江苏省射阳县高中数学 第2章 平面向量活动单（打包11套）苏教版必修4.zip

1向量的概念及其表示【学习目标】1.了解向量的实际背景；理解向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量等概念.3. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别【重难点】重点: 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.难点: 准确理解向量的有关概念；平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【预习案】 看书 P59—60，弄懂下列概念 1、书 P58实例, 位移和距离有什么不同?；2、你能举出一些不仅有大小, 而且有方向的量么?比如？；3、这些量有何共同特征？；4、向量的概念：；5、根据以前所学知识，你认为可用哪些方法表示向量呢？；6、向量有数的属性，类比特殊的数，你想到了哪几种特殊向量？零向量： ；单位向量： ；7.类比数与数之间的特殊关系，你想到了向量与向量之间有哪几种特殊关系？相等向量： ；相反向量： ；8.向量也有形的属性，类比线段与线段的特殊位置关系，你想到了向量与向量之间有什么样的特殊关系? 平行向量： ；共线向量： ；9、实数可以比较大小，向量能吗？为什么? ；10、直线平行与向量平行有区别吗？如果有，你认为区别在那里？2【探究案】探究一：判断下列命题的真假, 并说明理由.（以讨论为主）(1)平行向量一定方向相同 （ ） ； (2)共线向量一定相等（ ） ；(3)起点不同, 但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量（ ） ； (4)不相等的向量一定不平行（ ） ； (5)向量的模是一个正实数（ ） ； (6)两个相反向量必是共线向量( ) （7）单位向量都相等（ ）(8)若两个单位向量互相平行, 则这两个单位向量相等（ ） （9）向量与是共线向量，则 A、 B、 C、 D 四点必在一直线上（ ） （10）任一向量与它的相反向量不相等. ( ) （11）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.( )（12） a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线( ) （13）向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量（ ） （14）有相同起点的两个非零向量不平行. （ ） （15）若 a∥ b， ∥ c，则 a∥c( ） 探究二：已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心, 在图中所标出的向量中:(1)试找出与 FE共线的向量; ；(2)确定与 相等的向量; ；(3) A与 BC相等吗? ；探究三：在如图的 4×5 方格纸中有一个向量 AB, 分别以图中的格点为起点和终点作向量, 其中与AB相等的向量有多少个? 与 长度相等的共线向量有多少个? ( AB除外)A BCDEF OAB1向量的共线定理【学习目标】1.理解向量共线定理, 了解其证明方法.2.会用向量共线定理判定向量共线, 解决有关向量共线问题.【重难点】重点: 向量共线定理及其应用； 难点: 向量共线定理的理解及证明【预习案】看书 P70-P71 弄懂下列概念，完成第 4 题1、如图, D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 的中点.(1) BC和 的关系如何? 答： ；(2)能否将 用 线性表示? 答： ；(3)你能总结出向量共线的一个条件吗? 答：（共线定理内容） ；3、向量共线定理及其证明：证明：注: (1)定理中包含两层意思 (2)注意条件 a≠ 0的限制.4、已知向量 a、 b满足 31(2)5ab, 试确定向量和 b满足的关系是 ；【探究案】探究一：判断两个向量共线1．设 e, 2是两个不共线向量, 判断下列各题中的向量 a, b是否共线?(1)a=5 1, b=－7 1e; (2) = 12e, =3 2 .B ACDE2变式： a=5 1e, 0b，则向量 a, b是否共线? ；2. 设 , 2是两个不共线向量, 向量 a= 21e－ 32,向量 b=3 1e－2 ，判断向量 a, b是否共线?探究二：向量的共线定理应用1.设 1e, 2是两个不共线向量, 四边形 ABCD 满足 AB= 21e－ 32,向量 DC=31－2 ，判断四边形 ABCD 的形状.2.设 1e, 2是平面内的一组基底, 如果 213eAB, 214eBC, 98CD, 求证: A、B、D 三点共线.变式：设 1e, 2是平面内的一组基底, 如果 123ABe, 214eBC, 98CD, 若 A、B、D 三点共线，则  ；1向量的数乘【学习目标】1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律.3.能熟练运用向量的数乘及加减运算进行有关计算和证明.【重难点】重点: 向量数乘的含义及运算律；难点: 综合运用向量的加减和数乘解决问题.【预习案】看书 P68-P69 弄懂下列概念，完成第 5 题1、质点从点 O 出发做匀速直线运动, 若经过 1s 的位移对应的向量用 a表示,那么在同方向上经过 3s 的位移所对应的向量可用 3a表示, 3 是何种运算的结果?请画出该质点经过 3s的位移所对应的向量。2.、 a+ 可记为 2a, 该怎样理解?请画图。3、向量的数乘的定义：4、向量数乘的运算律：5、设 a、 b为向量，计算下列各式：（1）－ 3×3 = ； （2）2（ a－ b）－（ +12a）= ；（3） （2m－n） －m－（m－n） （ － ）= （m、n 为实数）.【探究案】探究一： 根据向量的线性运算的定义作图●已知向量 a和向量 b, 求作向量－2.5 a和向量 2 －3 b.变式：作出 2b－3 a2探究二：向量线性运算律应用 （1） 、3( a－ b)－2( +2 )= ;（2） 、2(2 +6 －3 c)－3(－3 a+4b－2 c)= ;（3） 、 1[(3a+2b)－( + 1)]－2( +83)= .变式：1、化简： 3(26)2(9)cacb ；2、若 3(a－ x)=2( +2b)，则 x= ；探究三：利用已知向量线性表示所求向量●在正六边形 ABCDEF 中, 已知 AB=a, F=b, 求 AC, D, E.变式：如图, △OAB 中, C 为直线靠近 B 点三等分点, 用OAB向量表示向量；AOBCA BCDEF O1向量的减法【学习目标】1. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 2. 通过向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想【重难点】学习重点: 向量减法的概念和向量减法的作图法学习难点: 减法运算时方向的确定.【预习案】看书 P66-P67，弄懂下列概念，并完成第 4、5 题1、能从数的减法是加法的逆运算类比向量减法的定义吗?；2、通过类比定义向量的减法：；3、尝试向量减法的作图方法.，作图区域●注(1)作两向量的差对向量的起点的要求及差向量的方向.(2)减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(画图验证).4、平行四边形中， AB=a， D=b，则（1） 、 C= ；（2） 、 BC= ；5、用 a、 b表示向量，；【探究案】探究一：向量减法的图形表示如图, 已知向量 a, b不共线, 求作向量 a－ b.→ab→A B D C2变式:若 a, b共线, 则如何作向量 a－ b?探究二：向量减法的符号表示如图, O 是平行四边形 ABCD的对角线的交点,化简 DA+OC－ B－ A.变式：化简下列各式:(1) ( )()ACBDA=_____ (2) AB－ C+ D－ A=_______(3) ( +M)+( O－ )=______________ 探究三：差向量的模的相关问题已知两个非零向量 a,b, 若 的方向与 b的方向垂直, 试说明| a+b|与| － |的关系变式：已知四边形 ABCD中 ABa, Db,满足 AC|a+b|与BD|a－ b|相等，试判断四边形 ABCD的形状。OA BD C1向量的加法【学习目标】1. 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和. 培养数形结合解决问题的能力3. 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法【重难点】学习重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量学习难点: 理解向量加法的定义【预习案】看书 P63-P64（至少 3 遍）弄懂下列概念，完成第 6 题1、课本 P63实例，提出问题: OA, B, 三者之间有什么关系?；2、向量加法的定义3、向量加法的三角形法则： 4、向量加法的运算律：5 向量加法的平行四边形法则：6、填空① ABC；② ABCDEF；③；④ ；⑤ ED；【探究案】探究一：如图, O 是正六边形 ABCDEF 的中心, 作出下列向量;(1) A+ C (2) B+FE (3) OA+FE变式：作出上图中 D向量；A BCDEF O2探究二：在四边形 ABCD 中, 已知 ADBC, 试判断四边形 ABCD 是什么样的四边形? 变式：已知△ABC 为等边三角形，则下列各等式中部成立的是 (填序号)① ABC； ② ACB；③ ； ④ AC探究三：如图, 试用 a, b, c, d表示向量 AB.变式：若 M 是 DC 的中点，试用 a, b, c, d表示向量 AM.A BCDE→→ →→ab cd1向量平行的坐标表示【学习目标】：1.能正确地用坐标表示向量, 理解用坐标表示向量共线的条件.2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线【重难点】向量平行的条件的坐标形式的推导与应用【预习案】看书 P76-P77弄懂概念，完成第 2、3 题1.向量平行的坐标表示：2、已知 A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量 AB与 CD平行吗？ ；直线 AB与平行于直线 CD吗？ ；3、设向量 a＝(1,2)， b＝(2,3)，若向量 λa ＋ b与向量 c＝(－4，－7)共线，则λ ＝________.【探究案】探究一：向量平行的坐标表示1.已知 a=(4，2)， b=(6， y)，且 a∥ b，求 y.2.已知 )5,2()3,1,(CBA，试判断 A，B，C 三点之间的位置关系.变式：（1）设 3(,sin)2a， 1(cos,)3b，且 /ab，则锐角 为 （2）与向量 a＝(12,5)平行的单位向量为________．探究二：向量平行求参数已知 a= (1 , 0) , b= (2 , 1), 当实数 k为何值时, 向量 ka－ b与 +3 平行, 并确定此时它们是同向还是反向.2变式：（1）向量 (2,3)a， (1,2)b，若 mab与 2平行，则 m等于 （2）已知向量 ＝(1,0)， ＝(0,1)， c＝ k ＋ (k为实数)， d＝ a－ b.如果c∥ d，那么 c与方向相________(填“同”或“反”)．探究三：向量平行在几何图形中的应用已知 A、B、C、D 四点的坐标分别为 A(5 , 1) , B(3 , 4) , C(1 , 3) , D(5 ,-3) 。①判断并证明四边形 ABCD的形状；②求 AC与 BD的交点 E的坐标.变式：已知△ ABC中， A(7,8)， B(3,5)， C(4,3)， M、 N分别是 AB、 AC的中点， D是 BC的中点， MN与 AD交于 F，求 .DF→ 1平面向量的坐标运算【学习目标】1.正确理解平面向量的坐标概念 2.掌握平面向量的坐标运算3.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.【重难点】学习重点: 平面向理的坐标运算 学习难点: 平面向理坐标表示的理解【预习案】看书 P76-P77 弄懂下列概念，完成 5--8 题1、前面以平面向量研究从“形”的层面借助于有向线段表示, 能否从“数”的层面研究?具体怎么研究，小组可以讨论得出结论：2、平面直角坐标系中点与有序实数对如何一一对应的? 3、平面向量的坐标表示： 4、平面向量的坐标运算： 5、已知 2,31,5ab ，则 3ab等于 ； 6、已知 A（ x，2） ， B（5， y－2)，若 ＝（4，6） ，则 x、 y 的值为 ； AB→ 7、已知 M（3，－2） ， N（－5，－1） ， ＝ ，则 P 点的坐标为 ； MP→ 12MN→ 8、若 a－ b＝（1，2） ， a＋ b＝(4，－10） ，则 a 等于 ； 129、设向量 (,)AB ，且点 A 的坐标为（1，2），则点 B 的坐标为 ；【探究案】探究一：求向量的坐标●如图, 已知 O 是坐标原点, 点 A 在第一象限, |OA|=4 3, ∠xOA=60°, 则向量 的坐标为 .变式：已知 O 为原点，A(－1 , 3) , B(1 , －3) , C(4 , 1) , D(3 , 4) , 向量 A= ； B= ,； AO= ； CD= ；2探究二：向量的坐标运算●已知点 O、A、B、C 的坐标分别为(0 , 0) , (3 , 4) , (－1 , 2) , (1 , 1)，是否存在常数 t , 使 +t = 成立? 变式：已知 a(3 , 4) , b(－1 , 2) , c(1 , 1)，用 ,ab的形式表示 c探究三： ●已知 P1(x1 , y1), P2(x2 , y2) , P 是直线 P1P2上一点, 且 12P, 求 P 点坐标 .变式：已知 A(-1,2),B(3,4),点 C 在线段 AB 的反向延长线上，且满足 AC=3AB,求点 C的坐标。1平面向量的基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理及其意义；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决问题的重要思想方法；3.够在具体问题中适当地选取基底，并会用给定的基底表示指定的向量.【重难点】平面向量基本定理理解与应用【预习案】看书 P74-P75，弄懂下列概念，完成第 6 题1、平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M , aAB, bAD, 试用 a, 表示下列向量 C= ,； = ； MB= ； = ；.2、平面内任一向量是否可以用两个不共线向量来表示呢?请写出所得到的结论：（平面向量基本定理的内容）3、基底： ；4、正交分解： ；●思考: 平面向量基本定理与向量共线定理在内容和表述形式上有什么区别和联系.：区别是： ；联系： ；5、设 1e, 2上两个不共线向量,已知 21eAB, 123Cek, 12CDe，若A、B、D 三点共线, 则 k 的值.为 ；【探究案】探究一：运用一组基底表示相关向量.设 1e, 2是两个不共线向量, a= 1e+ 2 , b=3 1e－ 3 2，向量 a, b是否能作为e1e2a→ →→A BCDM2一组基底?证明你的结论。变式：设 1e, 2是两个不共线向量, a= 1e+ 2 , b=3 1e－3 2， 12 7ce，请用向量 a, b表示向量 c。探究二：三点共线的证明及求解设 1e, 2上两个不共线向量, 已知 21ekAB, 123CBe,若三点A、B、C 共线, 求 k 的值.变式：设 1e, 2上两个不共线向量, 已知 21ekAB, 3BC, 12De，若三点 A、B、D 共线, 则 k 的值为 ；探究三：在特殊图形中使用向量定理●已知点 G 是△ABC 重心, 求证: 13CGAB.变式： 2CD; （2） 0ABC;（3） 1OGABOC.1向量的数量积（1）【学习目标】：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解平面向量数量积的概念及其性质的简单应用【重难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用【预习案】看书 P83-P84 弄懂下列概念，完成第 5 题1、通过 P76实例: 物理学中的“功”引入，F 所做的功 W 为 ；2、向量的夹角： ；3、平面向量的数量积定义：；4、数量积的运算律: 设 a、 b、 c为向量, λ 为实数, 则: ① a·b= · ②(λ )· =a· (λ b)=λ( a· )=λ ·b ③( a+ )·c= · + · c 思考: 向量的数量积满足结合律吗?答： ；5、完成下列题目，已知两个非零向量 与的夹角 ，当 =0°时，向量 a与 b方向___________， ba____________;当 =180°时，向量 与 方向___________，____________;当 =90°时，向量 与方向___________， ____________;【探究案】探究一：根据向量数量积定义求值1.已知向量 a与向量 b的夹角为 θ, | a|=2 , |b|=3 , 分别在下列条件下求 a·b.(1) θ=135° (2) // (3) ⊥2探究二：向量数量积的简单运用1. 已知向量 a与向量 b的夹角为 θ, |a|=2 , |b|=3，且 a·b=3，则向量 a与向量b的夹角为 ；2．已知| a|=6 , |b|=4, a与 的夹角为 120°,求（1）. ( +2 )·( －3 )； （2） +ab课堂小结：1向量的数量积（2）【学习目标】：1.掌握平面向量数量积的运算律2.会用两向量的数量积解决向量的垂直、长度、角度问题.【重难点】向量的数量积及其运算律在解决长度、角度、垂直等有关问题上的应用.【预习案】基础知识填空后完成 5，6 两题1、向量的夹角： ；2、平面向量的数量积(1)定义： ；(2)几何意义： ；3、运算律： ；4、向量数量积的重要性质：；5、已知: | a|=2 , |b|=4 , a与 的夹角为 1200 , 则 ab_________；6、已知| |=4 , | |=1 , ( －2 )·( +3b)=12, 则 与 的夹角 θ=_________；【探究案】探究一：求向量的模1．已知向量 a和 b的夹角是 3,|a|=2 , |b|=1, 则( a+b)2=_____ , |a+b|=_____；2．已知: | |=2 , | |=5 , · =－3 , 则| + |=__________ , |a－ b|=_________.；变式：（1）.平面向量 a与 b 的夹角为 06， 2a， 1b 则 2ab （2） ．已知向量 a， b 夹角为 45°，且| a|＝1，|2 a－ b|＝ ，则| b|＝________.102探究二：求向量的夹角已知| a|=6 , |b|=4 , (a+2b)·( －3 )=－72 , 求 a与 b的夹角 θ.变式：若向量 a 与 b 的夹角为 60°，|b|＝4，( a+2b)·( －3 )=－72 ,， 则向量 a的模是________．探究三：向量垂直的相关问题1．若 e1， e2是两个单位向量， a＝ e1－2 e2， b＝5 e1＋4 e2，且 a⊥ b，则 e1， e2的夹角为________．2．已知| a|=3 , |b|=4, (且 a与 b不共线), 当且仅当 k 为何值时, 向量 a+kb与－k b互相垂直?1向量的应用【学习目标】：1. 掌握平面向量数量积的坐标表示2. 掌握向量垂直的坐标表示的等价条件【重难点】平面向量数量积的坐标表示的综合运用（解决长度、角度、垂直等问题）【预习案】1．在边长为 1 的正方形 ABCD 中， M 为 BC 的中点，点 E 是线段 AB 的三等分点（靠近 A） ，则 ECM=________．2．在边长为 6 的等边三角形 ABC 中，点 M 满足 B＝2 A，则 CM· B＝________.【探究案】探究一：特殊图形中的向量数量积1．在直角三角形 ABC 中，∠ C＝ ， AC＝3，取点 D 使 B＝2 A，那π 2么 CD· A＝________.变式：在△ ABC 中，若 AB＝1， AC＝ ，| AB＋ C|＝||，则 ＝________.3·||22 在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设 2,3,BCDAE则ADBE__________________．探究二：向量的线性运算与向量数量积运算1．已知向量 AB与 C的夹角为 120°，且| AB|＝3，| C|＝2.若 AP＝ λ B＋AC，且 P⊥ ，则实数 λ 的值为________．2．如图，在△OAB 中，已知 P 为线段 AB 上的一点， .OPxAyB（1）若 B，求 ， 的值；（2）若 3， |4， |2O，且OA与 的夹角为 60°时，求 PAB 的值。探究三：向量数量积的简单应用31．在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知向量 OA＝(2,2)， B＝(4,1)，在 x轴上取一点 P，使 A·B有最小值，则 P 点的坐标是________．2．在边长为 1 的正方形 ABCD 中， M 为 BC 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，则ECMA的取值范围是： 3、已知直角梯形 ABCD中， //B, 09ADC, 2,1BC,P是腰DC上的动点，则 3P的最小值为____________.探究四：运用向量证明41．已知: OABC，，求证： OCAB2．向量 ,OABC，满足条件 +=0OABC且 =1OABC，求证：是正三角形。