四川省成都市高新区2017届高三下学期5月月考试题（全科）.zip

1四川省成都市高新区 2017届高三数学下学期 5月月考试题 文本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。第 I卷一、选择题（本大题 12个小题，每题 5分，共 60分,请将答案涂在答题卷上)1.已知复数 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位），则在复平面内，zz iiz2521(3复数 所对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2. 已知集合 ， ，则（ ）2{|0}x4|log2BxA． B． C． D．UARABAB3. 下列命题正确的个数是（ ）①命题“ ”的否定是“ ”；200,13xRx2,13xx②函数 的最小正周期为 是“ ”的必要不充分条件；2cosinfaa③ 在 上恒成立 在 上恒成立；2,2mxin,2④“平面向量 与 的夹角是钝角” 的充分必要条件是“ ”.b 0bAA． B． C. D．12344.《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则输入的 的值m35a为（ ）A． B． C. D．45715.已知公差不为 0的等差数列{ an}满足 a1,a3,a4成等比数列, Sn为数列{ an}的前 n项和,则 的值为( )𝑆3-𝑆2𝑆5-𝑆3A.-2 B.-3 C.2 D.326.如图，小正方形的边长为 ，粗线画出的是某空间几何体的三视图，1则该几何体的体积为（ ）A． B． 386C. D．16327．如图，在直角梯形 中， ， ∥ ， ， ，图中圆ABCADBC2A1DC弧所在圆的圆心为点 C，半径为 ，且点 P在图中阴影部分（包括边12 界）运动．若 ，其中 ，则 的取值范围PxyxyR， 4xy是（ ）A. B. 324， 53，C. D. 5， 172，8.设定义在 R上的奇函数 y=f(x),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈ 时, f(x)=-x2,则[0,12]f(3)+f 的值等于( ) A.- B.- C.- D.- (-32) 12 13 14 159.2017年“元旦”期间,成都某游乐园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨 6时 30分有 2人进入游乐园,接下来的第一个 30分钟内有 4人进去 1人出来,第二个 30分钟内有 8人进去 2人出来,第三个 30分钟内有 16人进去 3人出来,第四个 30分钟内有 32人进去 4人出来……按照这种规律进行下去,到上午 11点 30分时园内的人数是( )A.212-57 B.211-47 C.210-38 D.29-3010.若圆 x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线 l:ax+by=0的距离为 2 ,则直线 l的斜率的2取值范围是( )A.[2- ,1] B. C. D.[0,+∞ )3 [2- 3,2+3] [33, 3]11．若存在 ，使得关于 的方程 成立，其中 为自然mx24lnlaxmexe对数的底数，则实数 的取值范围是（ ）aA. B. C. D. ,010,2e ),21()0,(1,212. 已知 是定义在 上的函数，且满足① ；②曲线 关于点 对fxR4fyfx0称；③当 时 ，若 在 上有 5个零点，4,2logxfxmf4,则实数 的取值范围为（ ）mA. B. C. D. 3,1e 423,1e 20,1e0,13第Ⅱ卷二．填空题（本大题 4个小题，每题 5分，共 20分）13.已知 F1,F2为双曲线 E: =1(a0,b0)的左、右两个焦点,点 M在 E上, MF1与 x轴垂直,𝑥2𝑎2‒𝑦2𝑏2sin∠ MF2F1= ,则 E的离心率为 . 1314.已知 ，则 的取值范围为 ．24(0,)xyxy2xy15.在正三棱锥 V-ABC内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为 2,则正三棱锥的体积最小时,其底面边长为 . 16.已知 是定义在 上的函数， 是 的导函数，给出如下四个结论：()fR'()ff①若 ，且 ，则函数 有极小值 0；' 0x()fex②若 ，则 ， ；'()2ff142()nnf*N③若 ，则 ；'(7)06f④若 ，且 ，则不等式 的解集为 .'fxf xfe(,)所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分 12分） 已知 满足 ，若其()sin)(0,|)2fx()(2fxfx图像向左平移 个单位后得到的函数为奇函数．（1）求 的解析式；()fx（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求ABC, ,abc()cosaBbA的取值范围．f18.（本小题满分 12分）下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 名同学在一次英语听力比赛中的10成绩(单位:分).已知甲代表队数 据的中位数为 ，乙代表队数据的平均数是 .7675（1）求 ， 的值；xy（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取 名成绩不低于 分18的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、 乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.419. （本小题满分 12分） 如图，在梯 形 中，ABCD/ABCD， ， ，平面 平面ADCBa60FE，四边形 是矩形， ，点 在线段 上，且FEM2MFE．（1）求证： 平面 ；/M（2）求直线 与平面 所成角的余弦值．20.(本小题满分 12分)已知椭圆 C: =1(ab0),过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l,与圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2x2+y2= 相切,且椭圆 C的右焦点与抛物线 y2=4x的焦点重合 .127(1)求椭圆 C的方程;(2)过点 O作两条相互垂直的射线与椭圆 C分别交于 A,B两点,求△ OAB面积的最小值 .21.(本小题满分 12分)已知函数 f(x)=xln x- x2-x+a(a∈R)在定义域内有两个不同的极值点 .𝑎2(1)求实数 a的取值范围;(2)记两个极值点为 x1,x2,且 x1 0,若不等式 x1· e1+λ 恒成立,求 λ 的取值范围 .𝑥𝜆2四、选做题（10 分）请考生从给出的下列 2道题中任选一题做答，并用 2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分 10分)选修 4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中,曲线 C1:x+y=4,曲线 C2: (θ 为参数),以坐标原点 O为极点, x轴{𝑥=1+𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃 的非负半轴为极轴建立极坐标系 .(1)求曲线 C1,C2的极坐标方程;(2)若射线 l:θ=α (ρ 0)分别交 C1,C2于 A,B两点,求 的最大值 .|𝑂𝐵||𝑂𝐴|23.(本小题满分 10分)选修 4—5:不等式选讲已知 |x1-2|0,b0)的左、右两个焦点,点 M在 E上, MF1与 x轴垂直,𝑥2𝑎2‒𝑦2𝑏2sin∠ MF2F1= ,则 E的离心率为 . 1313 解析 因为 MF1垂直于 x轴,所以 |MF1|= ,|MF2|=2a+ 因为 sin∠ MF2F1= ,. 2𝑏2𝑎𝑏2𝑎.[来源 :Z（2） .𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥‒𝜋3) (0,1]【解析】试题分析：（1）由条件 得周期，由周期求 ；由图像变换的函数为奇函𝑓(𝑥+𝜋2)=‒𝑓(𝑥) 𝜔数得 的等量关系，由 ，解出 ；（2）由正弦定理将边角关系 转化𝜑|𝜑|1,则 k6.6,P(Y=k-1)P(Y=k).所以当 k=6或 7时, P(Y=k)可能最大 .因为 1,所以 n的取值为 6.𝑃(𝑌=6)𝑃(𝑌=7)=𝐶610(35)6(25)4𝐶710(35)7(25)3=76(文)19. 如图，在梯 形 中， ， ， ，平面ABCD/ADCBa60AC平面 ，四边形 是矩形， ，点 在线段 上，且 ．ACFEFEMEF2EM（1）求证： 平面 ；/AMBDF（2）求直线 与平面 所成角的余弦值．E【答案】（1）见解析;（2） .104【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般方法为利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找往往利用平几知识，如本题设 与 交于点 ， 利用三角形相似可得𝐴𝐶𝐵𝐷 𝑁,再根据平行四边形性质可得 ,（2）求线面角，关键在找平面 的垂线，由𝐴𝑁=2𝐶𝑁𝐴𝑀𝐹𝑁 𝐵𝐸𝐹, 可得： 平面 ，即 平面 , 平面 ,因此过点𝐴𝐶⊥𝐶𝐹𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 𝐴𝐶⊥ 𝐵𝐶𝐹𝐸𝐹⊥ 𝐵𝐶𝐹平面 𝐵𝐸𝐹⊥ 𝐵𝐶𝐹17作 的垂线交 于点 ，则由面 面垂直性质定理可得 平面 .又 ，所以点 到平𝐶𝐵𝐹 𝐵𝐹 𝐻 𝐶𝐻⊥ 𝐵𝐸𝐹𝐴𝐶//𝐸𝐹𝐴面 的距离等于点 到平面 的距离，最后根据直角三角形求线面角 .𝐵𝐸𝐹 𝐶 𝐵𝐸𝐹（2）由题知： ，∴点 到 平面 的距离等于点 到平面 的距离，过点 作 的垂线𝐴𝐶//𝐸𝐹𝐴 𝐵𝐸𝐹 𝐶 𝐵𝐸𝐹 𝐶𝐵𝐹交 于点 ，𝐵𝐹 𝐻∵ ， ， ，𝐴𝐶⊥𝐶𝐹𝐴𝐶⊥𝐵𝐶𝐵𝐶∩𝐶𝐹=𝐶∴ 平面 ，即 平面 ，∴ ，𝐴𝐶⊥ 𝐵𝐶𝐹𝐸𝐹⊥ 𝐵𝐶𝐹𝐶𝐻⊥𝐸𝐹又∵ ， ，∴ 平面 .𝐶𝐻⊥𝐵𝐹𝐸𝐹∩𝐵𝐹=𝐹 𝐶𝐻⊥ 𝐵𝐸𝐹在 中， ，𝑅𝑡Δ𝐵𝐶𝐹𝐶𝐻=22𝑎在 中， ，Δ𝐴𝐸𝑀𝐴𝑀=𝐴𝐸2+𝐸𝑀2=233𝑎∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ，𝐴𝑀 𝐵𝐸𝐹𝐶𝐻𝐴𝑀=6418即直线 与平面 所成角的余弦值为 .1𝐴𝑀 𝐵𝐸𝐹104（理）19 .(本小题满分 12分)如图,在四棱锥 A-EFCB中,△ AEF为等边三角形,平面 AEF⊥平面EFCB,EF∥ BC,BC=4,EF=2a,∠ EBC=∠ FCB=60°,O为 EF的中点 .(1)求证: AO⊥ BE:(2)求二面角 F-AE-B的余弦值 ;(3)若 BE⊥平面 AOC,求 a的值 .19.(1)证明 由△ AEF为等边三角形, O为 EF的中点,可得 AO⊥ EF.因为平面 AEF⊥平面 EFCB,且平面 AEF∩平面 EFCB=EF,所以 AO⊥平面 EFCB. 又 BE⊂平面 EFCB,所以 AO⊥ BE.(2)解 取 CB的中点 D,连接 OD,以 O为原点,分别以 OE,OD,OA为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,易知 A(0,0, a),E(a,0,0),B(2,2 a,0),则 =(a,0,- a),3 3‒ 3 𝐴𝐸 3=(2-a,2 a,0),由平面 AEF与 y轴垂直,可设平面 AEF的法向量为 n1=(0,1,0).𝐸𝐵 3‒ 3设平面 AEB的法向量 n2=(x,y,1),由 n2 ,可得 ax- a=0,解得 x= ;⊥𝐴𝐸 3 3由 n2 ,可得(2 -a)x+(2 a)y=0,⊥𝐸𝐵 3‒ 3解得 y=-1,所以 n2=( ,-1,1). 所以 cos= =- ,3𝑛1·𝑛2|𝑛1|·|𝑛2|=-15 55由二面角 F-AE-B为钝二面角,所以二面角 F-AE-B的余弦值为 -55.(3)解 由(1)知 AO⊥平面 EFCB,则 AO⊥ BE,若 BE⊥平面 AOC,只需 BE⊥ OC, =(2-a,2 a,0),𝐸𝐵 3‒ 3又 =(-2,2 a,0), =-2(2-a)+(2 a)2=0,𝑂𝐶 3‒ 3 𝐵𝐸·𝑂𝐶 3‒ 3解得 a=2或 a= , 由题意易知 ab0),过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l,与𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2圆 x2+y2= 相切,且椭圆 C的右焦点与抛物线 y2=4x的焦点重合 .127(1)求椭圆 C的方程;(2)过点 O作两条相互垂直的射线与椭圆 C分别交于 A,B两点,求△ OAB面积的最小值 .20.解 (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l为 =1,直线与 x2+y2= 相切,满足𝑥𝑎+𝑦𝑏 127,且 a2-b2=1,(|1|1𝑎2+1𝑏2)2=127整理可得 7a4-31a2+12=0,(7a2-3)(a2-4)=0,a2=4,a2= (舍去),37故 b2=3, 所 求的椭圆 C的方程为 =1.𝑥24+𝑦23(2)①当两线分别与坐标轴重合时, S△ OAB= 212× ×3=3.②当两线不与坐标轴重合时,由于 OA⊥ OB,设直线 OA为 y=kx,则直线 OB为 y=- x,1𝑘设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 OA的方程为 y=kx,与椭圆 =1联立消去 y,得𝑥24+𝑦23, 用 - 代换 k得 ,𝑥21= 123+4𝑘2,𝑦21= 12𝑘23+4𝑘2 1𝑘𝑥22= 123+4𝑘2= 12𝑘23𝑘2+420, S2= |OA|2·|OB|2= )·( )=𝑦22=12𝑘23+4𝑘2=123𝑘2+414 14(𝑥21+𝑦21 𝑥22+𝑦2214×12(1+𝑘2)3+4𝑘2 ×12(1+𝑘2)3𝑘2+4= = ,1224· 13+4𝑘21+𝑘2·3𝑘2+41+𝑘2≥1224· 1(72)2 (127)2(因 为 3+4𝑘21+𝑘2+3𝑘2+41+𝑘2=7)当且仅当 k=±1时取等号,又 ,综合①②可得三角形的最小面积为 S△ OAB=127 0,若不等式 x1· e1+λ 恒成立,求 λ 的取值范围 .𝑥𝜆221.解 (1)函数 f(x)的定义域为(0, +∞ ).由题意知,方程 f'(x)=0在(0, +∞ )内有两个不同根,即方程 ln x-ax=0在(0, +∞ )内有两个不同根 .23转化为函数 y=ln x与函数 y=ax的图象在(0, +∞ )上有 两个不同交点,如图 .可见,若令过原点且切于函数 y=ln x图象的直线斜率为 k,只需 0 0,01+𝜆𝑥1+𝜆𝑥2.又由 ln x1=ax1,ln x2=ax2作差得 ,ln =a(x1-x2),即 a=𝑥1𝑥2𝑙𝑛𝑥1𝑥2𝑥1-𝑥2.所以原式等价于 ,𝑙𝑛𝑥1𝑥2𝑥1-𝑥2 1+𝜆𝑥1+𝜆𝑥2因为 00,所以 h(t)在 t∈(0,1)上单调递增,24又 h(1)=0,所以 h(t)0,t∈( λ 2,1)时, h'(t) 0,所以 λ ≥1 .·𝑥𝜆221. (本小题满分 12分)已知 ，其中 .𝑓(𝑥)=(𝑥2‒2𝑎𝑥)𝑙𝑛𝑥+2𝑎𝑥‒12𝑥2 𝑎∈𝑅（Ⅰ）若 ，且曲线 在 处的切线 过原点，求直线 的方程；𝑎=0 𝑓(𝑥)𝑥=𝑡 𝑙 𝑙（Ⅱ）求 的极值；𝑓(𝑥)（Ⅲ）若函数 有 两个极值点 ， ，证明 .𝑓(𝑥) 𝑥1 𝑥2(𝑥11 𝑓(𝑥)𝑥=𝑎‒𝑎2𝑙𝑛𝑎+32𝑎2在 时取到极大值 .𝑥=12𝑎‒12试卷解析：（Ⅰ）当 时， ， ，𝑎=0𝑓(𝑥)=𝑥2𝑙𝑛𝑥‒12𝑥2 𝑓'(𝑥)=2𝑥𝑙𝑛𝑥所以切线 的斜率 ，又直线 过原点，所以 ，𝑙 𝑘=𝑓'(𝑡)=2𝑡𝑙𝑛𝑡 𝑙𝑘=𝑓(𝑡)𝑡 =𝑡𝑙𝑛𝑡‒12𝑡由 得 ， .2𝑡𝑙𝑛𝑡=𝑡𝑙𝑛𝑡‒12𝑡 𝑙𝑛𝑡=‒12 𝑡=1𝑒25所以 ，故切线 的方程为 ，即 .𝑘=𝑓'(1𝑒)=‒1𝑒 𝑙 𝑦=‒𝑥𝑒 𝑥+𝑒𝑦=0（Ⅱ）由 ，可得 ，𝑓(𝑥)=(𝑥2‒2𝑎𝑥)𝑙𝑛𝑥+2𝑎𝑥‒12𝑥2 𝑓'(𝑥)=(2𝑥‒2𝑎)𝑙𝑛𝑥①当 时 ， ， 在 上单调递增，在 上单调𝑎≤0 𝑓'(𝑥)0⇔𝑥1 𝑓'(𝑥)0⇔𝑥1 01 𝑓'(𝑥)0⇔𝑥𝑎 01 𝑓(𝑥)𝑥=𝑎‒𝑎2𝑙𝑛𝑎+32𝑎2在 时取到极大值 .𝑥=12𝑎‒1226点睛：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值 ，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分 .22.(本小题满分 10分)选修 4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中,曲线 C1:x+y=4,曲线 C2: (θ 为参数),以坐标原点 O为极点, x轴{𝑥=1+𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃 的非负半轴为极轴建立极坐标系 .(1)求曲线 C1,C2的极坐标方程;(2)若射线 l:θ=α (ρ 0)分别交 C1,C2于 A,B两点,求 的最大值 .|𝑂𝐵||𝑂𝐴|22.解 (1) C1:ρ (cos θ +sin θ )=4,C2的普通方程为( x-1)2+y2=1,所以 ρ =2cos θ .(2)设 A(ρ 1,α ),B(ρ 2,α ),- α ,𝜋4 𝜋2则 ρ 1= ,ρ 2=2cos α , 2cos α (cos α +sin α )4𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼 |𝑂𝐵||𝑂𝐴|=𝜌2𝜌1=14×= (cos 2α+ sin 2α+ 1)= ,14 14[ 2𝑐𝑜𝑠(2𝛼-𝜋4)+1]当 α= 时, 取得最大值 +1).𝜋8 |𝑂𝐵||𝑂𝐴| 14( 223.(本小题满分 10分)选修 4—5:不等式选讲已知 |x1-2|1,|x2-2|1.27(1)求证:2 x1+x26,|x1-x2|2;(2)若 f(x)=x2-x+1,求证: |x1-x2||f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.23.证明 (1)∵ |x1-2|1,∴ -1x1-21,即 1x13,同理 1x23,∴2 x1+x26.∵ |x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤ |x1-2|+|x2-2|,∴ |x1-x2|2.(2)|f(x1)-f(x2)|=| -x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,𝑥21‒𝑥22∵2 x1+x26,∴1 x1+x2-15, ∴ |x1-x2||f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.1四川省成都市高新区 2017届高三数学下学期 5月月考试题 理本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。第 I卷一、选择题（本大题 12个小题，每题 5分，共 60分,请将答案涂在答题卷上)1.已知复数 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位），则在复平面内，zz iiz2521(3复数 所对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2. 已知集合 ， ，则（ ）2{|0}x4|log2BxA． B． C． D．UARABAB3. 下列命题正确的个数是（ ）①命题“ ”的否定是“ ”；200,13xRx2,13xx②函数 的最小正周期为 是“ ”的必要不充分条件；2cosinfaa③ 在 上恒成立 在 上恒成立；2,2mxin,2④“平面向量 与 的夹角是钝角” 的充分必要条件是“ ”.b 0bAA． B． C. D．12344.《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则输入的 的值m5a为（ ）A． B． C. D．45715.已知公差不为 0的等差数列{ an}满足 a1,a3,a4成等比数列, Sn为数列{ an}的前 n项和,则 的值为( )𝑆3-𝑆2𝑆5-𝑆3A.-2 B.-3 C.2 D.326.如图，小正方形的边长为 ，粗线画出的是某空间几何体的三视图，1则该几何体的体积为（ ）A． B． C. D．38636327．如图，在直角梯形 中， ， ∥ ， ， ，图中圆ABCDABC2A1DC弧所在圆的圆心为点 C，半径为 ，且点 P在图中阴影部分（包括边12 界）运动．若 ，其中 ，则 的取值范围是PxyxyR， 4xy（ ）A. B. 324， 53，C. D. 5， 172，8.设定义在 R上的奇函数 y=f(x),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈ 时, f(x)=-x2,则[0,12]f(3)+f 的值等于( ) (-32)A.- B.- C.- D.- 12 13 14 159.2017年“元旦”期间,成都某游乐园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨 6时 30分有 2人进入游乐园,接下来的第一个 30分钟内有 4人进去 1人出来,第二个 30分钟内有 8人进去 2人出来,第三个 30分钟内有 16人进去 3人出来,第四个 30分钟内有 32人进去 4人出来……按照这种规律进行下去,到上午 11点 30分时园内的人数是( )A.212-57 B.211-47 C.210-38 D.29-3010.若圆 x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线 l:ax+by=0的距离为 2 ,则直线 l的斜率的2取值范围是( )A.[2- ,1] B. C. D.[0,+∞ )3 [2- 3,2+3] [33, 3]11．若存在 ，使得关于 的方程 成立，其中 为自然mx24lnlaxmexe对数的底数，则实数 的取值范围是（ ）aA. B. C. D. ,010,2e ),1()0,(1,212. 已知 是定义在 上的函数，且满足① ；②曲线 关于点 对fxR4fyfx0称；③当 时 ，若 在 上有 5个零点，4,2logxfxmf4,则实数 的取值范围为（ ）mA. B. C. D. 3,1e 423,1e 20,1e0,13第Ⅱ卷二．填空题（本大题 4个小题，每题 5分，共 20分）13.已知 a= sin xdx,则二项式 的展开式中 x-3的系数为 . ∫𝜋 0 (1-𝑎𝑥)614.已知 ，则 的取值范围为 ．210,yy2y15.在正三棱锥 V-ABC内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为 2,则正三棱锥的体积最小时,其底面边长为 . 16.已知 是定义在 上的函数， 是 的导函数，给出如下四个结论：()fxR'()fxf①若 ，且 ，则函数 有极小值 0；' 0()fe②若 ，则 ， ；'()2ff142()nnf*N③若 ，则 ；'x(7)06f④若 ，且 ，则不等式 的解集为 .'ff xfe(,)所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位()sin)(0,|)2fx()(2fxfx6后得到的函数为奇函数．（1）求 的解析式；()f（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求ABC, ,abc(2)cosaBbA的取值范围．()f18.(本小题满分 12分)为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表:从本市随机抽取了 10户家庭,统计了同一个月的用水量,得到右边的茎叶图:(1)现要在这 10户家庭中任意选取 3户,求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值;(2)用抽到的 10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取 10户,若抽到 n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大,求出 n的值 .阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量月用水量范围(单位:立方米) (0,10] (10,15] (15,+∞ )419.(本小题满分 12分)如图,在四棱锥 A-EFCB中,△ AEF为等边三角形,平面 AEF⊥平面EFCB,EF∥ BC,BC=4,EF=2a,∠ EBC=∠ FCB=60°,O为 EF的中点 .(1)求证: AO⊥ BE:(2)求二面角 F-AE-B的余弦值 ;(3)若 BE⊥平面 AOC,求 a的值 .20.(本小题满分 12分) 已知动圆 过定点 且与圆P3,0M相切，记动圆圆心 的轨迹为曲线 .2:316NxyC（1）求曲线 的方程；C（2）过点 且斜率不为零的直线交曲线 于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得,0DABxQ直线 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.AQB21. (本小题满分 12分)已知 ，其中 .𝑓(𝑥)=(𝑥2‒2𝑎𝑥)𝑙𝑛𝑥+2𝑎𝑥‒12𝑥2 𝑎∈𝑅（Ⅰ）若 ，且曲线 在 处的切线 过原点，求直线 的方程；𝑎=0 𝑓(𝑥)𝑥=𝑡 𝑙 𝑙（Ⅱ）求 的极值；𝑓(𝑥)（Ⅲ）若函数 有 两个极值点 ， ，证明 .𝑓(𝑥) 𝑥1 𝑥2(𝑥1 0)分别交 C1,C2于 A,B两点,求 的最大值 .|𝑂𝐵||𝑂𝐴|23.(本小题满分 10分)选修 4—5:不等式选讲已知 |x1-2|0,b0)的左、右两个焦点,点 M在 E上, MF1与 x轴垂直,𝑥2𝑎2‒𝑦2𝑏2sin∠ MF2F1= ,则 E的离心率为 . 1313 解析 因为 MF1垂直于 x轴,所以 |MF1|= ,|MF2|=2a+ 因为 sin∠ MF2F1= ,. 2𝑏2𝑎𝑏2𝑎.[来源 :Z（2） .𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥‒𝜋3) (0,1]【解析】试题分析：（1）由条件 得周期，由周期求 ；由图像变换的函数为奇函𝑓(𝑥+𝜋2)=‒𝑓(𝑥) 𝜔数得 的等量关系，由 ，解出 ；（2）由正弦定理将边角关系 转化𝜑|𝜑|1,则 k6.6,P(Y=k-1)P(Y=k).所以当 k=6或 7时, P(Y=k)可能最大 .因为 1,所以 n的取值为 6.𝑃(𝑌=6)𝑃(𝑌=7)=𝐶610(35)6(25)4𝐶710(35)7(25)3=76(文)19. 如图，在梯 形 中， ， ， ，平面ABCD/ADCBa60AC平面 ，四边形 是矩形， ，点 在线段 上，且 ．ACFEFEMEF2EM（1）求证： 平面 ；/AMBDF（2）求直线 与平面 所成角的余弦值．E【答案】（1）见解析;（2） .104【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般方法为利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找往往利用平几知识，如本题设 与 交于点 ， 利用三角形相似可得𝐴𝐶𝐵𝐷 𝑁,再根据平行四边形性质可得 ,（2）求线面角，关键在找平面 的垂线，由𝐴𝑁=2𝐶𝑁𝐴𝑀𝐹𝑁 𝐵𝐸𝐹, 可得： 平面 ，即 平面 , 平面 ,因此过点𝐴𝐶⊥𝐶𝐹𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 𝐴𝐶⊥ 𝐵𝐶𝐹𝐸𝐹⊥ 𝐵𝐶𝐹平面 𝐵𝐸𝐹⊥ 𝐵𝐶𝐹17作 的垂线交 于点 ，则由面 面垂直性质定理可得 平面 .又 ，所以点 到平𝐶 𝐵𝐹 𝐵𝐹 𝐻 𝐶𝐻⊥ 𝐵𝐸𝐹𝐴𝐶//𝐸𝐹𝐴面 的距离等于点 到平面 的距离，最后根据直角三角形求线面角 .𝐵𝐸𝐹 𝐶 𝐵𝐸𝐹（2）由题知： ，∴点 到 平面 的距离等于点 到平面 的距离，过点 作 的垂线𝐴𝐶//𝐸𝐹𝐴 𝐵𝐸𝐹 𝐶 𝐵𝐸𝐹 𝐶 𝐵𝐹交 于点 ，𝐵𝐹 𝐻∵ ， ， ，𝐴𝐶⊥𝐶𝐹𝐴𝐶⊥𝐵𝐶𝐵𝐶∩𝐶𝐹=𝐶∴ 平面 ，即 平面 ，∴ ，𝐴𝐶⊥ 𝐵𝐶𝐹𝐸𝐹⊥ 𝐵𝐶𝐹𝐶𝐻⊥𝐸𝐹又∵ ， ，∴ 平面 .𝐶𝐻⊥𝐵𝐹𝐸𝐹∩𝐵𝐹=𝐹 𝐶𝐻⊥ 𝐵𝐸𝐹在 中， ，𝑅𝑡Δ𝐵𝐶𝐹𝐶𝐻=22𝑎在 中， ，Δ𝐴𝐸𝑀𝐴𝑀=𝐴𝐸2+𝐸𝑀2=233𝑎∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ，𝐴𝑀 𝐵𝐸𝐹𝐶𝐻𝐴𝑀=6418即直线 与平面 所成角的余弦值为 .1𝐴𝑀 𝐵𝐸𝐹104（理）19 .(本小题满分 12分)如图,在四棱锥 A-EFCB中,△ AEF为等边三角形,平面 AEF⊥平面EFCB,EF∥ BC,BC=4,EF=2a,∠ EBC=∠ FCB=60°,O为 EF的中点 .(1)求证: AO⊥ BE:(2)求二面角 F-AE-B的余弦值 ;(3)若 BE⊥平面 AOC,求 a的值 .19.(1)证明 由△ AEF为等边三角形, O为 EF的中点,可得 AO⊥ EF.因为平面 AEF⊥平面 EFCB,且平面 AEF∩平面 EFCB=EF,所以 AO⊥平面 EFCB. 又 BE⊂平面 EFCB,所以 AO⊥ BE.(2)解 取 CB的中点 D,连接 OD,以 O为原点,分别以 OE,OD,OA为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,易知 A(0,0, a),E(a,0,0),B(2,2 a,0),则 =(a,0,- a),3 3‒ 3 𝐴𝐸 3=(2-a,2 a,0),由平面 AEF与 y轴垂直,可设平面 AEF的法向量为 n1=(0,1,0).𝐸𝐵 3‒ 3设平面 AEB的法向量 n2=(x,y,1),由 n2 ,可得 ax- a=0,解得 x= ;⊥𝐴𝐸 3 3由 n2 ,可得(2 -a)x+(2 a)y=0,⊥𝐸𝐵 3‒ 3解得 y=-1,所以 n2=( ,-1,1). 所以 cos= =- ,3𝑛1·𝑛2|𝑛1|·|𝑛2|=-15 55由二面角 F-AE-B为钝二面角,所以二面角 F-AE-B的余弦值为 -55.(3)解 由(1)知 AO⊥平面 EFCB,则 AO⊥ BE,若 BE⊥平面 AOC,只需 BE⊥ OC, =(2-a,2 a,0),𝐸𝐵 3‒ 3又 =(-2,2 a,0), =-2(2-a)+(2 a)2=0,𝑂𝐶 3‒ 3 𝐵𝐸·𝑂𝐶 3‒ 3解得 a=2或 a= , 由题意易知 ab0),过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l,与𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2圆 x2+y2= 相切,且椭圆 C的右焦点与抛物线 y2=4x的焦点重合 .127(1)求椭圆 C的方程;(2)过点 O作两条相互垂直的射线与椭圆 C分别交于 A,B两点,求△ OAB面积的最小值 .20.解 (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l为 =1,直线与 x2+y2= 相切,满足𝑥𝑎+𝑦𝑏 127,且 a2-b2=1,(|1|1𝑎2+1𝑏2)2=127整理可得 7a4-31a2+12=0,(7a2-3)(a2-4)=0,a2=4,a2= (舍去),37故 b2=3, 所 求的椭圆 C的方程为 =1.𝑥24+𝑦23(2)①当两线分别与坐标轴重合时, S△ OAB= 212× ×3=3.②当两线不与坐标轴重合时,由于 OA⊥ OB,设直线 OA为 y=kx,则直线 OB为 y=- x,1𝑘设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 OA的方程为 y=kx,与椭圆 =1联立消去 y,得𝑥24+𝑦23, 用 - 代换 k得 ,𝑥21= 123+4𝑘2,𝑦21= 12𝑘23+4𝑘2 1𝑘𝑥22= 123+4𝑘2= 12𝑘23𝑘2+420, S2= |OA|2·|OB|2= )·( )=𝑦22=12𝑘23+4𝑘2=123𝑘2+414 14(𝑥21+𝑦21 𝑥22+𝑦2214×12(1+𝑘2)3+4𝑘2 ×12(1+𝑘2)3𝑘2+4= = ,1224· 13+4𝑘21+𝑘2·3𝑘2+41+𝑘2≥1224· 1(72)2 (127)2(因 为 3+4𝑘21+𝑘2+3𝑘2+41+𝑘2=7)当且仅当 k=±1时取等号,又 ,综合①②可得三角形的最小面积为 S△ OAB=127 0,若不等式 x1· e1+λ 恒成立,求 λ 的取值范围 .𝑥𝜆221.解 (1)函数 f(x)的定义域为(0, +∞ ).由题意知,方程 f'(x)=0在(0, +∞ )内有两个不同根,即方程 ln x-ax=0在(0, +∞ )内有两个不同根 .23转化为函数 y=ln x与函数 y=ax的图象在(0, +∞ )上有 两个不同交点,如图 .可见,若令过原点且切于函数 y=ln x图象的直线斜率为 k,只需 0 0,01+𝜆𝑥1+𝜆𝑥2.又由 ln x1=ax1,ln x2=ax2作差得 ,ln =a(x1-x2),即 a=𝑥1𝑥2𝑙𝑛𝑥1𝑥2𝑥1-𝑥2.所以原式等价于 ,𝑙𝑛𝑥1𝑥2𝑥1-𝑥2 1+𝜆𝑥1+𝜆𝑥2因为 00,所以 h(t)在 t∈(0,1)上单调递增,24又 h(1)=0,所以 h(t)0,t∈( λ 2,1)时, h'(t) 0,所以 λ ≥1 .·𝑥𝜆221. (本小题满分 12分)已知 ，其中 .𝑓(𝑥)=(𝑥2‒2𝑎𝑥)𝑙𝑛𝑥+2𝑎𝑥‒12𝑥2 𝑎∈𝑅（Ⅰ）若 ，且曲线 在 处的切线 过原点，求直线 的方程；𝑎=0 𝑓(𝑥)𝑥=𝑡 𝑙 𝑙（Ⅱ）求 的极值；𝑓(𝑥)（Ⅲ）若函数 有 两个极值点 ， ，证明 .𝑓(𝑥) 𝑥1 𝑥2(𝑥11 𝑓(𝑥)𝑥=𝑎‒𝑎2𝑙𝑛𝑎+32𝑎2在 时取到极大值 .𝑥=12𝑎‒12试卷解析：（Ⅰ）当 时， ， ，𝑎=0𝑓(𝑥)=𝑥2𝑙𝑛𝑥‒12𝑥2 𝑓'(𝑥)=2𝑥𝑙𝑛𝑥所以切线 的斜率 ，又直线 过原点，所以 ，𝑙 𝑘=𝑓'(𝑡)=2𝑡𝑙𝑛𝑡 𝑙𝑘=𝑓(𝑡)𝑡 =𝑡𝑙𝑛𝑡‒12𝑡由 得 ， .2𝑡𝑙𝑛𝑡=𝑡𝑙𝑛𝑡‒12𝑡 𝑙𝑛𝑡=‒12 𝑡=1𝑒25所以 ，故切线 的方程为 ，即 .𝑘=𝑓'(1𝑒)=‒1𝑒 𝑙 𝑦=‒𝑥𝑒 𝑥+𝑒𝑦=0（Ⅱ）由 ，可得 ，𝑓(𝑥)=(𝑥2‒2𝑎𝑥)𝑙𝑛𝑥+2𝑎𝑥‒12𝑥2 𝑓'(𝑥)=(2𝑥‒2𝑎)𝑙𝑛𝑥①当 时 ， ， 在 上单调递增，在 上单调𝑎≤0 𝑓'(𝑥)0⇔𝑥1 𝑓'(𝑥)0⇔𝑥1 01 𝑓'(𝑥)0⇔𝑥𝑎 01 𝑓(𝑥)𝑥=𝑎‒𝑎2𝑙𝑛𝑎+32𝑎2在 时取到极大值 .𝑥=12𝑎‒1226点睛：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值 ，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分 .22.(本小题满分 10分)选修 4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中,曲线 C1:x+y=4,曲线 C2: (θ 为参数),以坐标原点 O为极点, x轴{𝑥=1+𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃 的非负半轴为极轴建立极坐标系 .(1)求曲线 C1,C2的极坐标方程;(2)若射线 l:θ=α (ρ 0)分别交 C1,C2于 A,B两点,求 的最大值 .|𝑂𝐵||𝑂𝐴|22.解 (1) C1:ρ (cos θ +sin θ )=4,C2的普通方程为( x-1)2+y2=1,所以 ρ =2cos θ .(2)设 A(ρ 1,α ),B(ρ 2,α ),- α ,𝜋4 𝜋2则 ρ 1= ,ρ 2=2cos α , 2cos α (cos α +sin α )4𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼 |𝑂𝐵||𝑂𝐴|=𝜌2𝜌1=14×= (cos 2α+ sin 2α+ 1)= ,14 14[ 2𝑐𝑜𝑠(2𝛼-𝜋4)+1]当 α= 时, 取得最大值 +1).𝜋8 |𝑂𝐵||𝑂𝐴| 14( 223.(本小题满分 10分)选修 4—5:不等式选讲已知 |x1-2|1,|x2-2|1.27(1)求证:2 x1+x26,|x1-x2|2;(2)若 f(x)=x2-x+1,求证: |x1-x2||f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.23.证明 (1)∵ |x1-2|1,∴ -1x1-21,即 1x13,同理 1x23,∴2 x1+x26.∵ |x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤ |x1-2|+|x2-2|,∴ |x1-x2|2.(2)|f(x1)-f(x2)|=| -x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,𝑥21‒𝑥22∵2 x1+x26,∴1 x1+x2-15, ∴ |x1-x2||f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.