16D32考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用答案 B解
6、析 如图所示，易得 F(2,0)，过点 P 作 PN l，垂足为 N.| PM| |PF|，| PF| PN|，2| PM| |PN|.2设 P ，则| t| 2，(t28， t) t28解得 t4， PMF 的面积为 |t|MF| 448.12 12类型二 求抛物线的标准方程例 2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线 x2 y40 上考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 (1)设抛物线的标准方程为 y22 px 或 x22 py(p0)，又点(3,2)在抛物线上，2 p 或 2p ，43 924所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.4
7、3 925(2)当焦点在 y 轴上时，已知方程 x2 y40，令 x0，得 y2，所求抛物线的焦点为(0，2)，设抛物线的标准方程为 x22 py(p0)，由 2，得 2p8，p2所求抛物线的标准方程为 x28 y；当焦点在 x 轴上时，已知 x2 y40，令 y0，得 x4，抛物线的焦点为(4,0)，设抛物线的标准方程为 y22 px(p0)，由 4，得 2p16，p2所求抛物线的标准方程为 y216 x.综上，所求抛物线的标准方程为 x28 y 或 y216 x.反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求
8、出 p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定 p 的值跟踪训练 2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29 y2144 的左顶点；(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，| AF|5.考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 (1)双曲线方程可化为 1，x29 y216左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为 y22 px(p0)且 3， p2 p6，抛物线的方程为 y212 x.(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方
9、程为 y22 px(p0)， A(m，3)，由抛物线定义，得 5| AF| .|mp2|又(3) 22 pm， p1 或 p9，故所求抛物线方程为 y22 x 或 y218 x.6类型三 抛物线的实际应用问题例 3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5m 时，水面宽为 8m，一小船宽 4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高 0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为 x22 py(p0)，由题意可知，点 B(4，5)
10、在抛物线上，故 p ，得 x2 y.当船85 165面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则A(2， yA)，由 22 yA，得 yA .又知船面露出水面上的部分高为 0.75m，所以165 54h| yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2m 时，小船开始不能通航反思与感悟 涉及拱桥，隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练 3 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 O P1m，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2m， P 距抛物线的对称轴 1m，则水池的直径至少应设计多长？(
11、精确到 1m)考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为 x22 py(p0)依题意有 P(1，1)在此抛物线上，代入得 p ，故抛物线方程为12x2 y.又 B 在抛物线上，将 B(x，2)代入抛物线方程得 x ，2即| AB| ，则| O B| O A| AB| 1，2 2因此水池的直径为 2(1 )m，约为 5 m，2即水池的直径至少应设计为 5 m.71(2017牌头中学期中)准线方程为 y4 的抛物线的标准方程是( )A x216 y B x28 yC x216 y D
12、 x28 y答案 C解析 由题意可设抛物线方程为 x22 py(p0)，抛物线的准线方程为 y 4， p8，p2该抛物线的标准方程为 x216 y，故选 C.2以 F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是( )A x4 y2B y4 x2C x24 yD y24 x考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程答案 D解析 抛物线焦点为 F(1,0)，可设抛物线方程为 y22 px(p0)，且 1，则 p2，抛物线方程为 y24 x.p23已知抛物线 x24 y 上的一点 M 到此抛物线的焦点的距离为 2，则点 M 的纵坐标是( )A0B. C1D212考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答
13、案 C解析 根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y1，根据抛物线定义，得 yM12，解得 yM1.4一动圆过点(0,1)且与定直线 l 相切，圆心在抛物线 x24 y 上，则 l 的方程为( )A x1B x C y1D y116 116考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 C解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线 l 相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直8线 l 的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线 x24 y 上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以 l为抛物线的准线，所以 l： y1.5动点 P 到直线 x40 的距离比它到点 M(2,0)的距离大 2
14、，则点 P 的轨迹方程是_考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 y28 x解析 由题意可知，动点 P 到直线 x20 的距离与它到点 M(2,0)的距离相等，利用抛物线定义求出方程1焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2 mx(m0)，此时焦点为 F ，(m4， 0)准线方程为 x ；焦点在 y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 x2 my(m0)，此时m4焦点为 F ，准线方程为 y .(0，m4) m42设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦半径若 M(x0， y0)在抛物线 y22 px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦
15、点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径| MF| x0 .p23对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题一、选择题1对抛物线 y4 x2，下列描述正确的是( )A开口向上，焦点为(0,1)B开口向上，焦点为 (0，116)C开口向右，焦点为(1,0)D开口向右，焦点为 (0，116)考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程题点 求抛物线的焦点坐标答案 B9解析 由 y4 x2，得 x2 y，所以开口向上，焦点坐标为 .14 (0， 116)102已知抛物线 y22 px(p0)的准线经过点(1,
16、1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程题点 求抛物线的焦点坐标答案 B解析 抛物线 y22 px(p0)的准线方程为 x ，由题设知 1，即 p2，故焦点p2 p2坐标为 ，故选 B.(1， 0)3已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P(m，2)到焦点的距离为4，则 m 的值为( )A4 B2C4 或4 D12 或2考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 C解析 由题可设抛物线的标准方程为 x22 py(p0)，由定义知点 P 到准线的距离为 4，故 24， p4， x28 y.将点
17、 P 的坐标代入 x28 y，得 m4.p24若动圆的圆心在抛物线 y x2上，且与直线 y30 相切，则此圆恒过定点( )112A(0,2) B(0，3)C(0,3) D(0,6)考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 C解析 直线 y30 是抛物线 x212 y 的准线，由抛物线的定义，知抛物线上的点到直线y3 的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)5已知点 P 是抛物线 x24 y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 Q，点 A 的坐标是(8,7)，则| PA| PQ|的最小值为( )A7B8C9D10考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结
18、合的应用答案 C11解析 抛物线的焦点为 F(0,1)，准线方程为 y1，根据抛物线的定义知，|PF| PM| PQ|1.| PA| PQ| PA| PM|1| PA| PF|1| AF|1 11019.82 7 12当且仅当 A， P， F 三点共线时，等号成立，则| PA| PQ|的最小值为 9.故选 C.6如果 P1， P2， Pn是抛物线 C： y24 x 上的点，它们的横坐标依次为x1， x2， xn， F 是抛物线 C 的焦点，若 x1 x2 xn10，则|P1F| P2F| PnF|等于( )A n10 B n20C2 n10 D2 n20考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接
19、应用答案 A解析 由抛物线的方程 y24 x 可知其焦点为(1,0)，准线为 x1，由抛物线的定义可知|P1F| x11，| P2F| x21，| PnF| xn1，所以|P1F| P2F| PnF| x11 x21 xn1( x1 x2 xn) n n10，故选A.7已知直线 l 与抛物线 y28 x 交于 A， B 两点，且 l 经过抛物线的焦点 F， A 点的坐标为(8,8)，则线段 AB 的中点到准线的距离是( )A. B. C. D25254 252 258考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用答案 A解析 抛物线的焦点 F 坐标为(2,0)，直线 l 的方程为 y
20、(x2)43由Error! 得 B 点的坐标为 .(12， 2)| AB| AF| BF|282 ，12 252 AB 的中点到准线的距离为 .25412二、填空题8(2017牌头中学期中)若抛物线 y22 px 的焦点坐标为(1,0)，则 p_；准线方程为_答案 2 x19若抛物线 y22 px(p0)的准线经过双曲线 x2 y21 的一个焦点，则 p_.考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 2 2解析 双曲线 x2 y21 的左焦点为( ，0)，2所以 ，故 p2 .p2 2 210以椭圆 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_x216 y29考点 抛物线的标准方程题点 求抛
21、物线的标准方程答案 y216 x解析 椭圆的方程为 1，右顶点为(4,0)x216 y29设抛物线的标准方程为 y22 px(p0)，则 4，即 p8，抛物线的标准方程为 y216 x.p211已知 P 为抛物线 y24 x 上的任意一点，记点 P 到 y 轴的距离为 d，对于定点 A(4,5)，|PA| d 的最小值为_考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用答案 134解析 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线 l： x1.由题意得 d| PF|1，| PA| d| AF|1 1 1，4 12 52 34当且仅当 A， P， F 三点共线时，|PA| d 取得最小
22、值 1.3413三、解答题12已知抛物线 y22 x 的焦点为 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA| PF|的最小值，并求此时 P 点的坐标考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用解 将 x3 代入抛物线方程 y22 x，得 y .6 2， A 在抛物线内部6设抛物线上动点 P 到准线 l： x 的距离为 d，12由抛物线的定义，知| PA| PF| PA| d.当 PA l 时，| PA| d 最小，最小值为 ，72即| PA| PF|的最小值为 ，72此时 P 点的纵坐标为 2，代入 y22 x，得 x2， P 点的坐标为(2,2)13如图所示，抛物
23、线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴上，准线 l与圆 x2 y21 相切(1)求抛物线 C 的方程；(2)若点 A， B 都在抛线 C 上，且 2 ，求点 A 的坐标FB OA 考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 (1)依题意，可设抛物线 C 的方程为 x22 py(p0)，其准线 l 的方程为 y .p2准线 l 与圆 x2 y21 相切，圆心(0,0)到准线 l 的距离 d0 1，(p2)解得 p2.故抛物线 C 的方程为 x24 y.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! 由题意得 F(0,1)， ( x2， y21)， ( x1， y
24、1)，FB OA 2 ，FB OA ( x2， y21)2( x1， y1)(2 x1，2 y1)，14即Error! 代入得 4x 8 y14，21即 x 2 y11，21又 x 4 y1，所以 4y12 y11，21解得 y1 ， x1 ，12 2即点 A 的坐标为 或 .(2，12) ( 2， 12)四、探究与拓展14设抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，| MF|5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )A y24 x 或 y28 xB y22 x 或 y28 xC y24 x 或 y216 xD y22 x 或 y216 x考点
25、抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程答案 C解析 易知抛物线的焦点为 F .(p2， 0)由抛物线的定义，得 M .(5 p2， 2p(5 p2)设 N 点坐标为(0,2)因为圆过点 N(0,2)，所以 NF NM，即 1.2 p22p(5 p2) 25 p2设 t，p(5 p2)则式可化为 t24 t80，解得 t2 ，2 2即 p210 p160，解得 p2 或 p8.15已知抛物线 y22 px(p0)上的一点 M 到定点 A 和焦点 F 的距离之和的最小值等(72， 4)于 5，求抛物线的方程考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程15解 抛物线的准线为 l： x .p2当点 A 在抛物线内部时，4 22 p ，72即 p 时，过 M 作 MA l，垂足为 A，167则| MF| MA| MA| MA|.当 A， M， A共线时，(| MF| MA|)min5，即 5， p3，满足 p ，p2 72 167抛物线方程为 y26 x.当点 A 在抛物线外部时，4 22 p ，72即 p 时，| MF| MA| AF|，167当 A， M， F 共线时取等号，| AF|5，即 5，(72 p2)2 4 02 p1 或 p13(舍)，抛物线方程为 y22 x.当点 A 在抛物线上，即 p 时，结合明显不成立167综上，抛物线方程为 y26 x 或 y22 x.
