江苏省13市县2016届高三数学上学期期末考试试题分类汇编（打包13套）.zip

- 1 -江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）函数 )sin(2)(xf的部分图像如图所示，若 ，则 的值为 ．)0(5AB-22OxyAB2、（南京、盐城市 2016 届高三上期末）在 中，设 分别为角 的对边，ABC,abc,ABC若 ， ， ，则边 = ▲ 5a4A3cos5c3、（南通市海安县 2016 届高三上期末）若函数 是偶)4cos(3)4sin()( xxf函数，则实数 a 的值为 4、（南通市海安县 2016 届高三上期末）将函数 的图像向右)0)(2i)(f平移 2 个单位后得到的函数图像关于原点对称，则实数 的值为 ；5、（苏州市 2016 届高三上期末）已知 是第三象限角，且 ，则2sincos5＝ ▲ ．sinco6、（泰州市 2016 届高三第一次模拟）已知函数 （其π()si()s()26xfxA中 为常数， ），若实数 满足：① ，② ，③A(π,0)123,x1231，则 的值为 ▲ ．123()fxffx7、 （无锡市 2016 届高三上期末）将函数 的图象上没一点向右平移 个单位，sinfx6得到函数 的图象，则 ygxg8、（扬州市 2016 届高三上期末）已知函数 （ ），且)32si()xf ，x0- 2 -（ ），则  ▲ 21)(ff9、（镇江市 2016 届高三第一次模拟） 函数 y＝ asin(ax＋ θ )(a0， θ ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．10、（无锡市 2016 届高三上期末）已知 且 ，则 的2sin(45)10 90cos2值为 11、（镇江市 2016 届高三第一次模拟）由 sin 36°＝cos 54°，可求得 cos 2 016°的值为________．填空题答案1、 2、7 3、－ 4、 5、33126、 7、 8、 9、2 ． 10、76π 7511、【答案】 ．514【命题立意】本题旨在考查三角函数值，诱导公式．考查概念的理解和运算能力，难度中等.【解析】由 sin 36°＝cos 54°得 即000sin362si18cos3618，解得 ，2004sin18si105si184，00002051co6c5364cocos36in184二、解答题1、（常州市 2016 届高三上期末）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ，已知,abc，且 成等比数列，求：cos()cosBCA,bac（1） 的值；in（2）A；（3） 的值。tat- 3 -2、（常州市 2016 届高三上期末）如图，直线 是湖岸线，O 是 上一点，弧 AB 是以 O 为圆ll心的半圆形栈桥，C 为湖岸线 上一观景亭，现规划在湖中建一小岛 D，同时沿线段 CD 和lDP（点 P 在半圆形栈桥上且不与点 A，B 重合）建栈桥。考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥 BP 在∠CDP 的内部，已知 BC＝2OB＝2（km），没湖岸 BC与直线栈桥 CD，DP 及圆弧栈桥 BP 围成的区域（图中阴影部分）的面积为 S（km 2），∠BOP＝ 。（1）求 S 关于 的函数关系式；（2）试判断 S 是否存在最大值，若存在，求出对应的 cos 的值，若不存在，说明理由。3、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）在锐角三角形 中，角ABC的对边为 ，已知 ， ，CBA,cba,53sinA21)ta(B（1）求 ； （2）若 ，求 .tnc4、（南京、盐城市 2016 届高三上期末）设函数 的部分图象如图所示.()si()0,,)2fxAxxR（1）求函数 的解析式；yf（2）当 时，求 的取值范围.[,]2()fx5、（南通市海安县 2016 届高三上期末）已知 。5)4sin(),543(O xy 56第 15 题图2 3- 4 -FOCBADE（1）求 的值；（2）求 的值；sin)32cos(6、（苏州市 2016 届高三上期末）在 中，三个内角 A， B， C 所对的边分别为ABCa， b， c，且满足 ．cos2cosaB+b（1）求角 C 的大小；（2）若 的面积为 ， ，求边 的长．A36abc7、（泰州市 2016 届高三第一次模拟）一个玩具盘由一个直径为 米的半圆 和一个矩形2O构成， 米，如图所示．小球从 点出发以 的速度沿半圆 轨道滚到某点BD1Av处后，经弹射器以 的速度沿与点 切线垂直的方向弹射到落袋区 内，落点记E6vEC为 ．设 弧度，小球从 到 所需时间为 ．FAOFT（1）试将 表示为 的函数 ，并写出定义域；T()T（2）求时间 最短时 的值． cos8、 （无锡市 2016 届高三上期末）在 中，三个内角 所对的边分别为 ，已ABC,ABC,abc知 ，(sin,sin)aBC，且 。bab（1）求角 B 的大小；（2）若 的外接圆的半径为 1，求 的面积。cos,AABC9、（扬州市 2016 届高三上期末） 已知函数 （ ）xxxf cosincos3)(20，的周期为 .（1）当 时，求函数 的值域；20，x)(xf（2）已知 的内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若 ，且 ，ABCCabc3)2(Afa- 5 -，求 的面积.5cbABC解答题答案1、2、- 6 -3、（1）在锐角三角形 中，由 ，得 ， …………2 分ABC3sin5A24cos1in5A所以 .……………………………………………………………4 分sin3taco4由 ，得 . ………………7 分tat1()12tan2B（2）在锐角三角形 中，由 ，得 ， ，……9 分ABCtan5si 5cosB所以 ，…………………11 分1sini()sicon2A- 7 -由正弦定理 ，得 . ………………14 分sinibcBCsin12bB4、解：（1）由图象知， ， …………2 分2A又 ， ，所以 ，得 . …………4 分563T0T所以 ，将点 代入，得 ，()sin()fx(,)32()3kZ即 ，又 ，所以 . ………6 分2kZ26所以 . …………8 分()si()6fx（2）当 时， ， …………10 分[,]2[,]3x所以 ，即 . …………14 分sin()[,1]6x()[,2fx5、6、解：（1）由余弦定理知 ，…32222cosacbcaaB+bAc分， ， …………………………………5cos1aB+bA12C分- 8 -GFOCBDAE又 ， . ………………………70,C3分（2） ， ， ………………………101sin2ABCSab8ab分又 ， ， …………………136222cos31cCab分. …………………………………1423c分7、解：（1）过 作 于 ，则 ，OGB1OG， ， ，1siniF1sinEFAE所以 ， ．……7 分A1()56sin6EFTvv[,]4π 3π（写错定义域扣 1 分）（2） ，()si，…………9 分22 2co6n5cos(cs3)(os)5i30i0inTvvv记 ， ，0cs30[,]4π π0(,)03(,)4()T- 0 +AA故当 时，时间 最短． …………14 分2cos38、- 9 -9、解：（1） …………2 分313()(1cos2)sini(2)fxxx的周期为 ，且 ， ，解得 …………4 分()fx013sin(2)fx又 ， 得 ， ，024233xsin(2)3即函数 )yfx在 [0,]上的值域为 ．………7 分sin()1x 3[0,1]2（2） 由 ，知 ，Afsin()32(,A43A解得： ，所以 …………9 分23A由余弦定理知： ，即2cosab216bc，因为 ，所以 …………12 分216()bc53∴ ． …………14 分sin4ABCS- 1 -江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市 2016 届高三上期末）已知双曲线 C： 的一条渐近线经21(0,)xyab过点 P（1，－2），则该双曲线的离心率为 2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）抛物线 的焦点到双xy42曲线 渐近线的距离为 9162yx3、（南京、盐城市 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点在xOyC坐标原点，焦点在 轴上，若曲线 经过点 ，则其焦点到准线的距离为 ▲ xC(1,3)P4、（南通市海安县 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线的一条渐近线的方程为 则该双曲线的离心率为 )0,(12bayx xy5、（苏州市 2016 届高三上期末）双曲线 的离心率为 ▲ 2145x6、（泰州市 2016 届高三第一次模拟）在平面直角坐标系 中，双曲线 的实xOy21xy轴长为▲ ．7、（无锡市 2016 届高三上期末）设 是等腰三角形， ，则以 A、B 为焦ABC120ABC点且过点 C 的双曲线的离心率为 8、（扬州市 2016 届高三上期末）双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ▲ 1692yx9、（镇江市 2016 届高三第一次模拟）以抛物线 y2＝4 x 的焦点为焦点，以直线 y＝± x 为渐近线的双曲线标准方程为________．填空题答案1、 2、 3、 4、2 5、5932- 2 -6、 7、 8、4 21329、【答案】 － ＝1．x212y212【解析】由题意设双曲线的标准方程为 ， y2＝4 x 的焦点为 ，则双曲线的焦21xab1,0点为 ； y＝± x 为双曲线的渐近线，则 ，又因 ，所以 ，1,0 2abc21,ab故双曲线标准方程为 － ＝1．x212y212二、解答题1、（常州市 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xoy 中，设椭圆的离心率是 e，定义直线 为椭圆的“类准线”，已知椭圆 C2(0)xyabbye的“类准线”方程为 ，长轴长为 4。23y（I）求椭圆 C 的方程；（II）点 P 在椭圆 C 的“类准线”上（但不在 y 轴上），过点 P 作圆 O： 的切线23xy，过点 O 且垂直于 OP 的直线与 交于点 A，问点 A 是否在椭圆 C 上？证明你的结论。l l2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 ： 的离心率 ，左顶点为 ，过点xoyC)0(12bayx21e)0,4(A作斜率为 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 .A)0(klDyE（1）求椭圆 的方程;（2）已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的PDQ都有 ，若存在，求出点 的坐标；若不存)0(kEQO在说明理由;（3）若过 点作直线 的平行线交椭圆 于点 ，求lCMPDMAOxyE- 3 -的最小值.OMAED3、（南京、盐城市 2016 届高三上期末）如图，在平面直角坐标系 中，设点xOy是椭圆 上一点，从原点 向圆0(,)xy2:14xCy作两条切线分别与椭圆 交于点 ，直线 的20:()MrC,PQ,斜率分别记为 .1,k（1）若圆 与 轴相切于椭圆 的右焦点，求圆 的方程；xM（2）若 .5r①求证： ；124k②求 的最大值.OPQ4、（南通市海安县 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的焦距为 2；)0(12bayx（1）若椭圆 C 经过点 ，求椭圆 C 的方程；)1,6(（2）设 A（—2,0），F 为椭圆 C 的左焦点，若椭圆 C 存在点 P，满足 ，求椭2FA圆 C 的离心率的取值范围；5、（苏州市 2016 届高三上期末）如图，已知椭圆 O： ＋ y2＝1 的右焦点为 F，点 B， C 分x24别是椭圆 O 的上、下顶点，点 P 是直线 l： y＝－2 上的一个动点（与 y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点 M．（1）当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求△ FBM 的面积； （2）①记直线 BM， BP 的斜率分别为 k1， k2，求证： k1·k2为定值；②求 的取值范围．PBxO第 18 题图·yM PQ- 4 -6、（泰州市 2016 届高三第一次模拟）如图，在平面直角坐标系 中， 已知圆xOy:O，椭圆 ， 为椭圆右顶点．过原点 且异于坐标轴的直线与椭24xy:C21xyA圆 交于 两点，直线 与圆 的另一交点为 ，直线 与圆 的另一交点为 ，,BBOPDQ其中 ．设直线 的斜率分别为 ．6(0)5D,12,k（1）求 的值；12k（2）记直线 的斜率分别为 ，是否存在常数 ，使得 ？若存在，,PQC,PQBCPQBCk求 值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线 必过点 ．A7、 （无锡市 2016 届高三上期末） 已知椭圆 的离心率为 ，一个2:1(0)xyMab12交点到相应的准线的距离为 3，圆 N 的方程为 为半焦距）直线22()cc与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点，分别设为 A、B。:(0)lykxm（1）求椭圆方程和直线方程；（2）试在圆 N 上求一点 P，使 。2BAxyDQPCAOB- 5 -8、（扬州市 2016 届高三上期末） 如图，已知椭圆 （ ）的左、右焦点12byax0a为 、 ， 是椭圆上一点， 在 上，且满足 （ ），1F2PM1PFMP1R， 为坐标原点.O（1）若椭圆方程为 ，且 ，求点 的横坐标；1482yx（（2（2）若 ，求椭圆离心率 的取值范围.e9、（镇江市 2016 届高三第一次模拟）已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆＋ ＝1(ab0)的离心率为 ，左顶点为 A(－3，0)，圆心在原点的圆 O 与椭圆的内接三x2a2 y2b2 32角形△AEF 的三条边都相切．(1) 求椭圆方程；(2) 求圆 O 方程；(3) B 为椭圆的上顶点，过 B 作圆 O 的两条切线，分别交椭圆于 M，N 两点，试判断并证明直线 MN 与圆 O 的位置关系．- 6 -解答题答案1、- 7 -2、（1）因为左顶点为 ，所以 ，又 ，所以 .…………………2 分(40)A（4a12ec又因为 221bac，所以椭圆 C 的标准方程为 . ………………………………………4 分216xy（2）直线 的方程为 ，由 消元得， .l(4)ykx2(4),ykx（22[(4)]116xk化简得， ，22(4)[3)16)]0x所以 ， . ……………………………………………………6122k分当 时， ，2643kx22164()433kky所以 .因为点 为 的中点，所以 的坐标为221,()DPADP，26,43)k则 .…………………………………………………………………………8(0OP分直线 的方程为 ，令 ，得 点坐标为 ，l(4)ykx0E(0,4)k假设存在定点 ，使得 ，,QmnOPQ则 ，即 恒成立，1OPEk314k所以 恒成立，所以 即(42)0kn4203mn（3n（因此定点 的坐标为 . Q(3,)…………………………………………10 分（3）因为 ，所以 的方程可设为 ，OMlAykx由 得 点的横坐标为 ，216xyk（ 243k………………………………………12 分- 8 -由 ，得OMlA 2DAEADAMMxxxE…………………………………………………14222161494338kk分，2216)(43k≥当且仅当 即 时取等号，2243k2所以当 时， 的最小值为 ． …………………………163kADEOM分3、解：（1）因为椭圆 右焦点的坐标为 ，所以圆心 的坐标为 ， C(3,0)M1(3,)2.2 分从而圆 的方程为 . …………4 分221()()4xy（2）①因为圆 与直线 相切，所以 ，M1:OPk102||5kxy即 ， ………6 分2 20100(45)45xky同理，有 ，2xy所以 是方程 的两根， ………8 分12, 2000()1k从而 . …10 分2212 2000()4514455xykxx②设点 ，联立 ，解得 ， 12(,)(,)P124yk 221114,kxyk……12 分同理， ，所以2224,1kxyk22222114()()kOPQ ……………14124)46kk- 9 -分， 当且仅当 时取等号. 所以 的最大值为 . 2150()54k12kOPQ52……16 分4、5、解：（1）由题意 ，焦点 ，当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，则直(0,1),BC(3,0)F线 PM 的方程为 ，即 ， 3xy1x联立， 解得 或 （舍），即 ． 2,41,3yx8,7,y0,y831(,)7M………………2 分- 10 -连 BF，则直线 BF： ，即 ，13xy30xy而 ， ． ………………………42BFa228| |77()d分故 ． ………………………51327MBFSA分（2）解法一：①设 ，且 ，则直线 PM 的斜率为 ，(,2)Pm01(2)0km则直线 PM 的方程为 ，1yx联立 化简得 ，解得 ， ………821,,4yx248()0x2284(,)M分所以 ， ，22121844mk2()30km所以 为定值． …………………1013分② 由①知， ， ，(,)PBm 2322 2841(,)(,)4mM所以 ， …………………13 分32 21156,,)4令 ，故 ，24t2((43787tttt 因为 在 上单调递增，87yt(,)t所以 ，即 的取值范围为 ．………16 分8479PBM PBM(9,)解法二：①设点 ，则直线 PM 的方程为 ，00(,)xy01yx令 ，得 . …………………7 分2y0,21所以 ， ，01kx02031ykx所以 （定值）. …………………10 分22001200313441yxy - 11 -②由①知， ， ，0(,3)1xPBy0(,2)1xPMy所以 000 020 3y= ． …………………1320 00473211yyy分令 ，则 ，01,2ty887tPBMt 因为 在 上单调递减，87t(0,)t所以 ，即 的取值范围为 ． ……168792PBt PBM(9,)分6、解：（1）设 ，则 ，0(,)xy0(,)Cxy2014y所以 ． …………4 分2200012 1kxx（2）联立 得 ，12()4y222111()4()0kxk解得 ，1 112 2(),()PPkxx联立 得 ，12()4yx222111(4)64()0kxk解得 ， …………8 分21 112(),()BBkyxk所以 ， ，124BCkkx12121456()65PQykkx所以 ，故存在常数 ，使得 ． …………10 分5PQBC2PQBC（3）当直线 与 轴垂直时， ，x68(,)5- 12 -则 ，所以直线 必过点 ．28156AQkkACQ当直线 与 轴不垂直时，直线 方程为： ，PxP1256()4kyx联立 ，解得 ，1256()4kyx2112(6),6QQxkk所以 ，故直线 必过点 ． …………16 分122116()4AQkkkAC（不考虑直线 与 轴垂直情形扣 1 分）Px7、- 13 -- 14 -8、1） 214xy12(,0)(,F212,,4OPFMFkk直线 的方程为： ，直线 的方程为： …………4 分2FMx1 ()yx由 解得： 点 的横坐标为 …………6 分()4yx6565（2）设 0(,)(,)MPy1F102,(,)3Mxcxcy 002002142(,)(,)33xcyFMxcy， 2O(,)y0043即 …………9 分00xycx联立方程得： ，消去 得：2001cxyab0y222200()0cxac解得： 或 …………12 分0()xc0()ax解得：,c20ac12e综上，椭圆离心率 的取值范围为 ． …………15 分 e1()9、【答案】（1） ＋ ＝1；（2）x 2＋y 2＝1；（3）直线 MN 与圆 O 的位置关系是相切．x29 y294【命题立意】本题旨在考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；圆的方程，直线与圆的位置关系；考查运算能力，难度中等.【解析】 (1) 由题意可知 ＝ ，a＝3，得：c＝ ，(2 分)ca 32 332因为 a2＝b 2＋c 2，所以 b2＝ ，(3 分)94故椭圆的标准方程是： ＋ ＝1.(4 分)x29 y294- 15 -(2) 设直线 AE 的方程：y＝k(x＋3)，点 E(x1，y 1)，由 可得(4k 2＋1)x 2＋24k 2x＋36k 2－9＝0.(5 分){x29＋ y294＝ 1，y＝ k（ x＋ 3） ， )因为－3＋x 1＝－ ，得 x1＝ ，代入直线 y＝k(x＋3)，得 y1＝ ，24k24k2＋ 1 3－ 12k24k2＋ 1 6k4k2＋ 1所以 E ，(7 分)(3－ 12k24k2＋ 1， 6k4k2＋ 1)同理可得 F ，(9 分)(3－ 12k24k2＋ 1， － 6k4k2＋ 1)根据条件可知圆心 O 到直线 AE 的距离等于圆心 O 到直线 EF 的距离．可得 ＝| |＝r，解之得 k2＝ ，(10 分)|3k|k2＋ 1 3－ 12k24k2＋ 1 18从而 r2＝1，所以圆 O 的方程为：x 2＋y 2＝1.(11 分)(3) 设直线 BM 的方程为 y＝kx± ，因为直线 BM 与圆 O 相切，32所以 d＝r，解得 k＝± ，(14 分)52当 k＝ ，l BM：y＝ x＋ ，52 52 32由 ，解得 x2＋ x＝0.(11 分){x29＋ y294＝ 1y＝ 52x＋ 32) 5所以 M(－ ，－1)，(12 分)5同理可得 N( ，－1)．(13 分)5可得直线 MN 方程是：y＝－1，(15 分)直线 MN 与圆 O 的位置关系是相切．(16 分)- 1 -江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（（无锡市 2016 届高三上期末）过曲线 上一点 处的切线分别1(0)yx0(,)Pxy与 x 轴，y 轴交于点 A、B， 是坐标原点，若 的面积为 ，则 OOAB3填空题答案1、 5二、解答题1、（常州市 2016 届高三上期末）已知 为实数，函数 。,ab3()fxab（1）当 ＝1 且 时，求函数 的最大值a[,3]b1()|ln|2([,2])FxM（b）;（2）当 时，记 。0,ln()hfx①函数 的图象上一点 P 处的切线方程为 ，记 。()hx0,y()yx()()ghxy问：是否存在 ，使得对于任意 ，任意 ，都有010(,)x21(,)恒成立？若存在，求出所有可能的 组成的集合，若不存在，说明理由。12()gxx②令函数 ，若对任意实数 k，总存在实数 ，使得,()20xsHeh 0x成立，求实数 s 的取值集合。0()xk2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）已知函数，其中 ， 为自然对数的底数]42)(231[)( axxef Re（1）若函数 的图像在 处的切线与直线 垂直，求 的值．)f00yxa（2）关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．xxef3(),(- 2 -（3）讨论 极值点的个数．)(xf3、（南京、盐城市 2016 届高三上期末）已知函数 在 处的切线方程为 .()xafe0yx（1）求 的值；a（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围；(0,2)x21()fxkk（3）若函数 的两个零点为 ，试判断 的正负，并说lngfb1,12()xg明理由.4、（南通市海安县 2016 届高三上期末）设 a 为正常数，函数 ；xaxfln)(,)(（1）求函数 的极值；)()(xgfxh（2）证明： ，使得当 时， 恒成立。R00)(xgf5、（苏州市 2016 届高三上期末）已知函数 （ a∈R）， 为自然对()e21)xfe数的底数．（1） 当 a＝1 时，求函数 的单调区间；()fx（2） ①若存在实数 ，满足 ，求实数 的取值范围；0a②若有且只有唯一整数 ，满足 ，求实数 的取值范围．()fx6、（泰州市 2016 届高三第一次模拟）已知函数 ， ，421fax(0,)．gxffx（1） 若 ，求证：0a（ⅰ） 在 的单调减区间上也单调递减；()（ⅱ） 在 上恰有两个零点；,（2） 若 ，记 的两个零点为 ，求证： ．1gx12,x1244xa7、 （无锡市 2016 届高三上期末） 已知函数 ln(0)ef（1）当 时，求出函数 的单调区间；2afx（2）若不等式 对于 的一切值恒成立，求实数 的取值范围。fxa0a- 3 -8、（扬州市 2016 届高三上期末）已知函数 （ ），其中 是自xeaxf)2()0，ae然对数的底数.（1）当 时，求 的极值；2a)(xf（2）若 在 上是单调增函数，求 的取值范围；)(xf，a（3）当 时，求整数 的所有值，使方程 在 上有解.t 4)(xf1t，9、（镇江市 2016 届高三第一次模拟）已知函数 f(x)＝[ax 2－(2a＋1)x＋2a＋1]e x.(1) 求函数 f(x)的单调区间；(2) 设 x0，2a∈[3，m＋1]，f(x)≥b 2a－1 e 恒成立，求正数 b 的范围．1a解答题答案1、- 4 -- 5 -- 6 -2、 (1) 由题意， ， 321()exfax…………………………………………2 分因为 的图象在 处的切线与直线 垂直，()fx0x0xy所以 ，解得 . ……………………………40=11a分(2) 法一：由 ，得 ，4()e3xf32 4(4)2e3x xax即 对任意 恒成立，……………………………63261680xa，分即 对任意 恒成立，32xx()x因为 ，所以 ， ……………………………8322183x分记 ，因为 在 上单调递增，且 ，21()3gxgx(2)，()0g所以 ，即 的取值范围是 ． ………………………………………10 分0a≥ [0法二：由 ，得 ，4()exf3214(4)e3x xax即 在 上恒成立，……………………………6 分326)68xa，- 7 -因为 等价于 ，326(1)680xax2()43)0xxa①当 时， 恒成立，0a≥ 243()3a≥所以原不等式的解集为 ，满足题意． …………………………………………8，分②当 时，记 ，有 ，2()4gx()0g所以方程 必有两个根 ，且 ，2430a12,x12x原不等式等价于 ，解集为 ，与题设矛盾，12)(2)()所以 不符合题意．0a综合①②可知，所求 的取值范围a是 ．…………………………………………10 分[0)，(3) 因为由题意，可得 ，321()exf' ax所以 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11 分()fx令 ，321gax①若 有且只有一个极值点，所以函数 的图象必穿过 x 轴且只穿过一次，()f ()gx即 为单调递增函数或者 极值同号． x()xⅰ）当 为单调递增函数时， 在 上恒成立，得 …12 分20'a≥ R1a≥ⅱ）当 极值同号时，设 为极值点，则 ，()g12, 12()≥由 有解，得 ，且 ，20'aa2,x20x所以 ，11,xx所以 321()211()3a，()xax1()3x同理， ， 22)3g所以 ，112()(1)03xxxa≥化简得 ，22()aa≥所以 ，即 ，()0≥ ≥所以 ．0≤所以，当 时， 有且仅有一个极值点； …………………14 分≥ fx②若 有三个极值点，所以函数 的图象必穿过 x 轴且穿过三次，同理可得 ；()fx()gx 0a综上，当 时， 有且仅有一个极值点，a≥ ()f当 时， 有三个极值点． …………………16 分03、解：（1）由题意得 ，因函数在 处的切线方程为 ，1xafe0xyx所以 ，得 . ……………4 分()1f（2）由（1）知 对任意 都成立，2xekx(,2)- 8 -所以 ，即 对任意 都成立，从而 . 20kx2kx(0,2)x0k………6 分又不等式整理可得 ，令 ，2eegx所以 ，得 ， 2 2(1))()1()0x xg1……………8 分当 时， ，函数 在 上单调递增，(,)0g,同理，函数 在 上单调递减，所以 ，x(, min()()kgxe综上所述，实数 的取值范围是 . ……………10 分k[,1)e（3）结论是 . …………11 分12)g证明：由题意知函数 ，所以 ，(lnxb1()xgx易得函数 在 单调递增，在 上单调递减，所以只需证明 即可. ()0,1(1,12……12 分因为 是函数 的两个零点，所以 ，相减得 ，12,x()gx1122lnxb221lnx不妨令 ，则 ，则 ，所以 ， ，1t21t1lt1ltt即证 ，即证 ， ……………14 分lnt()ln0t因为 ，所以 在 上单调递增，所以224()1tt ()t,)，()10t综上所述，函数 总满足 成立. …………16 分()gx2()0x4、- 9 -5、解：（1）当 a＝1 时， ， ， ……………1e21xfe'21xf分由于 ， '(0)f当 时， ，∴ ，,xe1,2x'()0fx当 时， ，∴ ， ()0 时，函数(1a， 0) (－ ∞ ， 1a)f(x)的增区间是(－∞，0) ，减区间是 ；（2）当 24 时，00，则 x0；若 a0，得 x 或 00，由 f′(x)0，得 x 或 x0 时，函数 f(x)的增区间是(－∞，0) ，减区间是 (7 分)(1a， ＋ ∞ ) (0， 1a)(2) 因为 2a∈[3，m＋1]，由(1)x∈(0，＋∞)上函数 f(x)的最小值是 f .(1a)因为 f(x)≥b 2a－1 e 恒成立，1a所以 f ≥b 2a－1 e 恒成立，(8 分)(1a) 1a 所以 e (2a－1)≥b 2a－1 e 恒成立，即 2a－1≥b 2a－1 恒成立．(9 分)1a1a由 2a∈[3，m＋1]，令 2a－1＝t∈[2，m]，则 t≥b t，所以 lnb≤ ＝g(t)，(10 分)lntt由 g′(t)＝ ，可知函数 g(t)在(0， e)上递增；( e，＋∞)上递减，且 g(2)1－ lntt2＝g(4)．(11 分)当 24 时，g(t) min＝g(m)＝ ，从而 lnb≤ ，解得 04 时，0b≤m (16 分)21m- 1 -江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市 2016 届高三上期末）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，na1249a＝40，则 的值为 3456a789a2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）若公比不为 1 的等比数列满足 ，等差数列 满足 ，则 的值为 }{n 13)(log21 }{nb7a321b3、（南京、盐城市 2016 届高三上期末）设 是等比数列 的前 项和， ，若Sn0na，则 的最小值为 ▲ 65S96S4、（南通市海安县 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (−1，0) ， Q(2 ，1) ，直线 l： 其中实数 a， b， c 成等差数列，若点 P 在直线 l 0cbyax上的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是 ；5、（苏州市 2016 届高三上期末）已知 是等差数列， a5＝15， a10＝－10，记数列 的{}n {}na第 n 项到第 n+5 项的和为 Tn，则 取得最小值时的 n 的值为 ▲ n6、（泰州市 2016 届高三第一次模拟）已知公差为 的等差数列 及公比为 的等比数列2{}n2满足 ，则 的取值范围是 ▲ {}nb120,ab3ab7、（无锡市 2016 届高三上期末）对于数列 ，定义数列 满足：nnb，且 则 1()nnN134(),1nNa18、（扬州市 2016 届高三上期末）已知等比数列 满足 ， ，则该数n2523a列的前 5 项的和为 ▲ 9、（镇江市 2016 届高三第一次模拟） Sn是等差数列{ an}的前 n 项和，若 ＝ ，则SnS2n n＋ 14n＋ 2＝________．a3a5填空题答案- 2 -1、117 2、26 3、20 4、 5、5 或 6 [2,3]6、 7、8 8、31 (,)9、【答案】 ．35【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式及前 n 项和，考查学生的运算能力，难度中等．【解析】由 ＝ 可得， ，当 时，SnS2n n＋ 14n＋ 2 1122nnaa1n， ， ．123a2121,ada3115345da二、解答题1、（常州市 2016 届高三上期末）已知等差数列 的公为 d 为整数，且 ，n 2ka，其中 为常数且 。22()kak*N（1）求 k 及 ；na（2）设 ， 的前 n 项和为 ，等比数列 的首项为 1，公比为 q（q＞0），1nSnb前 n 项和为 ，若存在正整数 m，使得 ，求 q。nT23T2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）已知各项均为正数的数列的首项 ， 是数列 的前项和，且满足：}{na1nS}{na.).0(*111 NS  （1）若 ， ， 成等比数列，求实数 的值;23（2）若 ，求 .nS3、（南京、盐城市 2016 届高三上期末）设数列 共有 项，记该数列前 项na(3)mi中的最大项为 ，该数列后 项 中的最小项为 ，12,ia iAi12,,ia iB.(,3,1)iirABm- 3 -（1）若数列 的通项公式为 ，求数列 的通项公式；na2nair（2）若数列 满足 ， ，求数列 的通项公式；1irna（3）试构造一个数列 ，满足 ，其中 是公差不为零的等差数列，nnbcb是等比数列，使得对于任意给定的正整数 ，数列 都是单调递增的，并nc mir说明理由.4、（南通市海安县 2016 届高三上期末）已知公差不为 0 的等差数列 的首项为 1，前 n}{na项和为 ，且数列 是等差数列。nS}{na（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，问： 均为正整数，且 能否成等比数)(3lg*Nnbnmkb,(,1 )1mk列？若能，求出所有的 k 和 m 的值；若不能，请说明理由。5、（苏州市 2016 届高三上期末）已知数列 满足： ， ，na12113nnapq, .*nNpqR（1）若 ，且数列 为等比数列，求 的值；0nap（2）若 ，且 为数列 的最小项，求 的取值范围.4 q6、（泰州市 2016 届高三第一次模拟）已知数列 满足 ，其中 是{},nab2()nnSabnS数列 的前 项和． {}na（1）若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的通项公式；231{}n（2）若 ， ，求数列 的通项公式；nb2{}na（3）在（2）的条件下，设 ，求证：数列 中的任意一项总可以表示成该数列其他cb{}nc两项之积．7、 （无锡市 2016 届高三上期末）已知数列 与 满足 。nab11(),nbnaqN（1）若 ，求数列 的通项公式；123,2nbaq（2）若 且数列 为公比不为 1 的等比数列，求 q 的值，使数列 也1nb na是等比数列；- 4 -（3）若 且 ，数列 有最大值 M 与最小值 ，求1,()naqbN(1,0)qnam的取值范围。Mm8、（扬州市 2016 届高三上期末）若数列 中不超过 的项数恰为 （ ），na)(mfmb*N则称数列 是数列 的生成数列，称相应的函数 是数列 生成 的控制函mbna na数.（1）已知 ，且 ，写出 、 、 ；2n2)(mf1b23（2）已知 ，且 ，求 的前 项和 ；amS（3）已知 ，且 （ ），若数列 中， ， ， 是公差为n23)(Af*Nb123b（ ）的等差数列，且 ，求 的值及 的值.d0103bdA9、（镇江市 2016 届高三第一次模拟）已知数列{a n)的各项都为自然数，前 n 项和为 Sn，且存在整数 λ，使得对任意正整数 n 都有 Sn＝(1＋λ)a n－λ 恒成立．(1) 求 λ 值，使得数列{a n)为等差数列，并求数列{a n)的通项公式；(2) 若数列{a n}为等比数列，此时存在正整数 k，当 1≤kj 时，有 ai＝2 016，求 k.∑j i＝ k解答题答案1、- 5 -2、（1）令 ，得 ．1n2a+令 ，得 ，所以 ．…………2 分232323Sa3241a+由 ，得 ，因为 ，所以 ．………4 分213a41++0（2）当 时， ，1 12nnnnSaa所以 ，即 ，………………………6 分11nna+1nnS+所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列， nS22所以 ， ……………………………………………………8 分11na+即 ，①32nnS当 时， ，②≥ 112nna+① ②得， ，……………………………………………10 分13nnna- 6 -即 ，所以 ， ………………………12 分112nna+122na+≥所以 是首项为 是常数列，所以 . ……………………14 分33n+代入①得 . ……………………16 分25126nnSa+3、解：（1）因为 单调递增，所以 ， ，iiA12iiB所以 ， . ……………4 分12iiirm（2）根据题意可知， ， ，因为 ，所以iia1iiBa 0iiiriiAB可得 即 ，又因为 ，所以 单调递增， 1iiiiaABii,23,1m {}na……7 分则 ， ，所以 ，即 ， ，ii1iia1iira12iia1im所以 是公差为 2 的等差数列， ， . ………10n ()n分（3）构造 ，其中 ， . ………12 分()nnnb2nnc下证数列 满足题意.a证明：因为 ，所以数列 单调递增，1()2nnna所以 ， ， ……………14 分iiiA11()2iiiB所以 ， ，1()iiiram因为 ，2121[][()]0i iiii 所以数列 单调递增，满足题意. …………16ir分4、- 7 -5、解：（1） ， ，∴ ， ，0q113nnap21ap3214ap由数列 为等比数列，得 ，解得 或 . ………………3n 40分当 时， ，∴ 符合题意； ………………………40p1na12na分当 时， ，113nn∴ = ，121321n naaa 12 13322nn n∴ 符合题意. ………………………6n分（2）法一：若 ， ，1p13nnaq∴ 12321n naa= = . ………………8n  132nq- 8 -分∵数列 的最小项为 ，∴对 ，有 恒成na4a*nN1413272nqaq≥立，即 对 恒成立. ………………………1012371nq≥ *分当 时，有 ，∴ ；6≥ 136≥当 时，有 ，∴ ；2n410q≥ 25≥当 时，有 ，∴ ；386≥ 3≥当 时，有 ，∴ ； ………………………124n0≥ qR分当 时， ，所以有 恒成立，5≥ 21n1237n≤令 ，则 ，12375,ncN*≥ 211 2354069nnc 即数列 为递增数列，∴ . ………………………15n 574q≤分综上所述， . ………………………162734≤ ≤分法二：因为 ， ，1p13nnaq又 为数列 的最小项，所以 即4a4350,a≤≥ 930,274q≤ ≥所以 . …………………………………………………………8 分273q≤ ≤此时 ， ，10320aq所以 . …………………………………………………………10234a≥分当 时，令 ， ，4n≥ 1nnb1411 2730nb≥所以 ，所以 ，14560≤即 . …………………………………………………………144567aa≤分综上所述，当 时， 为数列 的最小项，234q≤ ≤ 4an即所求 q 的取值范围为 . …………………………………………………………16[,]分6、解：（1）因为 ，12()()33nnna- 9 -， …………2 分21[()]13[()]23nnnS所以 ． …………4 分()123nnba（2）若 ，则 ，∴ ，nnSa112()2nnSa两式相减得 ，即 ，11()na当 时， ，n两式相减得 ，即 ， …………8 分11()()2()nnaa12na又由 ， 得 ， ，12Sa24S23所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， {}n3故数列 的通项公式是 ． …………10 分1na（3）由（2）得 ，nc对于给定的 ，若存在 ，使得 ，*N*,,kttNnktc只需 ， 1ktn即 ，即 ，则 ， …………12 分1()t1nkt(1)tkn取 ，则 ， k(2)∴对数列 中的任意一项 ，都存在 和 使得{}ncnc12nc221ncn． …………16 分21nn7、- 10 -8、解：（1） ，则 ； ，则 ， 1m1a1b2m14a22b，则 ， …………3 分3924393b（2） 为偶数时，则 ，则 ； 为奇数时，则 ，则 ；nmb21nm12mb- 11 -…………5 分1()2为 奇 数为 偶 数mb为偶数时，则 ；21211(2)4mmmSb 为奇数时，则 ；21(1mSb…………8 分2()4为 奇 数为 偶 数mS（3）依题意： ， ， ， ，2na(1)fA(2)8f(5)12fA设 ，即数列 中，不超过 的项恰有 项，所以 ，1bt{}n t 1tt同理： 122128,5,++tdtdt tdA即 故3221,,15+ttddttA2 2131max{,}min{2,}15+td tdt ttA由 得 ， 为正整数 ， …………10 分3122,5+tdttd4d1,23d当 时， ，1d234max{,}max{,}15125+=tdttt t不合题意，舍去；12 82in,in,t tttttdt t当 时， ，2d316ax{,}ax{,}55+t tt t t不合题意，舍去；211 322min,min,1=td tttt tt t当 时， ，3d364ax{,}ax{,}515+t ttdt t适合题意，………12211 282in2,in,15+td tttt tt t分此时 ， ，815t tA125,3,6btbt36tbt为整数 或30b47tt4,tt7t- 12 -， ………14 分(3)27fA310b10127A0127A当 时， 无解4t45当 时， 无解5t125当 时， 6t36A132645A当 时， 无解7t14725或1362*N64综上： ， 或 ． ………16 分 d64A9、【答案】（1）λ＝0 时， a n＝0.；（2）6．【命题立意】本题旨在考查等差数列、等比数列的性质、通项、求和、简单递推；考查考查分析探究能力，难度较大.【解析】 (1) (法一)：因为 Sn＝(1＋λ)a n－λ， ①所以 Sn＋1 ＝(1＋λ)a n＋1 －λ， ②②－①得：λa n＋1 ＝(1＋λ)a n， ③(2 分)当 λ＝0 时，a n＝0，数列{a n}是等差数列．(4 分)当 λ≠0 时，a 1＝(1＋λ)a 1－λ，a 1＝1，且 an＋1 －a n＝ an， ④1λ要使数列{a n}是等差数列，则④式右边 an为常数，即 an＋1 ＝a n为常数，1λ④式左边 an＋1 －a n＝0，a n＝0，又因为 a1＝1，矛盾！(6 分)综上可得：λ＝0 时，数列{a n}为等差数列，且 an＝0.(7 分)(法二)：若数列{a n}是等差数列，必有 2a2＝a 1＋a 3，当 λ＝0 时，a 1＝a 2＝a 3＝0，满足 2a2＝a 1＋a 3，(1 分)此时 Sn＝a n，从而 Sn＋1 ＝a n＋1 ，(3 分)故 an＝0，(4 分)当 λ≠0 时，a 1＝1，a 2＝1＋ ，a 3＝ ，(5 分)1λ (1＋ 1λ )2 由 2a2＝a 1＋a 3，得 2 ＝1＋ ，该方程无解，(6 分)(1＋1λ ) (1＋ 1λ )2 综上可得：λ＝0 时，数列{a n}为等差数列，其中 an＝0.(7 分)(2) 当(1)可得：当 λ＝0 时，不是等比数列，(8 分)当 λ＝－1 时，由①得 Sn＝1，则 a1＝S 1＝1，- 13 -an＝S n－S n－1 ＝0(n≥2)，不是等比数列．(9 分)当 λ≠0，且 λ≠－1 时，得 ＝1＋ ，{a n}为公比是 q＝1＋ 等比数列，(10 分)an＋ 1an 1λ 1λ又对任意 n，a n∈N，则 q＝1＋ ∈N，1λ故仅有 λ ＝1， q＝2 时，满足题意，又由(1)得 a1＝1，故 an＝2 n－1 .(11 分)因为 ai＝ ＝2 016，∑j i＝ k 2k－ 1（ 2j－ k＋ 1－ 1）2－ 1所以 2k－1 (2j－k＋1 －1)＝2 016＝2 5×32×7，(13 分)j－k＋1≥2，2 j－k＋1 －1 为大于 1 的奇数，2 k－1 ＝2 5，k＝6，(15 分)则 2j－5 －1＝3 2×7，2 j－5 ＝64，j＝11，故仅存在 k＝6 时，j＝11， ai＝2 016.(16 分)∑j i＝ k