1、12.4.2 抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题知识点 抛物线的几何性质思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在 x 轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程 y22 px(p0)如何确定横坐标 x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心(2)由抛物线 y22
2、 px(p0)有Error!所以 x0.所以抛物线 x 的范围为 x0.抛物线在 y 轴的右侧，当 x 的值增大时， y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程 y22 px(p0) y22 px(p0) x22 py(p0) x22 py(p0)图形范围 x0， yR x0， yR y0， xR y0， xR对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴焦点 F(p2， 0) F( p2， 0) F(0， p2) F(0， p2)准线方程 x p2 x p2 y p2 y p2顶点坐标 O(0,0)通径长 2p21抛物线关于顶点对称()2抛物线只有一个焦点
3、，一条对称轴，无对称中心()3抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24 y236 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程解 椭圆的方程可化为 1，其短轴在 x 轴上，x24 y29抛物线的对称轴为 x 轴，设抛物线的方程为 y22 px 或 y22 px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 3, p2 p6.抛物线的标准方程为 y212 x 或 y212 x，其准线方程分别为 x3 或 x3.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点 F 在 x 轴上，
4、直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于A， B 两点， O 为坐标原点，若 OAB 的面积等于 4”，求此抛物线的标准方程解 由题意，设抛物线方程为 y22 mx(m0)，焦点 F ，直线 l： x ，(m2， 0) m2所以 A， B 两点坐标为 ， ，(m2， m)(m2， m)所以| AB|2| m|.因为 OAB 的面积为 4，所以 2|m|4，12 |m2|所以 m2 .2所以抛物线的标准方程为 y24 x.23反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练 1 已知双曲线方程是 1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方x28 y29程及抛物线的准线方程解 因
5、为双曲线 1 的右顶点坐标为(2 ，0)，所以 2 ，且抛物线的焦点在 xx28 y29 2 p2 2轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为 y28 x，其准线方程为 x2 .2 2类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例 2 (1)过抛物线 y28 x 的焦点，倾斜角为 45的直线被抛物线截得的弦长为_(2) 直线 l 过抛物线 y24 x 的焦点，与抛物线交于 A， B 两点，若 AB8，则直线 l 的方程为_(3)过抛物线 y24 x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，若 AB7，则 AB的中点 M 到抛物线准线的距离为_答案 (1)16 (2) x y1
6、0 或 x y10 (3)72解析 (1)由抛物线 y28 x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为 y x2，代入 y28 x 得(x2) 28 x，即 x212 x40.所以 x1 x212，弦长为 x1 x2 p12416.(2)抛物线 y24 x 的焦点坐标为(1,0)，若 l 与 x 轴垂直，则 AB4，不符合题意，可设所求直线 l 的方程为 y k(x1)由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20，(*)则由根与系数的关系，得 x1 x2 .2k2 4k2又 AB 过焦点，由抛物线的定义可知 AB x1 x2 p 28， 6，解得2k2 4k2 2k2 4k2k1.此时(
7、*)式变为 x26 x10，满足 0.所求直线 l 的方程为 x y10 或 x y10.4(3)抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线定义知AB AF BF x1 x2 p，即 x1 x227，得 x1 x25，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 ，52又准线方程为 x1，因此点 M 到抛物线准线的距离为 1 .52 72反思与感悟 1.抛物线上任一点 P(x0， y0)与焦点 F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为(1)抛物线 y22 px(p0)， PF x0.|x0p2| p2(2)抛物线 y22 px(p0)， PF x
8、0.|x0p2| p2(3)抛物线 x22 py(p0)， PF y0.|y0p2| p2(4)抛物线 x22 py(p0)， PF y0.|y0p2| p22已知 AB 是过抛物线 y22 px(p0)的焦点的弦， F 为抛物线的焦点， A(x1， y1)，B(x2， y2)，则(1)y1y2 p2， x1x2 .p24(2)AB x1 x2 p ( 为直线 AB 的倾斜角)2psin2(3)S ABO ( 为直线 AB 的倾斜角)p22sin(4) .1AF 1BF 2p(5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切3当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称
9、为抛物线的通径，显然通径长等于 2p.跟踪训练 2 已知直线 l 经过抛物线 y26 x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A， B 两点(1)若直线 l 的倾斜角为 60，求 AB 的值；(2)若 AB9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan60 .3又 F ，所以直线 l 的方程为 y .(32， 0) 3(x 32)联立Error! 消去 y 得 x25 x 0.94若设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x25，5而 AB AF BF x1 x2p2 p2 x1 x2 p，所以 AB538.(2)设 A(x1
10、， y1)， B(x2， y2)，由抛物线定义知AB AF BF x1 x2 x1 x2 p x1 x23，p2 p2所以 x1 x26.于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x ，32所以 M 到准线的距离等于 3 .32 92类型三 抛物线的综合问题命 题 角 度 1 与 抛 物 线 有 关 的 最 值 问 题例 3 抛物线 y24 x 的焦点为 F，点 P(x， y)为该抛物线上的动点，若点 A(1,0)，求的最小值PFPA解 抛物线 y24 x 的准线方程为 x1，如图，过点 P 作 PN 垂直 x1 于点 N，由抛物线的定义可知 PF PN，连结 PA，在 Rt
11、PAN 中，sin PAN ，PNPA当 最小时，sin PAN 最小，PNPA PFPA即 PAN 最小，即 PAF 最大，此时， PA 为抛物线的切线，切线 PA 的斜率一定存在，设 PA 的方程为 y k(x1)，联立Error!得 k2x2(2 k24) x k20，所以 (2 k24) 24 k40，解得 k1，所以 PAF NPA45，6此时 cos NPA .PFPA PNPA 22综上， 的最小值为 .PFPA 22反思与感悟 1.若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点2在曲线上求一点到直线的距离最小
12、问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决跟踪训练 3 已知直线 l1：4 x3 y60 和直线 l2： x1，抛物线 y24 x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是_答案 2解析 由题意知，直线 l2： x1 为抛物线 y24 x 的准线由抛物线的定义知，点 P 到直线 l2的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线y24 x 上找一个点 P，使得点 P 到点 F(1,0)和到直线 l1的距离之和最小，最小值为 F(1,0)到直线 l1：4 x3 y60 的距离，即 d 2.|4 0 6|5命 题 角 度 2
13、 定 值 或 定 点 问 题例 4 抛物线 y22 px(p0)上有两动点 A， B 及一个定点 M， F 为抛物线的焦点，若AF， MF， BF 成等差数列(1)求证：线段 AB 的垂直平分线过定点 Q；(2)若 MF4， OQ6( O 为坐标原点)，求抛物线的方程(1)证明 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)，则 AF x1 ， BF x2 ， MF x0 ， x0为已知值p2 p2 p2由题意得 x0 ，x1 x22线段 AB 的中点坐标可设为( x0， t)，其中 t 0(否则 AF MF BFp0)y1 y22而 kAB ，y1 y2x1 x2 y1
14、 y212py21 y2 2py1 y2 pt故线段 AB 的垂直平分线的方程为 y t (x x0)，tp即 t(x x0 p) yp0，可知线段 AB 的垂直平分线过定点 Q(x0 p,0)(2)解 由 MF4， OQ6，得 x0 4， x0 p6，联立解得 p4， x02.抛物线方程p27为 y28 x.反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等跟踪训练 4 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24 x 相交于不同的 A， B
15、 两点， 4，求证：直线 l 必过一定点OA OB 证明 设 l： x ty b，代入抛物线 y24 x，消去 x 得 y24 ty4 b0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 t， y1y24 b.又 x1x2 y1y2( ty1 b)(ty2 b) y1y2OA OB t2y1y2 bt(y1 y2) b2 y1y24 bt24 bt2 b24 b b24 b，又 4， b24 b4，OA OB 解得 b2，故直线过定点(2,0)1以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_答案 y28 x 或 y
16、28 x解析 设抛物线方程为 y22 px 或 y22 px(p0)，依题意得 x ，代入 y22 px 或 y22 px 得| y| p，p22| y|2 p8， p4.抛物线的方程为 y28 x 或 y28 x.2已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，其上一点 P(1， m)到焦点的距离为 5，则 m的值为_答案 4解析 由抛物线的定义知点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离，所以1 5， p8，故抛物线的方程为 y216 x，将点 P(1， m)代入方程，得 m4.p283过抛物线 y24 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为3，则
17、AB_.答案 8解析 抛物线的准线方程为 x1，则线段 AB 的中点到准线的距离为 3(1)4.由抛物线的定义及中位线定理得 AB8.4已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_.答案 2解析 设点 A， B 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F，且倾斜角为 45的直线的方程为 y x ，p2把 x y 代入 y22 px，得 y22 py p20，p2 y1 y22 p， y1y2 p2. AB8，| y1 y2|4 ，2( y1 y2)24 y1y
18、2(4 )2，2即 4p24 p232.又 p0， p2.5已知抛物线 C： y28 x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线 C 上，且AK AF，则 AFK 的面积为_2答案 8解析 F(2,0)， K(2,0)，过点 A 作 AM 垂直准线于点 M，则 AM AF， AK AM， AMK 为等腰直角三角形2设 A(m2，2 m)(m0)，2则 AFK 的面积 S 42 m4 m.12 2 2又由 AK AM，得( m22) 28 m22( m22) 2，2解得 m ，2 AFK 的面积 S4 m8.21抛物线的中点弦问题用点差法较简便2轴对称问题，一是抓住对称两点的
19、中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系3在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很9多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化一、填空题1设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若 OAF(O为坐标原点)的面积为 4，则抛物线的方程为_答案 y28 x解析 抛物线 y2 ax(a0)的焦点坐标是 ，(a4， 0)故直线 l 的方程为 y2 ，(xa4)令 x0，得 y ，a2故 OAF 的面积为 4， a8，12 |a4| | a2| a216故抛物线的方程为
20、y28 x.2抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F， M 是抛物线 C 上的点， O 为坐标原点，若 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36，则 p 的值为_答案 8解析 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切， OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆的面积为 36，圆的半径为 6.又圆心在 OF 的垂直平分线上， OF ，p2 6， p8.p2 p43设抛物线 y28 x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点， PA l，垂足为 A.如果 AF的斜率为 ，那么 PF_.3答案 8解析 由题意得，准线 l 的方程为 x2，焦点 F(2,0
21、)，设点 A 的坐标为(2， n)，则 ，n 2 2 3解得 n4 ，由(4 )28 x，得 x6.3 3 P(6,4 )， PF628.3104若抛物线 y2 x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为_答案 (18， 24)解析 由题意知，点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离，因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上，而 F ，所以的 P 的横坐标为 ，代入抛物线方程得 y ，故点 P 的坐(14， 0) 18 24标为 .(18， 24)5当 x1 时，直线 y ax a 恒在抛物线 y x2的下方，则 a 的取值范围是_答案 (，4)解析 由题可知
22、，联立Error!整理可得 x2 ax a0，当 a24 a0 时，解得 a0 或a4，此时直线与抛物线相切因为直线恒过定点(1,0)，所以结合图形(图略)可知a(，4)6已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 y x 与抛物线 C 交于 A， B 两点，若 P(2,2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为_答案 y24 x解析 方法一 设抛物线方程为 y2 kx(k0)，与 y x 联立方程组，消去 y，得x2 kx0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2), x1 x2 k.又 P(2,2)为 AB 的中点， 2.x1 x22 k4. y24 x.方法二 由题意
23、知，交点其一为原点，所以令 A(0,0)，又 P(2,2)为 AB 的中点， B(4,4)设抛物线方程为 y22 px(p0)， p2， y24 x.7已知直线 l 过抛物线 y22 px(p0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2 p,2p)，则其焦点弦的长度为_答案 25p8解析 由题意知直线 l 过点 和(2 p,2p)，(p2， 0)11所以 l： y .43(x p2)联立Error!整理得 8x217 px2 p20.设另一交点坐标为( x1， y1)由根与系数的关系，得 x12 p ，17p8所以焦点弦的长度为 x12 p p .25p88直线 y x1 被抛物线 y24 x
24、截得的线段的中点坐标是_考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题答案 (3,2)解析 设线段的端点坐标为( x1， y1)，( x2， y2)，将 y x1 代入 y24 x，整理得 x26 x10.由根与系数的关系，得 x1 x26， 3，x1 x22 2，y1 y22 x1 x2 22 6 22所求点的坐标为(3,2)9抛物线 y4 x2上一点到直线 y4 x5 的距离最短，则该点坐标为_答案 (12， 1)解析 因为 y4 x2与 y4 x5 不相交，设与 y4 x5 平行的直线方程为 y4 x m.则Error! 4x24 x m0.设此直线与抛物线相切，此
25、时有 0，即 1616 m0， m1.将 m1 代入式，得 x ， y1，12故所求点的坐标为 .(12， 1)10已知抛物线 y28 x，过动点 M(a,0)，且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点A， B，若 AB8，则实数 a 的取值范围是_答案 (2，1解析 将 l 的方程 y x a 代入 y28 x，得 x22( a4) x a20，12则 4( a4) 24 a20， a2.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x22( a4)， x1x2 a2， AB 8，2x1 x22 4x1x2 64a 2即 1.20，即 a8.设两交点分别为 A(x1， y1
26、)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，a2 a2 AB x1 x22 y1 y2254x1 x22 .54x1 x22 4x1x2 145a2 8a AB ， ，15145a2 8a 15即 a28 a480，解得 a4 或 a12，所求抛物线的方程为 x24 y 或 x212 y.13已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则称 AB 为抛物线的焦点弦求证：(1) y1y2 p2； x1x2 ；p24(2) ；1FA 1FB 2p(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证明 (1)如图
27、所示，设 AB 中点为 C(x0， y0)，过 A， B， C 分别作准线的垂线，垂足分别为A1， B1， C1.抛物线 y22 px(p0)的焦点 F ，准线方程： x .(p2， 0) p2设直线 AB 的方程为 x ky ，把它代入 y22 px，p2化简，得 y22 pky p20. y1y2 p2， x1x2 .y212p y22p y1y224p2 p224p2 p24(2)根据抛物线定义知FA AA1 x1 ， FB BB1 x2 ，p2 p214 1FA 1FB 1x1 p2 1x2 p2 22x1 p 22x2 p 22x2 p 22x1 p2x1 p2x2 p .4x1 x
28、2 4p4x1x2 2px1 x2 p2 4x1 x2 p2px1 x2 p 2p(3) CC1 (AA1 BB1) (AF BF) AB.12 12 12以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切三、探究与拓展14已知在抛物线 y x2上存在两个不同的点 M， N 关于直线 y kx 对称，则 k 的取值范92围为_考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线位置关系答案 ( ， 14) (14， )解析 设 M(x1， x )， N(x2， x )关于直线 y kx 对称， ，即 x1 x2 .21 292 x21 x2x1 x2 1k 1k设 MN 的中点为 P(x0， y0)，则 x0
29、 ， y0 k 4.12k ( 12k) 92又中点 P 在抛物线 y x2内，4 2，即 k2 ，(12k) 116 k 或 k .14 1415已知过点 A(4,0)的动直线 l 与抛物线 G： x22 py (p0)相交于 B， C 两点当直线l 的斜率是 时， 4 .12 AC AB (1)求抛物线 G 的方程；(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围解 (1)设 B(x1， y1)， C(x2， y2)，由题意知直线 l 的方程为 x2 y4.由Error! 得 2y2(8 p)y80，Error!15又 4 ，AC AB y24 y1，由，及 p0得 y11， y24， p2，则抛物线 G 的方程为 x24 y.(2)直线 l 的斜率存在，设 l： y k(x4)， BC 的中点坐标为( x0， y0)，B(xB， yB)， C(xC， yC)由Error!得 x24 kx16 k0， x0 2 k， y0 k(x04)2 k24 k.xC xB2线段 BC 的中垂线方程为y2 k24 k (x2 k)，1k线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为b2 k24 k22( k1) 2，对于方程，由 16 k264 k0，得k0 或 k4. b2 或 b18， b(2，)
