广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 直线和圆试题精选（打包11套）.zip

- 1 -直线和圆 01一、选择题1．如果实数 满足条件 那么 的最大值为xy、 01,yx2xyA． B． C． D．2 3解：当直线 过点(0，-1)时， 最大，故选 B。xytt2．直线 与圆 没有公共点，则 的取值范围是120()ayaA． B． C． D． (0,)(,1)21,)(0,21)解：由圆 的圆心 到直线 大于 ，且 ，选2xy(,)xyA。3.在约束条件 下，当 时，目标函数 的最大值的变化范围是024xys35x32zxyA. B. C. D. [6,15][7,15][6,8][7,8]解析：由 交点为 ，4242syxysx )4,0(,)42,(),0CssBA（1）当 时可行域是四边形 OABC，此时， （2）当 时可行域43s 87z54s是△OA 此时， ，故选 D.C8maxzxxysO- 2 -4.已知平面区域 D由以 为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区(1,3)5,2(,1)ABC域 D上有无穷多个点 可使目标函数 z＝x＋my 取得最小值，则,xy mA．－2 B．－1 C．1 D．45.若圆 上至少有三个不同点到直线 : 的距离为 ,2410xyl0axby2则直线 的倾斜角的取值范围是 ( )lA. ] B. ] C. D.,125,2,]63[,]6.圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是0142yx 014yxA．36 B. 18 C. D. 2625解析：圆 的圆心为(2，2)，半径为 3 ，圆心到直线 的0142yx 2014yx距离为 3 ，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 ，选|1|5 2C.- 3 -7.圆 的切线方程中有一个是1)3()1(22yx（A） x－ y＝0 （B） x＋ y＝0 （C） x＝0 （D） y＝0解析：直线 ax+by=0 ，则 ，由排除法，22()(3)1与 相 切 |3|12ab选 C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选 C,用图象法解最省事。8.从圆 外一点 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的2210xy3,2P余弦值为A． B． C． D．123520解析：圆 的圆心为 M(1，1)，半径为 1，从外一点 向这210xy(3,2)P个圆作两条切线，则点 P到圆心 M的距离等于 ，每条切线与 PM的夹角的正切值等于 ，51所以两切线夹角的正切值为 ，该角的余弦值等于 ，选 B.24tan13359.已知 x和 y是正整数，且满足约束条件 则 x－2x 3y的最小值是.72,0xy(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5解：画出可域：如图所示易得B点坐标为（6，4）且当直线 z＝2x＋3y过点 B时 z取最大值，此时 z＝24，点C的坐标为（3.5，1.5） ，过点 C时取得最小值，但 x，y 都是整数，最接近的整数解为（4，2） ，故所求的最小值为 14，选 B10.设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2相切,则 a 的值为( ) A.± B.±2 B.±2 D.±42 2解析：设直线过点(0， a)，其斜率为 1， 且与圆 x2+y2=2相切，设直线方程为 ，yxaxy2x£«3y£½0x£«y£½102x£½7x£­y£½2BAO C- 4 -圆心(0，0)道直线的距离等于半径 ，∴ ，∴ a 的值±2，选 B． 2|2a11.某厂生产甲产品每千克需用原料 A和原料 B分别为 、 千克，生产乙产品每千克1b需用原料 A和原料 B分别为 、 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为 、 元。月2ab 1d2初一次性购进本月用原料 A、B 各 、 千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克1c2才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克、x千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润 最大的数学模型中，约束yz 12zdxy条件为（A） （B） （C） （D）1210axycb11220axbyc1210acbxy1210axycb12.设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数xy632xy的最小值为（ ）z2A． B． C． D． 49解析：设变量 、 满足约束条件 在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，xy2,36yxB(1，1)，C(3，3)，则目标函数 的最小值为 3，选 B. zxy13.在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是2,0x(A) (B)4 (C) (D)224【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。CBAOyx ,2A0B,0C2x- 5 -解析：由题知可行域为 ，ABC，故选择 B。420ABCS14.过坐标原点且与 x2+y2 + 4x+2y+ =0相切的直线的方程为5（A） y=-3x或 y= x (B) y=-3x或 y=- x （C） y=-3x或 y=- x (B) y=3x或 y= x 3131313115.以点（2，－1）为圆心且与直线 相切的圆的方程为3450xy（A） （B）22()(1)xy22()(1)3（C） （D）9解：r＝ ＝3，故选 C2|345|－ （ － ） ＋＋- 1 -直线和圆 02二、填空题16.已知点 的坐标满足条件 ，点 为坐标原点，那么 的最小值等于(,)Pxy41xyO|PO_______,最大值等于____________.解：画出可行域，如图所示： 易得 A（2，2） ，OA＝ 2B（1，3） ，OB＝ ， ，C（1，1） ，OC＝02故|OP|的最大值为 ，最小值为 .17.已知实数 、 满足 则 的最大值是＿＿＿＿。xy1,x2y解析：已知实数 、 满足 在坐标系中画出可行域，,1三个顶点分别是 A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴ 的最大2xy值是 4.18.已知直线 与圆 相切，则 的值为 。5120xya220xya解：圆的方程可化为 ，所以圆心坐标为（1，0） ，半径为 1，由已知可得()，所以 的值为－18 或 8。||||313a19.若直线 y＝ kx＋2 与圆( x－2) 2＋( y－3) 2＝1 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 .解：由直线 y＝ kx＋2 与圆( x－2) 2＋( y－3) 2＝1 有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即 1，解得 k(0， )2|3|k34xyABOC11 CBAOyx- 2 -20.已知圆 M：（x＋cos） 2＋（y－sin） 2＝1，直线 l：y＝kx，下面四个命题：（A） 对任意实数 k 与 ，直线 l 和圆 M 相切；（B） 对任意实数 k 与 ，直线 l 和圆 M 有公共点；（C） 对任意实数 ，必存在实数 k，使得直线 l 与和圆 M 相切（D）对任意实数 k，必存在实数 ，使得直线 l 与和圆 M 相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）解：选（B） （D）圆心坐标为（－cos，sin） ，d＝22|kcosin|1k|sin|1|i| － － ＋ （ ＋ ） ＝＋ ＋＝ （ ＋ ）21.设 ，式中变量 满足下列条件 ，则 z 的最大值为2zyxxy、 123yx_____________。22.过点（1， ）的直线 l 将圆( x－2) 2＋ y2＝4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，2直线 l 的斜率 k＝ ．解析(数形结合)由图形可知点 A 在圆 的内部, 圆心为 O(2,0)要(1,)2()4xy使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 ,所以lO12lOAk23.已知圆 －4 －4＋ ＝0 的圆心是点 P，则点 P 到直线 － －1＝0 的距离是 2x2yxy．解：由已知得圆心为： ，由点到直线距离公式得： ；(,) |2|dyxOCBA- 3 -24.已知两条直线 若 ，则 ____.12:30,:4610.laxylxy12/la解：两条直线 若 ， ，则 2.325.已知实数 满足 ，则 的最大值是,xy250y2yx_________.解析：实数 满足 ，在坐标系中画出可行,xy3025y域，得三个交点为 A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则 的最大值是 0.2yx26.设 满足约束条件： ，则 的最小值为 ;,xy120xyz27.设直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的长为30axy22(1)()4xyABA，则 ____________．23解析：设直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的22()()B长为 ，则圆心(1，2)到直线的距离等于 1， ， 0． 2|3|1aa28.若半径为 1 的圆分别与 轴的正半轴和射线 相切，则这个圆的方程为 y(0)3yx≥CBAOyx- 4 -．29.已知变量 x,y 满足约束条件 1≤x+y≤ 4,-2≤x-y≤ 2.若目标函数 z=ax+y(其中 a＞ 0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围为___________.解析：变量 满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如, 4,2.xyxy图为四边形 ABCD，其中 A(3，1)， ，目标函数1ADBk（其中 ）中的 z 表示斜率为－ a 的直线系中的截距的大小，zaxy0a若仅在点 处取得最大值，则斜率应小于 ，即 ，所以3,1AB1的取值范围为(1，+∞)。30.已知变量 ， 满足约束条件 。若目标函数xy2301xy（其中 ）仅在点 处取得最大值，则 的取值范围为 za0a(,)a。解：画出可行域如图所示，其中 B（3，0） ，C（1，1） ，D（0，1） ，若目标函数 取zxy得最大值，必在 B，C，D 三点处取得，故有3aa＋1 且 3a1，解得 a 2DCBA-2-1 43214321Oyxxyx£«2y£­3£½0x£«3y£­3£½0y£­1£½0DBCO- 5 -31.已知圆 和直线 . 若圆 与直线 没有公共点，)0()5(:22ryxC053:yxl Cl则 的取值范围是 .r解：由题意知，圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须小于圆的半径 r ．因为 ，所以 ．从而应填 ．- 1 -直线和圆 03一、选择题1．在△OAB 中，O 为坐标原点， ，则当△OAB 的面积达]2,0(),1(sin),co,1(BA最大值时， （ D ）A． B． C． D．64322． “ a=b”是“直线 ”的 （A ）22()()yxayb与 圆 相 切A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3. 圆( x2) 2 y25 关于原点(0,0)对称的圆的方程为(A )(A) (x2) 2 y25 ； (B) x2( y2) 25 ；(C) (x2) 2( y2) 25 ； (D) x2( y2) 25 。4 点(1，－1)到直线 x－ y＋1＝0 的距离是( D )(A) (B) (C) (D)213235．设集合 A＝{( x， y)|x， y，1－ x－ y 是三角形的三边长}，则 A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A )- 2 -6. 在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的面积为（C ）13xy（A） （B） （C） （D）222237. 设直线 过点 ，且与圆 相切，则 的斜率是（D ）l)0,(12yxl（A） （B） （C） （D）1338. 已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个交点时，其斜率 k 的取值范l），（ 02lxy22围是（B ）（A） （B）），（  ），（ （C） （D）），（ 42 ），（ 819. 已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为（B）（A）0 （B）-8 （C）2 （D）1010 从原点向圆 x2＋ y2－12 y＋27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(B )（ A）π （ B）2π （ C）4π （ D）6π11 若直线 按向量 平移后与圆 相切，则 c 的值为（ A 02cyx)1,(a52yx）A．8 或－2 B．6 或－4 C．4 或－6 D．2 或－812. 设直线的方程是 ，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为0yAxA、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （C ）A．20 B．19 C．18 D．1613.已知点 P（ x，y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则 z＝ x－ y 的取值02,1yx范围是 （ C ） A．－2，－1] B．－2，1] C．－1，2] D．1，2]- 3 -14. “m= ”是“直线( m+2)x+3my+1=0 与直线( m－2) x+(m+2)y－3=0 相互垂直”的(B )21（ A）充分必要条件 （ B）充分而不必要条件（ C）必要而不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件解答题1.如图,圆 O1与圆 O2的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM、PN（M、N分别为切点） ，使得 试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.MN2.在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示） ．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．O (A) BCDXY- 4 -（II）(1)当 时，折痕的长为 2;0k(1) 当 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)21(),(2kPN2322 4)1((ky 432/ 168)(3kk令 解得 ∴0/y 2167maxPN所以折痕的长度的最大值 2- 1 -直线和圆 04一、选择题1.已知直线 ax+by+c=0（ abc≠0）与圆 x2+y2=1 相切，则三条边长分别为| a|，| b|，| c|的三角形（ ）A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在2.在直角坐标系 xOy 中，已知△ AOB 三边所在直线的方程分别为 x=0， y=0，2 x+3y=30，则△ AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A.95 B.91 C.88 D.753.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）A.x－ y=0 B.x+y=0 C.|x|－ y=0 D.|x|－| y|=04.圆 2x2＋2 y2＝1 与直线 xsinθ ＋ y－1＝0（ θ ∈R, θ ≠ ＋ kπ ， k∈Z）的位置关系是2（ ）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的5.若直线（1+ a） x+y+1=0 与圆 x2＋ y2－2 x＝0 相切，则 a 的值为（ ）A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－16.圆（ x－1） 2＋ y2＝1 的圆心到直线 y= x 的距离是（ ）3A. B. C.1 D. 37.在平面直角坐标系中，已知两点 A（co s80°,sin80°）, B（co s20°，sin20°） ，则|AB|的值是（ ）A. B. C. D.1212238.若直线 l： y＝ kx 与直线 2x＋3 y－6＝0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. B.)3,6[),(C. D. 2,( ]2,6[- 2 -9.给定四条曲线：① x2＋ y2＝ ，② ＝1，③ x2＋ ＝1，④ ＋ y2＝1．其5492yx4yx中与直线 x+y－ =0 仅有一个交点的曲线是（ ）5A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④10.过点 A（1，－1） 、 B（－1，1）且圆心在直线 x＋ y－2＝0 上的圆的方程是（ ）A.（ x－3） 2＋（ y＋1） 2＝4 B.（ x＋3） 2＋（ y－1） 2＝4C.（ x－1） 2＋（ y－1） 2＝4 D.（ x＋1） 2＋（ y＋1） 2＝411.若直线 x=1 的倾斜角为 α ，则 α （ ）A.等于 0 B.等于 C.等于 D.不存在12.设 A、 B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且| PA|=|PB|，若直线 PA 的方程为x－ y+1=0，则直线 PB 的方程是（ ）A.x+y－5=0 B.2x－ y－1=0 C.2y－ x－4=0 D.2x+y－7=013.设动点 P 在直线 x=1 上， O 为坐标原点．以 OP 为直角边，点 O 为直角顶点作等腰Rt△ OPQ，则动点 Q 的轨迹是（ ）A.圆 B.两条平行直线 C.抛物线 D.双曲线14.下列方程的曲线关于 x=y 对称的是（ ）A.x2－ x＋ y2＝1 B.x2y＋ xy2＝1 C.x－ y=1 D.x2－ y2＝115.直线（ ） x+y=3 和直线 x+（ ） y=2 的位置关系是（ ）33A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合16.过原点的直线与圆 x2＋ y2＋4 x＋3＝0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A.y= x B.y=－ x 3 3C.y= x D.y=－ x- 3 -17.已知两条直线 l1： y=x， l2： ax－ y=0，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时， a 的取值范围是（ ）12A.（0，1） B.（ ）3,C.（ ，1） ∪（1， ） D.（1， ）3318.曲线 x2+y2+2 x－2 y=0 关于（ ）A.直线 x= 轴对称 B.直线 y=－ x 轴对称C.点（－2， ）中心对称 D.点（－ ，0）中心对称219.直线 y= x 绕原点按逆时针方向旋转 30°后所得直线与圆3（ x－2） 2+y2=3 的位置关系是（ ）A.直线过圆心 B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切 D.直线与圆没有公共点20.直线 x+y－2 =0 截圆 x2＋ y2＝4 得的劣弧所对的圆心角为（ ）3A. B. C． D.63221.两条直线 A1x＋ B1y＋ C1＝0， A2x＋ B2y＋ C2＝0 垂直的充要条件是（ ）A.A1A2＋ B1B2＝0 B.A1A2－ B1B2＝0C. D. =1212122.设 a、 b、 c 分别是△ ABC 中∠ A、∠ B、∠ C 所对边的边长，则直线 sinA·x+ay+c=0与 bx－sin B·y+sinC=0 的位置关系是（ ）A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直23.已知直线 x=a（ a0）和圆（ x－1） 2+y2=4 相切，那么 a 的值是（ ）A.5 B.4 C.3 D.2- 4 -24.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x－ y－2=0 平行，那么系数 a 等于（ ）A.－3 B.－6 C.－ D.233225.如果直线 l 将圆 x2+y2－2 x－4 y=0 平分，且不通过第四象限，那么直线 l 的斜率的取值范围是（ ）A.0，2］ B.0，1］ C.0， ］ D.0， ）1226.下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点 P0（ x0， y0）的直线都可以用方程 y－ y0=k（ x－ x0）表示B.经过任意两个不同的点 P1（ x1， y1） 、 P2（ x2， y2）的直线都可以用方程（ y－ y1）·（ x2－ x1）=（ x－ x1） （ y2－ y1）表示C.不经过原点的直线都可以用方程 表示baD.经过定点 A（0， b）的直线都可以用方程 y=kx+b 表示27.圆 x2＋ y2－2 x＝0 和 x2＋ y2＋4 y＝0 的位置关系是（ ）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切28.图 7—1 中的直线 l1、 l2、 l3的斜率分别为 k1、 k2、 k3，则（ ）A.k1＜ k2＜ k3 B.k3＜ k1＜ k2C.k3＜ k2＜ k1 D.k1＜ k3＜ k229.点（0，5）到直线 y=2x 的距离是（ ）A. B.25C. D.32二、填空题30.直线 y=1 与直线 y= x+3 的夹角为_____.331.若经过两点 A（－1，0） 、 B（0，2）的直线 l 与圆（ x－1） 2+（ y－ a） 2=1 相切，则 a=_____.图 7—1- 5 -32.圆 x2＋ y2－2 x－2 y＋1＝0 上的动点 Q 到直线 3x＋4 y＋8＝0 距离的最小值为 ．33.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点， PA， PB 是圆 x2＋ y2－2 x－2 y＋1＝0 的两条切线，A、 B 是切点， C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值为 ．34.已知圆 x2＋（ y－1） 2＝1 的圆外一点 P（－2，0） ，过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．35.已知圆（ x＋1） 2＋ y2＝1 和圆外一点 P（0，2） ，过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．36.设曲线 C1和 C2的方程分别为 F1（ x， y）＝0 和 F2（ x， y）＝0，则点 P（ a， b）C1∩ C2的一个充分条件为 ．37.已知两个圆： x2＋ y2＝1①与 x2＋（ y－3） 2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为： 38.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为 .39.集合 A＝｛（ x， y）| x2＋ y2＝4｝ ， B＝｛（ x， y）|( x－3) 2＋( y－4) 2＝ r2｝ ，其中r＞0，若 A∩ B 中有且仅有一个元素，则 r 的值是_____.40.设圆 x2+y2－4 x－5=0 的弦 AB 的中点为 P（3，1） ，则直线 AB 的方程是 .41.以点 C（－2，3）为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 .答案解析2.答案：B解析一：由 y=10－ x（0≤ x≤15， x∈N）转化为求满足不等式32y≤10－ x（0≤ x≤15， x∈N）所有整数 y 的值.然后再求其总数.令 x=0， y 有 11 个整数，32x=1， y 有 10 个， x=2 或 x=3 时， y 分别有 9 个， x=4 时， y 有 8 个， x=5 或 6 时， y 分别有 7个，类推： x=13 时 y 有 2 个， x=14 或 15 时， y 分别有 1 个，共 91 个整点.故选 B.- 6 -解析二：将 x=0， y=0 和 2x+3y=30 所围成的三角形补成一个矩形.如图 7—2 所示.对角线上共有 6 个整点，矩形中（包括边界）共有 16×11=176.因此所求△ AOB 内部和边上的整点共有 =91（个）2617评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.5.答案：D解析：将圆 x2＋ y2－2 x＝0 的方程化为标准式：（ x－1） 2＋ y2＝1∴其圆心为（1，0） ，半径为 1，若直线（1＋ a） x＋ y＋1＝0 与该圆相切，则圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r∴ ∴ a＝－1)(||2a6.答案：A解析：先解得圆心的坐标（1，0） ，再依据点到直线距离的公式求得A 答案．7.答案：D解析：如图 7—3 所示，∠ AOB＝60°，又| OA|＝| OB|＝1∴| AB|＝18.答案：B图 7—2图 7—3- 7 -方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围 kyxyxk326)(0632∵交点在第一象限，∴ ∴ ∴ k∈（ ，＋∞）0yx0326)(k3∴倾斜角范围为（ ）2,610.答案：C解析一：由圆心在直线 x＋ y－2＝0 上可以得到 A、C 满足条件,再把 A 点坐标（1，－1）代入圆方程. A 不满足条件.∴选 C.解析二:设圆心 C 的坐标为( a， b)，半径为 r,因为圆心 C 在直线 x+y－2=0 上,∴ b=2－ a.由| CA|=|CB|，得（ a－1） 2+（ b+1） 2=（ a+1） 2+（ b－1） 2，解得 a=1， b=1因此所求圆的方程为（ x－1） 2+（ y－1） 2=4评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.11.答案：C解析：直线 x=1 垂直于 x 轴，其倾斜角为 90°.12.答案：A解析：由已知得点 A（－1，0） 、 P（2，3） 、 B（5，0） ，可得直线 PB 的方程是 x+y－5=0.评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征.- 8 -14.答案：B解析：∵点（ x， y）关于 x=y 对称的点为( y， x),可知 x2y＋ xy2＝1 的曲线关于 x=y 对称．15.答案：B解析：直线（ ） x+y=3 的斜率 k1＝ ，直线 x+（ ） y=2 的斜2333率 k2＝ ，∴ k1·k2＝ ＝－ 1．)2)(3(16.答案：C解析一：圆 x2＋ y2＋4 x＋3＝0 化为标准式（ x+2） 2＋ y2＝1，圆心 C（－2，0） ．设过原点的直线方程为 y=kx，即 kx－ y=0.由 ＝1，解得 k=± ，∵切点在第三象限，|2k∴ k＞0，所求直线方程为 y= x．3解析二：设 T 为切点，因为圆心 C（－2，0） ，因此CT=1， OC=2，△ OCT 为 Rt△.如图 7—5，∴∠ COT=30°，∴直线 OT 的方程为 y= x.3评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美结合，可迅速、准确得到结果.图 7—5- 9 -17.答案：C解析：直线 l1的倾斜角为 ，依题意 l2的倾斜角的取值范围为（ － ， ）∪（4412， + ）即:（ ， ）∪（ ， ）,从而 l2的斜率 k2的取值范围为:4263（ ，1）∪ （1, ）.33评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.20.答案：C 解析：如图 7—7 所示，由 40322yx消 y 得： x2－3 x+2=0∴ x1=2， x2=1∴ A（2，0） ， B（1， ）∴| AB|= =222)30()(又| OB|＝| OA|=2∴△ AOB 是等边三角形，∴∠ AOB= ，故选 C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线 AB 的倾斜角为 120°.则等图 7—7- 10 -腰△ OAB 的底角为 60°.因此∠ AOB=60°.更加体现出平面几何的意义.21.答案：A解法一：当两直线的斜率都存在时，－ ·（ ）＝－1， A1A2＋ B1B2＝0.1BA2当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为 0 时， ，01221或同样适合 A1A2＋ B1B2＝0，故选 A.解法二：取特例验证排除.如直线 x+y=0 与 x－ y=0 垂直， A1A2＝1， B1B2＝－1，可排除 B、D.直线 x=1 与 y=1 垂直， A1A2＝0， B1B2＝0，可排除 C，故选 A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.24.答案：B解析一：若两直线平行，则 ，213a解得 a＝－6，故选 B.解析二：利用代入法检验，也可判断 B 正确.评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力.25.答案：A解析：圆的标准方程为：（ x－1） 2+（ y－2） 2=5.圆过坐标原点.直线 l 将圆平分，也就是直线 l 过圆心 C（1，2） ，从图 7—8 看到：当直线过圆心与 x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线 l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.图 7—8- 11 -当直线 l 过圆心与 x 轴平行时， k=0，当直线 l 过圆心与原点时， k=2.∴当 k∈0，2］时，满足题意.评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法.26.答案：B解析： A 中过点 P0（ x0， y0）与 x 轴垂直的直线 x=x0不能用 y－ y0=k（ x－ x0）表示，因为其斜率 k 不存在； C 中不过原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y=b（ b≠0）或 x=a（ a≠0）不能用方程 =1 表示； D 中过 A（0， b）的直线 x=0 不能用方程 y=kx+b 表示.ba评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.29.答案：B解析：直线方程可化为 2x－ y=0， d= .5|评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.30.答案：60°解析：因为直线 y= x+3 的倾斜角为 60°，而 y=1 与 x 轴平行，所以 y=1 与3y= x+3 的夹角为 60°.3评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想.31.答案： a=4± 5解析：因过 A（－1，0） 、 B（0，2）的直线方程为：2 x－ y+2=0.圆的圆心坐标为C（1， a） ，半径 r=1.又圆和直线相切，因此，有： d= =1，解得 a=4± .5|2|a5评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识.- 12 -32.答案：2解析：圆心到直线的距离 d＝ ＝35|84|∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d－ r＝3－1＝234.答案： 34解法一：圆的圆心为（0，1）设切线的方程为 y＝ k（ x＋2）.如图 7—10.∴ kx＋2 k－ y＝0 ∴圆心到直线的距离为 ＝1|2|k∴解得 k＝ 或 k＝0，34∴两切线交角的正切值为 ．解法二：设两切线的交角为 α∵tan ，∴tan α ＝ ．213412tan图 7—10图 7—11- 13 -35.答案： 34解析：圆的圆心为（－1，0） ，如图 7—11.当斜率存在时，设切线方程为 y＝ kx＋2∴ kx－ y＋2＝0∴圆心到切线的距离为 ＝1 ∴ k＝ ，||2k43即 tanα ＝ 43当斜率不存在时，直线 x＝0 是圆的切线又∵两切线的夹角为∠ α 的余角∴两切线夹角的正切值为 338.答案：（ x－1） 2+（ y－1） 2=1解析一：设所求圆心为（ a， b） ，半径为 r.由已知，得 a=b， r=|b|=|a|.∴所求方程为（ x－ a） 2+（ y－ a） 2=a2又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－ a） 2+a2=a2，∴ a=b=r=1.故所求圆的方程为：（ x－1） 2+（ y－1） 2=1.- 14 -解析二：因为直线 y=x 与 x 轴夹角为 45°.又圆与 x 轴切于（1，0） ，因此圆心横坐标为 1，纵坐标为 1， r=1.评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果.39.答案：3 或 7解析：当两圆外切时， r=3，两圆内切时 r=7，所以 r 的值是 3 或 7．评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义.41.答案：（ x+2） 2+（ y－3） 2=4解析：因为圆心为（－2，3） ，且圆与 y 轴相切，所以圆的半径为 2.故所求圆的方程为（ x+2） 2+（ y－3） 2=4.- 1 -直线和圆 05三、解答题42.设 A（－ c，0） ， B（ c，0） （ c0）为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a（ a0） ，求 P 点的轨迹.43.已知动圆过定点 P（1，0） ，且与定直线 l： x=－1 相切，点 C 在 l 上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹 M 的方程；（Ⅱ）设过点 P，且斜率为－ 的直线与曲线 M 相交于 A、 B 两点.3（i）问：△ ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ ABC 为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围.44.已知点 P 到两个定点 M（－1，0） 、 N（1，0）距离的比为 ，点 N 到直线 PM 的距2离为 1．求直线 PN 的方程．45.已知圆满足：①截 y 轴所得弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线 l： x－2 y=0 的距离为 ，求该圆的方程.546.设圆满足：（1）截 y 轴所得弦长为 2；（2）被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3∶1．在满足条件（1） 、 （2）的所有圆中，求圆心到直线 l： x－2 y=0 的距离最小的圆的方程.47.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、 B 两点，分别过点 A、 B 作 y轴的平行线与函数 y＝lo g2x 的图象交于 C、 D 两点.- 2 -（1）证明点 C、 D 和原点 O 在同一条直线上.（2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.48.在直角坐标系中，设矩形 OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为 O（0，0） ， P（1， t） ，Q（1－2 t，2+ t） ， R（－2 t，2） ，其中 t∈（0，＋∞）.（1）求矩形 OPQR 在第一象限部分的面积 S（ t）.（2）确定函数 S（ t）的单调区间，并加以证明.49.已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C： x2+y2=1，动点 M 到圆 C 的切线长与| MQ|的比等于常数 λ （ λ 0）.求动点 M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.42.解：设动点 P 的坐标为 P（ x， y）由 =a（ a0） ，得 =a，化简，|BA2)(c得：（1－ a2） x2+2c（1+ a2） x+c2（1－ a2）+（1－ a2） y2=0.当 a≠1 时，得 x2+ x+c2+y2=0.整理，)(得：（ x－ c） 2+y2=（ ） 2121a当 a=1 时，化简得 x=0.所以当 a≠1 时， P 点的轨迹是以（ c，0）为圆心，| |为半径的圆；212ac当 a=1 时， P 点的轨迹为 y 轴.评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.- 3 -假设存在点 C（－1， y） ，使△ ABC 为正三角形，则| BC|=|AB|且| AC|=|AB|，即.)316(2()3( ,22y由①－②得 42+（ y+2 ） 2=（ ） 2+（ y－ ） 2，43解得 y=－ .931但 y=－ 不符合①，4所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线 l 上不存在点 C，使得△ ABC 是正三角形.（ii）解法一：设 C（－1， y）使△ ABC 成钝角三角形，由 得.1),(3xyy=2 ，3①②- 4 -该不等式无解，所以∠ ACB 不可能为钝角.因此，当△ ABC 为钝角三角形时，点 C 的纵坐标 y 的取值范围是.)32(9310yy或解法二：以 AB 为直径的圆的方程为（ x－ ） 2+（ y+ ） 2=（ ） 2.538圆心（ ）到直线 l： x=－1 的距离为 ，32,58所以，以 AB 为直径的圆与直线 l 相切于点 G（－1，－ ）.32当直线 l 上的 C 点与 G 重合时，∠ ACB 为直角，当 C 与 G 点不重合，且 A、 B、 C 三点不共线时，∠ ACB 为锐角，即△ ABC 中，∠ ACB 不可能是钝角.因此，要使△ ABC 为钝角三角形，只可能是∠ CAB 或∠ CBA 为钝角.- 5 -过点 A 且与 AB 垂直的直线方程为 .)31(32xy评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.44.解：设点 P 的坐标为（ x， y） ，由题设有 ，2|PNM即 ．22)1()1(yx整理得 x2+y2－6 x+1=0． ①因为点 N 到 PM 的距离为 1，| MＮ |＝2，所以∠ PMN＝30°，直线 PM 的斜率为± ，3直线 PM 的方程为 y=± （ x＋1） ．②将②式代入①式整理得 x2－4 x＋1＝0．解得 x＝2＋ ， x＝2－ ．3代入②式得点 P 的坐标为（2＋ ，1＋ ）或（2－ ，－1＋ ） ；33- 6 -（2＋ ，－1－ ）或（2－ ，1－ ） ．33直线 PN 的方程为 y=x－1 或 y=－ x+1．46.解：设所求圆的圆心为 P（ a， b） ，半径为 r，则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为| b|、| a|.由题设圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为 90°，圆 P 截 x 轴所得弦长为 r，故2r2＝2 b2，又圆 P 截 y 轴所得弦长为 2，所以有 r2＝ a2＋1，从而有 2b2－ a2＝1又点 P（ a， b）到直线 x－2 y=0 距离为 d＝ ，5||b所以 5d2＝| a－2 b|2＝ a2＋4 b2－4 ab≥ a2＋4 b2－2（ a2＋ b2）＝2 b2－ a2＝1当且仅当 a=b 时上式等号成立，此时 5d2＝1，从而 d 取得最小值，由此有 解方程得 或 12由于 r2＝2 b2，知 r＝ ，于是所求圆的方程为（ x－1） 2＋（ y－1） 2＝2 或（ x＋1） 2＋（ y＋1） 2＝2评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数- 7 -知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.47.（1）证明：设 A、 B 的横坐标分别为 x1， x2，由题设知 x1＞1， x2＞1，点A（ x1，lo g8x1） ， B（ x2，lo g8x2）.48.解：（1）当 1－2 t＞0 即 0＜ t＜ 时，如图 7—13，点 Q 在第一21象限时，此时 S（ t）为四边形 OPQK 的面积，直线 QR 的方程为 y－2=t（ x+2t）.令 x=0，得 y=2t2＋2，点 K 的坐标为（ P，2 t2＋2）.tOKRPQOK )(1)(2)1(232t当－2 t+1≤0，即 t≥ 时，如图 7—14，点 Q 在 y 轴上或第二象1限， S（ t）为△ OPＬ 的面积，直线 PQ 的方程为 y－ t=－ （ x－1） ，令x=0 得 y=t+ ，点 L 的坐标为（0， t+ ） ， S△ OPL＝11)(2t)(2t图 7—13图 7—14- 8 -所以 S（ t）＝ 21 )1(2032ttt49.解：如图 7—15，设直线 MN 切圆于 N，则动点 M 组成的集合是： P={M||MN|=λ |MQ|}，（ λ 0 为常数）因为圆的半径| ON|=1，所以| MN|2=|MO|2－| ON|2=|MO|2－1.设点 M 的坐标为（ x， y） ，则 2)(1yxy整理得（ λ 2－1） （ x2+y2）－4 λ 2x+（1+4 λ 2）=0当 λ =1 时，方程化为 x= ，它表示一条直线，该直线与 x 轴垂直，5交 x 轴于点（ ，0） ；45当 λ ≠1 时，方程化为（ x－ ） 2+y2= 它表示圆心在（ ，0） ，半径1)1(3212为 的圆 .|1|32图 7—15