江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题（打包6套）.zip

1N 3x开始输入 x0≤ 2xy输出 y结束Y（第 5 题）2016 年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1． 已知集合 ， ，则 A B＝ ▲ ．0Ax≥ 1Bx【答案】 R2． 某公司生产三种型号 A， B， C 的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆，2000 辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，则型号 A 的轿车应抽取 ▲ 辆．【答案】63． 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点坐标为 ，则实数 的xOy2(0)xpy(0 1)， p值为 ▲ ．【答案】24． 已知集合 ．现从集合 中随机选取一个元素，则0 A， ， ， ， ， ， ， ， A该元素的余弦值为正数的概率为 ▲ ．【答案】 495． 如图，是一个算法的程序框图，当输出的 值为 2 时，若将输入的 的所有可能值按yx从小到大的顺序排列得到一个数列 ，则该数列的通项公式为 ▲ ．nana【答案】 34na6． 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为 D，决定矮的基因记为 d，则杂交所得第一子代的一对基因为 Dd，若第二子代的 D，d 的基因遗传是等可能的（只要有基因 D 则其就是高茎，只有两个基因全是 d 时，才显示矮茎） ，则第二子代为高茎的概率为 ▲ ．2BACD1B1AC(第 9 题）EF 【答案】 347． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 ， ，则 ▲ ．(1 2)，a(2 1)5，bab 【答案】258． 已知 为正实数，满足 ，则 的最小值为 ▲ ．xy， 26xy+xy【答案】189． 如图，已知正四棱柱 的体积为 36，点 ，1ABCDEF分别为棱 ， 上的点（异于端点） ，且 ，则四1 /BC棱锥 的体积为 ▲ ．AEF【答案】1210． 设定义在区间 的函数 （其中 ）是偶函数，则函数 ， ()sin)fx0的单调 ()fx减区间为 ▲ ．【答案】 (0 ，【解析】依题意， ，则 的减区间为 ．()cosfx(0 ，11．在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，直线 ：xOyC22()1)ay(1)a≤ ≤ lyxb．若动圆 总在直线 的下方且它们至多有 1 个交点，则实数 的最小值是 ()RCl b▲ ．【答案】2【解析】依题意，圆心 的轨迹为线段 ，( 12)Ca， (1)a≤ ≤ 12yx(1)≤ ≤当且仅当 ，且 时，实数 的最小，此时 ．2bb2b12．如图，三次函数 的零点为 ，则该函数的单调减区间为 ▲ 32yaxbcd1,．【答案】 273, 【解析】设 ，其中 ，令()1)(2)fxax0a（第 12 题）1 1 Oxy3xMyBOACA BCO（第 13 题）得 ，所以该函数的()0fx272733x 单调减区间为 ；, 13．如图，点 为△ 的重心，且 ， ，则 的值为 ▲ ．OABCOAB6AB【答案】72【解析】以 AB 的中点 M 为坐标原点， AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 ，30A，， 设 ，则 ，30B， ()Cxy， Oyx，因为 OA OB，所以 ，0B从而 ，233yx化简得， ，281所以 ．22()97ACBxyx14．设 均为非零常数，给出如下三个条件：kb，① 与 均为等比数列；{}nan② 为等差数列， 为等比数列；{}nkab③ 为等比数列， 为等差数列，{}na其中一定能推导出数列 为常数列的是 ▲ ． （填上所有满足要求的条件的序号）{}na【答案】①②③【解析】①易得 ，211nnnkxbkxbkx即 ，22 21()nb因为 ，且 ，所以 ，即证；1nnx0kb2x②由①知 ，22 211()nnkxkbb4因为 ，所以 ，即证；12nnx21nnx③易得 ，且 ，1kbkbkb0k故 ，又 ，即证．12nnx21nnx二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本题满分 14 分）已知 ， ， ， ．π02， π， 1cos37sin9（1）求 的值；tan（2）求 的值．si解：（1）因为 ，且 ，22222cosin1tacosin1cos3所以 ，解得 ， （4 分）21tan132tan因为 ，所以 ，从而 ，π2， π2， tan02所以 ． （6 分）tan（2）因为 ， ，π2， 1cos3所以 ， （8 分） 22sin1又 ，故 ，π0， π，从而 ， （10 分）22 47cos1sin19所以 ini()()cos()sin． （14 分）71934219316． （本题满分14分）5如图，在长方体 中， 已知 ， ，点 E 是 AB 的中1ABCD1AD2AB点．（1）求三棱锥 的体积；1E（2）求证： ．DA【解】 （1）由长方体性质可得, 平面 DEC， 1D所以 是三棱锥 的高,1CE又点 E 是 AB 的中点， ，1AAB＝2，所以 , ， ， 2D2CD90E三棱锥 的体积 ；(7 分)1C1133V（2）连结 , A因为 是正方形,所以 ，1D1AD又 面 ， 面 , E1所以 ，A又 ， 平面 ，1D1AE， 1D所以 平面 ，(12 分)而 平面 , 1E1所以 ．(14 分)DA17． （本题满分 14 分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用） ．它的上部是底面圆半径为 5m 的圆锥，下部是底面圆半径为 5m 的圆柱，且该仓库的总高度为 5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为 4 百元/ ，1 百元/ ，设圆2m2A E BCD1AA1ABA（第 16 题）6锥母线与底面所成角为 ，且 ，问当 为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）π0 4， 最少？并求出此时圆锥的高度．解：设该仓库的侧面总造价为 y，则 152π5(1tan)2π4cosy， （6 分）si0+co由 得 ， ，2in1s5π0y1in2π0 4，所以 ， （10 分）6列表：所以当 时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为 m． （14 分）π6y5318． （本题满分 16 分）定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．如图，在平面直角坐标系 中，设椭圆 的所有内接菱形构成的集合xOy214xy为 ．F（1）求 中菱形的最小的面积；（2）是否存在定圆与 中的菱形都相切?若存在，F求出定圆的方程；若不存在，说明理由；（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线的方程．解：（1）如图，设 ， ，1( )Axy， 2( )By，π0 4， 6π 4，y-0 +↘ 极小值 ↗（第 17 题）xyOBCDA(第 20 题)7当菱形 的对角线在坐标轴上时，其面积为 ；1ABCD1424当菱形 的对角线不在坐标轴上时，设直线 的方程为：2 AC，① ykx则直线 的方程为： ，BD1yxk又椭圆 ， ②214xy由①②得， ， ，214k2214ky从而 ， 221()OAx同理可得， ， （3 分）2222144(1)kkBy所以菱形 的面积为ACDOAB42817k4217k249171k21947k29417k≥ 65(当且仅当 时等号成立),k综上得，菱形 的最小面积为 ；（6 分）ABCD15（2）存在定圆 与 中菱形的都相切，设原点到菱形任一边的距离为 ，245xyF d下证： ，d证明：由(1)知，当菱形 的对角线在坐标轴上时， ，ABCD25d当菱形 的对角线不在坐标轴上时， 22OAB22224(1)()4k，即得 ，22 24(1)()(4)kkk 24(1)45k25d8综上，存在定圆 与 中的菱形都相切；（12 分）245xyF（3）设直线 的方程为 ，即 ，AD3t30txyt则点 到直线 的距离为 ，(0 )O， 251t解得 ，21t所以直线 的方程为 ． （ 16 分）AD231yx19． （本题满分 16 分）设 ， ， 为实数，函数 为 上的奇函数，且在区间abc32()fxabxcR上单调．1 ，（1）求 ， ， 应满足的条件；abc（2）求函数 的单调区间；()fx（3）设 ，且 ，求证： ．001 ≥ ， ≥ 0()fx0()fx解：（1）因为 为 上的奇函数，32()fxabcR所以 ，即 ，()ff32xabc32xabc变形得， ，20axc所以 ， （2 分）此时 在区间 上单调，3()fb1 ，则 在区间 上恒成立，得 ；（5 分） 20fx≥ ， 3b≤（2） ，且 ，()3fb3≤当 时， ，所以函数 的单调增区间为 ；0≤ 2()0fxb≥ ()fx( )，（7 分）当 时， 得，函数 的单调减区间为 ，b2()3fx()fx( )3b，单调增区9间为 ， ；（10 分）( )3b， ( )，（3）设 ，则 ， ，0)fxt1≥ 01ftx≥即有 ，且 ，3bt3bt两式相减得， ，0 0xtx即 ，2201xttb因为 ， ， ，所以 ，1t≥ 0≥ 3≤ 2201xtb≥故 ，即 ． （16 分）0xt0()fx20． （本题满分 16 分）若存在非零常数 ，对任意的正整数 ， ，则称数列 是“ 数pn212napnaT列” ．（1）若数列 的前 n 项和 ，求证： 是“ 数列” ；na2nSNnaT（2）设 是各项均不为 0 的“ 数列” ．T①若 ，求证： 不是等差数列；0pna②若 ，求证：当 ， ， 成等差时， 是等差数列． 123na解：（1）当 时， ；1naS当 时， ，2≥ 221()1nnn所以 ， ， （3 分）naN则 是“ 数列” 存在非零常数 ，Tp2(1)()3nnp显然 满足题意，所以 是“ 数列” ；（ 5 分）4pnaT（2）①假设 是等差数列，设 ，na1()d则由 得， ，212np211()()annandp解得 ，这与 矛盾，故假设不成立，0pd≥ 010从而 不是等差数列；(10 分)na②因为 ， ①212np0所以 ， ②1 na≥① ②得， ，221nnnaa(2)≥因为 的各项均不为 0，n所以 ，121nnaa()≥从而 是常数列，≥因为 ， ， 成等差，所以 ，1a23312a从而 ，即 ，即证．(16 分)1nn≥ 1nn2≥试题Ⅱ（附加题）21． 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A． （几何证明选讲）如图，已知凸四边形 的顶点在一个圆周上，ABCD另一个圆的圆心 在 上，且与四边形OABCD的其余三边相切．点 在边 上，且 ．EE求证： ， ， ， 四点共圆．证明：因为 ，AD所以 ，1802EA因为四边形 的顶点在一个圆周上，BC所以 ， 1从而 ， AEDOBCDO（第 21—A 题）E11所以 ， ， ， 四点共圆． （10 分）OECDB． （矩阵与变换）在平面直角坐标系 中，设点 P(x，5)在矩阵 M 对应的变换下得到点xy1234Q(y 2， y)，求 ．1xM解：依题意， ，即 解得 （4 分）2345x2y102 3xy，， 8xy，，由逆矩阵公式知，矩阵 M 的逆矩阵 ， （8 分）4132所以 ． （10 分） 1xy2138610C． （极坐标与参数方程）在极坐标系中，设直线 过点 ， ，且直线 与曲线 ：l3 A，  B， lC有且只cos(0)a有一个公共点，求实数 的值．a解：依题意， ， 的直角坐标方程为 ， ，3 A，  B， 3 2A， 3 B，从而直线 的普通方程为 ， （4 分）l30xy曲线 ： 的普通方程为 ， （8 分） Ccos(0)a224axy(0)a因为直线 与曲线 有且只有一个公共点，l所以 ，解得 (负值已舍)． （10 分）32a(0)2aD． （不等式选讲）设正数 ， ， 满足 ，求证： ．abc3abc≤ 1132abc≥12PABCD（第 22 题）E证明：由柯西不等式得， 11(1)()abcabc ， （6 分） 2≥ 3 所以 ． （10 分）1193abcabc≥ ≥ 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，且PABCDAB90ABCDPAB ， 平面 ．12D （1）求 与平面 所成角的正弦值；PC（2）棱 上是否存在一点 满足 ？EAC若存在，求 的长；若不存在，说明理由．A解：（1）依题意，以 为坐标原点，分别以 ， ，DAP为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，xyzOxyz则 ， ， ， ， (0 1)P， ， ( 0)B， ， (1 0)C， ， (20)， ，从而 ， ， ， （2 分） ， ， P， ， 1PD， ，设平面 的法向量为 ，则 ，且 ，CD( )abc， ，nn0Cn0PD即 ，且 ，不妨取 ，则 ， ，0abc2021ba所以平面 的一个法向量为 ， （4 分） P(1 )， ，此时 ，31cos 62B， n所以 与平面 所成角的正弦值为 ；（ 6 分） CD（2）设 ，则 ，(01)PE≤ ≤ (0 1)E， ，则 ， ， 2 ， ， 2A， ，13由 得， ，AECAE22(1)+(0C化简得， ，该方程无解，25410所以，棱 上不存在一点 满足 ． （10 分）PDAE23．设整数 3，集合 P {1，2，3，…， n}， A， B 是 P 的两个非空子集．记 an为所有满n≥ 足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对( A， B)的个数．（1）求 a3；（2）求 an．解：（1）当 3 时， P {1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对( A， B)为：（{1}，{2}） ， （{1}，{3}） ， （{2}，{3}），（{1}，{2，3}） ， （{1，2}，{3}）共 5 对，所以 a3 ；（3 分） 5（2）设 A 中的最大数为 k，其中 ,整数 3，1kn≤ ≤ ≥则 A 中必含元素 k，另元素 1，2，…， k 可在 A 中，故 A 的个数为：1， （5 分） 011CCkkB 中必不含元素 1，2，…， k，另元素 k 1， k 2，…， k 可在 B 中，但不能都不在 B 中，故 B 的个数为： ， （7 分）12C1nnkkk从而集合对( A， B)的个数为 ，1所以 an ． （10 分）111 122()()2nnkn nk  12016年数学全真模拟试卷二试题Ⅰ一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1． 复数 ( 为虚数单位)的模为 ▲ ．2i【答案】 102．已知向量 ， ，则 ▲ ．a(2)， b(32)， ()ab=【答案】43． 在标号为 0，1，2 的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是 ▲ ．【答案】 34． 下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该组数据的方差 ▲ ．2s【答案】 14655． 命题：“若 ，则 ”的否命题是“ ▲ ” ．0a2【答案】若 ，则≤6． 将函数 的图象向右至少平移 ▲ 个单位可得到函数 的图象．sinyx cosyx【答案】 3π27． 若函数 （e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数 的值为 ▲ ．())1xmf m【答案】18． 设 是等差数列{ an}的前 项的和．若 ， ，则 a7的值为 ▲ ．nS 27aS【答案】 139． 给出下列等式：，π2cos4星期 一 二 三 四 五件数 36 21 30 28 352，π2cos8，216……请从中归纳出第 个等式： ▲ ．n*N2n个【答案】 12cosn10．在锐角△ 中，若 ， ， 依次成等差数列，则 的值为 ▲ ABCtaAtnBtaCtanAC．【答案】1【解析】依题意 ，因为 ，所以2tanttanBAABtantABC，所以 ；t3C11．在平面直角坐标系 xOy中，若直线 ： 与圆 ： 相切，l20xyC22()()5xayb且圆心在直线 的上方，则 的最大值为 ▲ ．lab【答案】 258【解析】易得 ，又圆心 在直线 的上方，所以 ，从而 ，5Cl20ab25ab因为，所以 （当且仅当 ，即 ， 时等号成立，2ab≤ 258ab≤ 2ab54b） ，从而 b的最大值为 ．25812．已知 ， ，则 的值为 ▲ ．tan()1tan()2sinco【答案】 3【解析】 si()()sin()cs()cos()in()in2cooi．ta()tan()31313．已知实数 x， y满足 设 ，则 z的取值范围是 ▲ 20xy≥ ，≥ ， ≤ ， max342zyx，．（ 表示 a， b两数中的较大数）max{}，【答案】 108，【解析】设 ， ，则 ，易得 ，13zxy24zxy12maxzz， 10 6z，，2 8z，则 z ．108，14．若幂函数 (a )及其导函数 在区间(0， )上的单调性一致(同为增)fxR()fx函数或同为减函数)，则实数 a的取值范围是 ▲ ．【答案】 (1 )，【解析】易得 ， ，当 时， ， ；1afx2()1)afxx1()0fx()fx当 01a时， ， ；当 时， ， ；当 时，()0fx()fxa()0fx()fxa，()fx；当 时， ， ，综上得， ．()fxa()0fx()fx(1 )，二、解答题：本大题共 6小题，共 90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本题满分14分）在平面直角坐标系中，设向量 m ， n ，其中3cosiA， cos3sinB，A， B为△ ABC的两个内角．（1）若 ，求证： 为直角；mnC（2）若 ，求证： 为锐角．/B4【解】 （1）易得 ， （3 分）3cossin3cos()ABABmn因为 ，所以 0，即 ．πc()2因为 ，且函数 在 内是单调减函数，0πosyx0，所以 ，即 为直角；（6 分）2ABC（2）因为 ，所以 ，/mn3cosinsico0ABA即 ． （8 分）sicoi0因为 A， B是三角形内角，所以 ，cs于是 ,因而 A， B中恰有一个是钝角． （10 分）tan3t从而 ，22ant3tanttan() 01113B所以 ，即证 为锐角． （14 分）ta0B16． （本题满分 14分）如图，在四棱锥 中， 为二面角 的平面角．PABCDPADB（1）求证：平面 平面 ；（2）若 平面 ，求证： 平面 ．/C证明：（1）因为 为二面角 的平面角，PABAB所以 ， ， （2 分）D又 ，平面 ，PAB，所以 平面 ， （5 分）PA又 平面 ,DC故平面 平面 ；（7 分）BD（2）由（1）得， 平面 ，APB又 平面 ， 所以 ， （10 分）/BC又 平面 ，ADP平面 ， AB CPD（第 16 题）5Q A BTSO xP y（第 17 题）所以 平面 ． （14 分）/ADPBC17． （本题满分 14分）如图，在平面直角坐标系 xOy中， A， B是圆 O： 21xy与 x轴的两个交点（点 B在点 A右侧） ，点 ， x轴(0)Q，上方的动点 P使直线 PA， PQ， PB的斜率存在且依次成等差数列．（1）求证：动点 P的横坐标为定值；（2）设直线 PA， PB与圆 O的另一个交点分别为 S， T．求证：点 Q， S， T三点共线．【证】 （1）由题设知， ．(10)()AB， ， ，设 ，则 ， ．00(Pxy， 02PQykx0011PAPByykkxx，因为 kPA， kPQ， kPB成等差数列，所以 2 kPQ = kPA ＋ kPB，即 ，000yyxx由于 ，所以 ，即证；（7 分）0y012（2）由（1）知， ， ．0Py， 0 022131PAPByykk=，直线 PA的方程为 ，代入 得()PAx2xy，22(1)10PAPAxkxk于是点 S的横坐标 ，从而 ．2014Syx0241Sy同理可得 ． （11 分）2002944TTyy，因为 ，00222(1)()3Sxy，02000144949ST yyy x所以直线 QS和直线 QT的斜率相等，6ABOP图 1DCEF故点 S， T， Q共线． （14 分）18． （本题满分 16分）如图，圆 的半径为 ， 为圆 上的两个定点，且 ， 为优弧O2AB， O90AOBP的中点．AB设 （ 在 左侧）为优弧 （不含端点）上的两个不同的动点，且CD，// ．记 ，四边形 的面积为 ．POABCDS（1）求 关于 的函数关系；S（2）求 的最大值及此时 的大小．解：（1）设过圆心 O作 的垂线分别与 ， 交于点 E， F，ABCD易得 ， ，2AB1E①当 时，如图 1，π0易得 ， ，2sinCD2cosF所以 1()()SABOE2sin12cos；(3 分)ici1②当 时， ；(5 分)π21()(212SABCDEF③当 时，如图 2，34易得 ， ，sinπsinCD2cosπ2cosO所以 1()()2SABOEFsin12cos；icoi综上得， ， ；(9 分)S2sn2snco130π4（2）令 ，πsincoi4tABOP（第 18 题）ABOP图 2DCEF7因为 ，所以 ，从而 ，30π4π4π0sin14≤故 ，(12 分)2t，此时 ， ，2211Sttt02t，所以当 时， ，此时 ．(16 分)2max4Sπ419． （本题满分 16分）设数列 的前 项和为 ，且 ， ．nanS2na*nN（1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 n项和为 ，求 ；2nanT2nS（3）判断数列 中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．3解：（1）当 n 1时， ，解得 ． （2 分）12Sa1a当 n≥2 时， ，即 ．1112nnnnna12na因为 ，所以 ，从而数列 是以 2为首项，2 为公比的等比数10a12naa列，所以 ． （5 分）2n（2）因为 24na，所以214na，故数列 2n是以 4为首项，4 为公比的等比数列，从而 ，(7 分)2211nnnS，443nnnT所以 ．(10 分) 2nS（3）假设 中存在三项成等差数列，不妨设第 m， n， k（ m n k）项成等a 差数列，8则 ，即 ．(12 分) 233nmkaa2323nmk因为 m n k，且 m， n， k ，N所以 n+1≤ k．因为 2323nk，1mn≥所以 ，故矛盾，n≥所以数列 中不存在三项成等差数列． (16分)3na20． （本题满分 16分）设定义 R上在函数 （ a， b， m， n为常32420 ()()(4) 4log1 x xfabbmn≤ ≤ ， ，， ，，数，且 ）0a的图象不间断．（1）求 m， n的值；（2）设 a， b互为相反数，且 是 R上的单调函数，求 a的取值范围；()fx（3）若 a 1， ．试讨论函数 的零点的个数，并说明理由．R()gfxb解：（1）依题意， ， ，(0)1f(4)0f即 64()() nabmn， ，解得 (3分)1.m，（2）因为 是减函数，且 是 R上的单调函数，2xy()fx所以在 中，应该有 ，故 (5分)4log1a'0ln4ay≤ ，在 中，其中 ，32()()14yxbxbxb，导函数的对称轴为 ，2'10aa53x9故 ，解得 ；(8 分)2110(4)0a≤ 104a≤（3）易得函数 ，32)fxbxx则 ，21((4)f其判别式 ，1670b记 的两根为 ， （ ） ，()0fxx212x列表：当 b0时， 无解， 无解， 102xb4log1xb又 (0) ()0 ff， ，11284253042fbbb，方程在（0，4）上有两解，方程一共有两个解；(10 分)当 时， 有一解 ， 有一解102x 0.5log(x4l1x， 1bx又 ， ，(0)fb(4)fb113( 0 8242f b，故方程在（0，4）上有两解，方程共有 4个解；(12 分)当-1 b0时， 无解， 有一解，0xblog1x又 ， ， (0)1f(4)f方程在（0，4）内只有一解，方程共两解；(14 分)当 b=0时，有 x 4和 x 两解， b -1时，有 ， ， 三个120x1214bx解，综上得，当 时， 有 2个零点；1()gx当 时， 有 3个零点；bx1x， 12x， 2x，()f+ 0 - 0 +↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗10当 时， 有 4个零点．(16 分)1b()gx试题Ⅱ（附加题）21． 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A． （几何证明选讲）如图，已知△ 的两条内角平分线 ， 交于点 ，且 ．ABCADBEFC求证： ， ， ， 四点共圆．DEF证明：依题意得， 180F2BAC180， （5 分）又 ，DFEAB所以 ，12068C故 ， ， ， 四点共圆． （10 分）B． （矩阵与变换）已知矩阵 ， 满足 ，求矩阵 ．12A51BAXB解：设 ，Xab由 得 （7 分）125125 1ab， ，解得 此时 .（10 分）7 ab，， 7XABCDEF（第 21—A）11C． （极坐标与参数方程）设点 A为曲线 C： 在极轴 上方的一点，且 ，以 A为直角顶2cosOxπ04Ox≤ ≤点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB(B在 A的右下方)，求点 B的轨迹方程．解：设 ，且满足 ， ，0 A， 002cos ，依题意， 即0π24， ， 0 7π4， ，代入 并整理得， ， ，00cos2cos2π≤ ≤所以点 B的轨迹方程为 ， ． （10 分）π47≤ ≤D． （不等式选讲）已知正数 ， ， ， 满足 ，求证： ．abcd1abcd1acbdc≥证明：因为 222abd≥， 2abcd又 ， ，1cd所以 ． （10 分）1ab≥【必做题】第 22、23 题，每小题 10分，共计 20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p(0 p 1)．现有 3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完 3次投篮机会的概率是．21512（1）求 p的值；（2）设该运动员投篮命中次数为 ，求 的概率分布及数学期望 E( )．解：（1）设事件 ：“恰用完 3次投篮机会” ， 则其对立事件 ：“前两次投篮均A A不中” ，依题意， ，21()15Pp解得 ；（3 分）5p（2）依题意， 的所有可能值为 0，1，2，3，且 ，24(0)15P，4125pp，327()15故 ，(0)()(3)1PP的概率分布表为：0 1 2 3P4252454152715（8 分）E( ) （次） ． （10 分）24527131523．设函数 ， ，且 ，其中常数 为区间（0，1）内的()sincosnnf*N1()faa有理数．（1）求 的表达式（用 和 表示） ；()nfan（2）求证：对任意的正整数 ， 为有理数．()nf解：（1）易得 ，sincoa又 ，221所以 ，2sisi0解得 ，na13从而 ；（4 分）22()nnnaaf（2）证明： 22()nnnf 0 2 42 42 20CCCnnnaaa2240nnna （10 分）Q.1开始输入 ww 50≤ NY输出 c结束（第 4 题）c← 25+(w-50)×0.8 c← 0.5w2016 年数学全真模拟试卷三试题Ⅰ一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．已知集合 A { 1，0，2}， B {x|x 2n 1， n∈Z}，则 A∩ B ▲ ．【答案】{ 1}2． 设 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ．若 ，1e2 123 ()xRae12be/ab则 的值x为 ▲ ．【答案】 63． 从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为 a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为 b，则 a≤ b 的概率为 ▲ ．【答案】 894． 如图，是某铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运 行李的费用 （单位：元）与行李重量 （单位：千克）cw之间的流程图．假定某旅客的托运费为 10 元，则该旅客托运的行李重量为 ▲ 千克．【答案】205． 函数 的零点个数为 ▲ ．0 ()1xfx， ， ，【答案】36． 在平面直角坐标系 中，曲线 在xOylnyx处的切线与两坐标轴围成的三角形的面ex积是 ▲ ．【答案】 247． 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方（第 7 题）O 20 40 60 80 100 成绩6 42 108 人数2图，利用组中值可估计其的平均分为 ▲ ．【答案】628． 若函数 的图象关于坐标原点中心对称，且在()sin()fxAx(0 )， ，轴右侧y的第一个极值点为 ，则函数 的最小正周期为 ▲ ．x()fx【答案】 439． 关于定义在 上的函数 ，给出下列三个命题：R()fx①若 ，则 不是奇函数；(1)f②若 ，则 在 上不是单调减函数；()fR③若 对任意的 恒成立，则 是周期函数．()1fxfx()fx其中所有正确的命题序号是 ▲ ．【答案】②③10．已知数列 的前 项和 ，且 既不是等差数列，也不是等比数na1 ()nSkRna列，则 的k取值集合是 ▲ ．【答案】 ．0【解析】 ．11．如果将直线 ： 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得直线 与l20xyc l圆 ：C相切，则实数 的值构成的集合为 ▲ ．24xyc【答案】{ ， }31【解析】易得直线 ： ，即 ，圆 ：l()2()0xyc250xycC22(1)()5xy的圆心 到直线 ： 的距离 ，解得 或(1 )， l250xyc85c3c．13c312．已知正数 x， y 满足 ，则 y 的最大值为 ▲ ．3x【答案】 13【解析】由 ，得 ，23xy212xyx所以 ，从而 ，解得 ． 11yxx≥ 310y≤ 13y≤13．考察下列等式：，1πcosini4ab，22，33cosini4ab……，πcsiinn其中 为虚数单位， an， bn(n )均为实数．由归纳可得， a2015 b2015的值为 ▲ *N． 【答案】0【解析】通过归纳可得， ，从而 a2015 b2015ππcosincosin442015πcos40．215πsin414．在△ ABC 中， ， ．设 ， 交于点 ，且 ，3AEB23FACBFEPECFPB( , ),则 的值为 ▲ ．R【答案】 57【解析】不妨考虑等腰直角三角形 ABC，设 AB ， ，3AC以 AB， 分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系 ，ACxyxOy则 A ， ， ， ， ，(0 )， (3 )B， (0 )， (1 )E， (0 2)F，直线 的方程为： ，①F2yx4AB CP（第 16 题）D直线 的方程为： ，②CE13yx由①②得， ， ，所以 ，7232 7P，代入 ， 得， ， ， PFB1(0)3(0)7解得 ， ，故 ．47157二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本题满分14分）已知△ ABC 内接于单位圆（半径为 1 个单位长度的圆） ，且 ．(1tan)(t)2AB（1）求角 的大小； C（2）求△ ABC 面积的最大值．（1）由 得 ，(tan)(1t)2ABtant1tanABA所以 ， （4 分）t故△ ABC 中， ， （6 分）C（2）由正弦定理得 ，即 ， （8 分）2sincc由余弦定理得 ，即 ， （10 分）2osab2ab由 得 ， （当且仅当 时取等号） （122 a≥ b≤ ab分）所以 .（14 分）2113sin2Sab≤16． （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 中，锐角三角形 所PABCDPAB在的平面与底面 垂直， ．D90（1）求证： 平面 ；5A BCD（2）求证： 平面 ．/ADPBC证明：（1）在平面 内过点 作 于 ，HAB因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面DPABCDPH，PAB所以 平面 ， （4 分)PHABC而 平面 ，所以 ，BPHB由 得 ，90又 ， 平面 ，P ， A所以 平面 ， （8 分)BCA（2）因为 平面 ，故 ， BC由 得 ，90D故在平面 中， ， （11 分)A/又 平面 ， 平面 ，PBPB所以 平面 ． （14 分)/C17． （本题满分 14 分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB， DC）和两个半圆构成，设 AB  x m，且 ．80≥（1）若内圈周长为 400 m，则 x 取何值时，矩形 ABCD 的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为 m2，则 x 取何值时，内圈周长最小？5π【解】设题中半圆形半径为 r（m） ，矩形 ABCD 的面积为 S（m 2） ，内圈周长为 c（m） ．（1）由题意知： ，且rx，即 ，2π40xπ20于是 （m 2）202()πxrSrxr ≤6当且仅当 （m）时，等号成立．π10xr答：当 x  100（m）时，矩形 ABCD 的面积最大． （6 分)（2）由题意知： ，于是 ，25πr250πxr从而 ． （8 分)0cxr因为 ，所以 ，即 ，80≥ 258πr≥ 2π160250rr≤解得 ，所以 ， （10 分)259≤ ≤ 90≤故 ．21π80r≥因为 ， （12 分)22501π16ππ 0，则当 时， ； 时， ，此时 有极1xa()0x1a()0fx()fx8小值 ．1fa综上， a 的取值范围是 ．(4 分)(0，（2）设 P(x0， y0) 是经过原点的切线与函数 图象的切点，(fx则切线方程为 ， （6 分） 0 0201ln)aax因为切线过点(0，0)，于是 ，即 ，01lxx0021lnax因为 ，所以 ，0a002lnxa设 ，则 ，得 ，(8 分)()lngx()1lgx1xx （0，1） 1 （1， ）()g+ 0 -g(x) ↗ 极大值 1 ↘故当 ，即 时，不存在切线； 21a02a当 或 ，即 或 a所以 与平面 所成角的正弦值为 ；（5 分）11BD（2）由 得，1(0 )Ah， ，， ，1( B， ， ( 1)D， ，ACBD1A1B1D1C（第 22 题）ACBD1A1B1D1C（第 22 题）xyz13设平面 的法向量 ，1ABD( )xyz， ，m则由 得，10 ， 0 hz，，不妨取 ，则 ，zxy此时 ， （7 分）( 1)h， ，m又平面 的法向量 ，CBD1(0 )Ah， ，故 ，1 21cos ， m解得 ． （10 分） 2h23．设 为给定的不小于 3 的正整数．数集 ，记数集 的所有nPxn*N≤ ， P(1 )k*N≤ ≤ ，元子集的所有元素的和为 ．k（1）求 ， ；1P2（2）求 ．n解：（1）易得数集 ，1 23 n， ， ， ，则 ， （2 分）1 (1)P数集 的 2 元子集中，每个元素均出现 次，1n故 ， （4 分） ()()3)2nn（2）易得数集 的 元子集中，每个元素均出现 次，Pk1 *N≤ ≤ ， 1Ckn故 ， （6 分）11 ()C(23)C2kkn nn 所以 2n 02111( )nn()n． （10 分）2114